Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RLbv33pRQcf35

Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{2 m}{3 - x} > 1$ jest przedział $(3, 7)$ dla $m$ równego:

$- 2$
$- 3$
$- 1$
$0$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ ∖ \{3\}$

$\frac{2 m}{3 - x} > 1 | \cdot {(3 - x)}^{2}$

$2 m (3 - x) > {(3 - x)}^{2}$

$2 m (3 - x) > 9 - 6 x + x^{2}$

$9 - 6 x + x^{2} - 6 m + 2 m x < 0$

$x^{2} + (2 m - 6) x + 9 - 6 m < 0$

Otrzymana nierówność kwadratowa, zgodnie z warunkiem postawionym w zadaniu, ma mieć rozwiązanie w postaci przedziału $(3, 7)$ . Ponieważ parabola będąca ilustracją graficzną nierówności ma ramiona skierowane w górę, więc liczby $3$ oraz $7$ muszą być miejscami zerowymi trójmianu po lewej stronie nierówności.

Stąd $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 6 - 2 m = 10 \Leftrightarrow - 2 m = 4 \Leftrightarrow m = - 2$ .

Celem sprawdzenia zbadajmy jeszcze iloczyn $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = 9 - 6 m = 21 \Leftrightarrow - 6 m = 12 \Leftrightarrow m = - 2$

Dla wyznaczonej wartości, sprawdzamy też, że wyróżnik danego trójmianu kwadratowego jest dodatni.

Zadanie można także rozwiązać podstawiając zaproponowane wartości parametru $m$ do nierówności

$x^{2} + (2 m - 6) x + 9 - 6 m < 0$

i sprawdzić, w którym przypadku otrzymamy żądane rozwiązanie, tzn. przedział $(3, 7)$ .

Ćwiczenie 2

RoLp6RWSezKSl

R1C5or85Y27xC

Dopasuj opisy ilustracji graficznych do zbiorów rozwiązań nierówności

\frac{2}{x} < m

, gdzie

x \neq 0

dla podanej wartości parametru

m

x \in (- \infty, 0) \cup

(2, \infty)

dla

m = 1

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji. Wykresem funkcji jest hiperbola, której gałęzie leżą w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, oraz przechodzą przez punkty

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(2; 1)

., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 2; - 1)

., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 1; - 2)

., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 4; - \frac{1}{2})

x \in (- 4, 0)

dla

m = - \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(2; 1)

., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 2; - 1)

., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 1; - 2)

., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 4; - \frac{1}{2})

x \in (- 2, 0)

dla

m = - 1

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(2; 1)

., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 2; - 1)

., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 1; - 2)

., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 4; - \frac{1}{2})

x \in (- 1, 0)

dla

m = - 2

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(2; 1)

., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 2; - 1)

., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 1; - 2)

., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 4; - \frac{1}{2})

Dopasuj opisy ilustracji graficznych do zbiorów rozwiązań nierówności

\frac{2}{x} < m

, gdzie

x \neq 0

dla podanej wartości parametru

m

x \in (- \infty, 0) \cup

(2, \infty)

dla

m = 1

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(2; 1)

., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 2; - 1)

., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 1; - 2)

., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 4; - \frac{1}{2})

x \in (- 4, 0)

dla

m = - \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(2; 1)

., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 2; - 1)

., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 1; - 2)

., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 4; - \frac{1}{2})

x \in (- 2, 0)

dla

m = - 1

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(2; 1)

., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 2; - 1)

., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 1; - 2)

., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 4; - \frac{1}{2})

x \in (- 1, 0)

dla

m = - 2

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(2; 1)

., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 2; - 1)

., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 1; - 2)

., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią

Y

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

. Linią przerywaną zaznaczono prostą

y = m

, która przecina wykres w punkcie

(- 4; - \frac{1}{2})

Ćwiczenie 3

Dla jakich wartości parametru $p$ nierówność $\frac{p x^{2} + x + p}{x^{2} + 3 x + 5} > 0$ jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych?

Określamy dziedzinę nierówności: $x^{2} + 3 x + 5 \neq 0$ , $Δ = 9 - 4 \cdot 5 = 9 - 20 = - 11 < 0$

Ponieważ mianownik nie posiada miejsc zerowych, zatem $D = ℝ$ .

Ponadto mianownik przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich liczb rzeczywistych, zatem aby nierówność była spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych potrzeba i wystarcza, by była spełniona nierówność $p x^{2} + x + p > 0$ dla $x \in ℝ$ .

Ta z kolei będzie spełniona przy następujących warunkach:

$p > 0$ – ramiona paraboli skierowane ku górze, więc $p \in (0, \infty)$ ,
$Δ < 0$ – brak miejsc zerowych:

$Δ = 1 - 4 \cdot p \cdot p = 1 - 4 p^{2} < 0$

$(1 - 2 p) (1 + 2 p) < 0$

$p_{1} = \frac{1}{2}$ oraz $p_{2} = - \frac{1}{2}$

RMSHw6ri938zp

Ilustracja przedstawia poziomą oś p, na której niezamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty -12, 12. Na rysunku przedstawiono ilustrację graficzną nierówności, której wykres biegnie w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie niemal pionowo w górę do punktu -12. W punkcie -12 przebija nad oś, biegnie w górę, a następnie odbija w dół i biegnie do punktu 12. W punkcie 12 przebija pod oś i biegnie niemal pionowo w dół do plus nieskończoności. Minusami zaznaczono przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli przedział otwarty od minus nieskończoności do -12, oraz przedział otwarty od 12 do plus nieskończoności.

więc $p \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$ . Oba warunki jednocześnie spełniają $p \in (\frac{1}{2}, \infty)$ .

Nierówność $\frac{p x^{2} + x + p}{x^{2} + 3 x + 5} > 0$ jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych dla $p \in (\frac{1}{2}, \infty)$ .

Ćwiczenie 4

Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f (x) = \frac{m - 2}{m^{2} + 2 m} x^{2} + (m - 2) x - \frac{m}{m + 3}$ osiąga wartość najmniejszą dla $x = \frac{1}{2}$ ?

Zauważmy, że badana funkcja jest funkcją kwadratową, a więc osiąga wartość najmniejszą, jeśli współczynnik $a > 0$ , tzn. $\frac{m - 2}{m^{2} + 2 m} > 0$ , gdzie $m \neq 0$ oraz $m \neq - 2$ .

$m (m + 2) (m - 2) > 0$

$m_{1} = 0$ , $m_{2} = - 2$ , $m_{3} = 2$

R1ZfKbLQueVQp

Ilustracja przedstawia poziomą oś m, na której niezamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty od lewej: -2, 0, dwa. Na rysunku naniesiono wykres funkcji wielomianowej biegnący w następujący sposób: od minus nieskończoności do minus dwóch wykres przyjmuje wartości ujemne i biegnie niemal pionowo w górę. W punkcie minus dwa przebija nad oś, gdzie początkowo biegnie w górę, następnie odbija w dół i biegnie do punktu zero. Następnie w punkcie zero wykres przebija pod oś i początkowo biegnie w dół, po czym odbija w górę i biegnie do punktu dwa. W punkcie dwa przebija nad oś i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności. Plusami zaznaczono przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, czyli przedział otwarty od minus dwóch do zera, oraz przedział otwarty od dwóch do plus nieskończoności.

Zatem $m \in (- 2, 0) \cup (2, \infty)$ .

Wartość ekstremalną funkcja kwadratowa osiąga dla:

$x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{m - 2}{\frac{2 (m - 2)}{m^{2} + 2 m}} = - (m - 2) \cdot \frac{m^{2} + 2 m}{2 (m - 2)} = - \frac{1}{2} (m^{2} + 2 m)$

Z warunków zadania wynika, że:

$- \frac{1}{2} (m^{2} + 2 m) = \frac{1}{2}$

Stąd

$m^{2} + 2 m = - 1$

$m^{2} + 2 m + 1 = 0$

${(m + 1)}^{2} = 0$

$m = - 1 \in (- 2, 0)$

Ćwiczenie 5

RU0XzV2RkiJXU

Dla jakich wartości parametru $a$ funkcja $f (x) = \frac{x^{2} - 4 a x + a^{2}}{x}$ jest malejąca dla $x \in (- 3, 0)$ oraz $x \in (0, 3)$ ? Zaznacz poprawną odpowiedź spośród podanych:

dla $a \in "{"- 3, 3"}"$
tylko dla $a = - 3$
tylko dla $a = 3$
dla $a \in \emptyset$

Określamy dziedzinę funkcji $f$ : $D = ℝ ∖ \{0\}$ . Aby ustalić przedziały monotoniczności funkcji, wyznaczamy pochodną tej funkcji:

$f' (x) = \frac{(2 x - 4 a) x - (x^{2} - 4 a x + a^{2})}{x^{2}} = \frac{2 x^{2} - 4 a x - x^{2} + 4 a x - a^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} - a^{2}}{x^{2}}$

Badamy znak tej pochodnej: $f' (x) < 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - a^{2}}{x^{2}} < 0 \Leftrightarrow x^{2} (x^{2} - a^{2}) < 0 \Leftrightarrow x^{2} (x - a) (x + a) < 0$

Miejscami zerowymi są: $x_{1} = 0$ (pierwiastek podwójny), $x_{2} = a$ , $x_{3} = - a$

Dla $a > 0$ :

R5WXhVlHI5Sqg

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której niezamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty od lewej: minus a, zero, a. Na rysunku naniesiono wykres funkcji wielomianowej biegnący w następujący sposób: od minus nieskończoności do minus a wykres przyjmuje wartości dodatnie i biegnie niemal pionowo w dół. W punkcie minus a przebija pod oś, gdzie początkowo biegnie w dół, następnie odbija w górę i biegnie do punktu zero, z którego ponownie odbija w dół pod osią. Następnie w punkcie a wykres przebija nad oś i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności. Minusami zaznaczono przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli przedział otwarty od minus a do a, z wyłączeniem punktu zero.

Dla $a < 0$ :

R1KrCry8MvWH5

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której niezamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty od lewej: a, zero, minus a. Na rysunku naniesiono wykres funkcji wielomianowej biegnący w następujący sposób: od minus nieskończoności do a wykres przyjmuje wartości dodatnie i biegnie niemal pionowo w dół. W punkcie a przebija pod oś, gdzie początkowo biegnie w dół, następnie odbija w górę i biegnie do punktu zero, z którego ponownie odbija w dół pod osią. Następnie w punkcie minus a wykres przebija nad oś i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności. Minusami zaznaczono przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli przedział otwarty od a do minus a, z wyłączeniem punktu zero.

Funkcja jest malejąca w przedziałach, w których pochodna jest ujemna, czyli w przypadku gdy $a > 0$ dla $x \in (- a, 0)$ oraz $x \in (0, a)$ , a w przypadku gdy $a < 0$ dla $x \in (a, 0)$ oraz $x \in (0, - a)$ .

Stąd badana funkcja jest malejąca dla $x \in (- 3, 0)$ oraz $x \in (0, 3)$ , jeśli parametr a przyjmuje wartość $- 3$ lub $3$ .

Ćwiczenie 6

RAsAF9FXoMOww

Dane jest wyrażenie wymierne $W = \frac{2 x^{2} + 3 m x + 5}{x^{2} - 2 x + 4}$ . Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi wśród podanych:

Dziedziną wyrażenia jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązaniem nierówności $\frac{2 x^{2} + 3 m x + 5}{x^{2} - 2 x + 4} \geq 1$ jest zbiór liczb rzeczywistych dla $m \in (- \infty, - \frac{4}{3}"⟩" \cup "⟨"0, \infty)$ .
Rozwiązaniem nierówności $\frac{2 x^{2} + 3 m x + 5}{x^{2} - 2 x + 4} \leq 1$ jest zbiór jednoelementowy dla $m \in "{"- \frac{4}{3}, 0"}"$ .
Wszystkie odpowiedzi są poprawne.

Określamy dziedzinę nierówności: $x^{2} - 2 x + 4 = 0 \Leftrightarrow Δ = 4 - 4 \cdot 4 = 4 - 16 = - 12 < 0$ , zatem $D = ℝ$ .

Rozwiązujemy nierówność $\frac{2 x^{2} + 3 m x + 5}{x^{2} - 2 x + 4} \geq 1$ .

Przekształcamy ją równoważnie.

$\frac{2 x^{2} + 3 m x + 5}{x^{2} - 2 x + 4} - 1 \geq 0$

$\frac{2 x^{2} + 3 m x + 5 - x^{2} + 2 x - 4}{x^{2} - 2 x + 4} \geq 0$

$\frac{x^{2} + (3 m + 2) x + 1}{x^{2} - 2 x + 4} \geq 0$

Ponieważ trójmian w mianowniku przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich liczb rzeczywistych, wystarczy ustalić warunki, przy których nierówność $x^{2} + (3 m + 2) x + 1 \geq 0$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste. Tym warunkiem jest, aby $Δ \leq 0$ .

$Δ = {(3 m + 2)}^{2} - 4 = 9 m^{2} + 12 m + 4 - 4 = 9 m^{2} + 12 m$

$9 m^{2} + 12 m \leq 0$

$3 m (3 m + 4) \leq 0$

$m_{1} = 0$ , $m_{2} = - \frac{4}{3}$

RBipndXUHVgSE

Ilustracja przedstawia poziomą oś m, na której zamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty: -43, zero. Na rysunku przedstawiono ilustrację graficzną nierówności, której wykres biegnie w następujący sposób. Od minus nieskończoności przyjmuje wartości dodatnie i biegnie niemal pionowo w dół do punktu -43. W punkcie -43 przebija pod oś, biegnie w dół, a następnie odbija w górę i biegnie do punktu zero. W punkcie 0 przebija nad oś i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności. Minusami zaznaczono przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli przedział zamknięty od -43 do zera.

Zatem $m \in ⟨- \frac{4}{3}, 0⟩$ .

Rozwiązujemy nierówność $\frac{2 x^{2} + 3 m x + 5}{x^{2} - 2 x + 4} \leq 1$ .

Analogiczne przekształcenia prowadzą do nierówności: $x^{2} + (3 m + 2) x + 1 \leq 0$ . Sprawdzimy zbiór jej rozwiązań dla $m \in \{- \frac{4}{3}, 0\}$ :

dla $m = - \frac{4}{3}$ mamy $x^{2} - 2 x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = 1$ – zbiór jednoelementowy,
dla $m = 0$ mamy $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = - 1$ – zbiór jednoelementowy.

Ćwiczenie 7

Dla jakich wartości parametru $m$ , dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{\frac{m x + 2}{x^{2} - 1}}$ jest suma przedziałów: $(- \infty, - 1) \cup ⟨- \frac{2}{m}, 1)$ ?

Określenie dziedziny funkcji $f (x)$ wymaga ustalenia dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $\frac{m x + 2}{x^{2} - 1} \geq 0$ spełniona jest dla $x \in (- \infty, - 1) \cup ⟨- \frac{2}{m}, 1)$ .

$x \neq - 1$ oraz $x \neq 1$
$\frac{m x + 2}{x^{2} - 1} \geq 0 \Leftrightarrow (m x + 2) (x - 1) (x + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x_{1} = - \frac{2}{m}$ , $x_{2} = 1$ , $x_{3} = - 1$ oraz $m \neq 0$ .

Z określenia dziedziny funkcji wynika, że $- 1 < - \frac{2}{m} < 1$ .

Należy zatem rozwiązać nierówność podwójną:

Kolejne kroki rozwiązania:
$- 1 < - \frac{2}{m} < 1$
$- 1 < - \frac{2}{m}$	$- \frac{2}{m} < 1$
$\frac{2}{m} - 1 < 0$	$\frac{2}{m} + 1 > 0$
$\frac{2 - m}{m} < 0$	$\frac{2 + m}{m} > 0$
$m (2 - m) < 0$	$m (2 + m) > 0$
ReWy5ReJnUBRu Ilustracja przedstawia poziomą oś $m$ , na której niezamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty: zero i dwa. Na rysunku przedstawiono ilustrację graficzną nierówności, której wykres biegnie w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie niemal pionowo w górę do punktu zero. W punkcie zero przebija nad oś, biegnie w górę, a następnie odbija w dół i biegnie do punktu dwa. W punkcie dwa przebija pod oś i biegnie niemal pionowo w dół do plus nieskończoności. Minusami zaznaczono przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli przedział otwarty od minus nieskończoności do zera, oraz przedział otwarty od dwóch do plus nieskończoności.	R5cCKXHTAsHug Ilustracja przedstawia poziomą oś $m$ , na której niezamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty: minus dwa, zero. Na rysunku przedstawiono ilustrację graficzną nierówności, której wykres biegnie w następujący sposób. Od minus nieskończoności przyjmuje wartości dodatnie i biegnie niemal pionowo w dół do punktu minus dwa. W punkcie minus dwa przebija pod oś, biegnie w dół, a następnie odbija w górę i biegnie do punktu zero. W punkcie 0 przebija nad oś i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności. Plusami zaznaczono przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, czyli przedział otwarty od minus nieskończoności do minus dwóch, oraz przedział otwarty od zera do plus nieskończoności.
$m \in (- \infty, 0) \cup (2, \infty)$	$m \in (- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$
Nierówność podwójna jest spełniona dla $m \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ .
Ilustrację graficzną nierówności $(m x + 2) (x - 1) (x + 1) \geq 0$ należy zatem przedstawić w dwóch wariantach:
$m \in (- \infty, - 2)$ , $m < 0$	$m \in (2, \infty)$ , $m > 0$
RVySzWvYtspMw Ilustracja przedstawia poziomą oś $X$ , na której niezamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty od lewej: -1, $- \frac{2}{m}$ , jeden. Na rysunku naniesiono wykres funkcji wielomianowej biegnący w następujący sposób: od minus nieskończoności do minus jeden wykres przyjmuje wartości dodatnie i biegnie niemal pionowo w dół. W punkcie minus jeden przebija pod oś, gdzie początkowo biegnie w dół, następnie odbija w górę i biegnie do punktu $- \frac{2}{m}$ . Następnie w punkcie $- \frac{2}{m}$ wykres przebija nad oś i początkowo biegnie w górę, po czym odbija w dół i biegnie do punktu jeden. W punkcie jeden przebija pod oś i biegnie niemal pionowo w dół do plus nieskończoności. Plusami zaznaczono przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, czyli przedział otwarty od minus nieskończoności do minus jeden, oraz przedział otwarty od minus 2 podzielić na m do jeden.	RKTonO69tbgRQ Ilustracja przedstawia poziomą oś $X$ , na której niezamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty od lewej: -1, $- \frac{2}{m}$ , jeden. Na rysunku naniesiono wykres funkcji wielomianowej biegnący w następujący sposób: od minus nieskończoności do minus jeden wykres przyjmuje wartości ujemne i biegnie niemal pionowo w górę. W punkcie minus jeden przebija nad oś, gdzie początkowo biegnie w górę, następnie odbija w dół i biegnie do punktu $- \frac{2}{m}$ . Następnie w punkcie $- \frac{2}{m}$ wykres przebija pod oś i początkowo biegnie w dół, po czym odbija w górę i biegnie do punktu jeden. W punkcie jeden przebija nad oś i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności. Plusami zaznaczono przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, czyli przedział otwarty od minus jeden do $- \frac{2}{m}$ , oraz przedział otwarty od jeden do plus nieskończoności.
Wówczas rozwiązaniem nierówności jest $x \in (- \infty, - 1) \cup ⟨- \frac{2}{m}, 1)$ .	Wówczas rozwiązaniem nierówności jest $x \in (- 1, - \frac{2}{m}⟩ \cup (1, \infty)$ , co nie odpowiada warunkom zadania.

Dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{\frac{m x + 2}{x^{2} - 1}}$ jest suma przedziałów: $(- \infty, - 1) \cup ⟨- \frac{2}{m}, 1)$ dla $m \in (- \infty, - 2)$ .

Ćwiczenie 8

Dla jakich wartości parametru $k$ funkcja $f (x) = \frac{k + 2}{k} x - 1$ ma mniejsze miejsce zerowe niż funkcja $g (x) = \frac{2 k - 1}{k + 1} x + 3$ ?

Zauważmy, że dane funkcje są funkcjami liniowymi. Należy ustalić założenia, przy których wzory tych funkcji mają sens: $k \neq 0$ oraz $k \neq - 1$ . Ponadto dla $k = - 2$ lub $k = \frac{1}{2}$ funkcje te byłyby funkcjami stałymi odpowiednio: $f (x) = - 1$ oraz $g (x) = 3$ , a te nie mają miejsc zerowych.

Teraz należy wyznaczyć miejsca zerowe funkcji $f$ oraz $g$ :

$f$ : $\frac{k + 2}{k} x - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{k + 2}{k} x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{k}{k + 2}$

$g$ : $\frac{2 k - 1}{k + 1} x + 3 = 0 \Leftrightarrow \frac{2 k - 1}{k + 1} x = - 3 \Leftrightarrow x = - \frac{3 (k + 1)}{2 k - 1}$

Warunkiem zadania jest, aby $\frac{k}{k + 2} < - \frac{3 (k + 1)}{2 k - 1}$

$\frac{k}{k + 2} + \frac{3 (k + 1)}{2 k - 1} < 0$

$\frac{k (2 k - 1) + 3 (k + 1) (k + 2)}{(k + 2) (2 k - 1)} < 0$

$\frac{2 k^{2} - k + 3 k^{2} + 6 k + 3 k + 6}{(k + 2) (2 k - 1)} < 0$

$\frac{5 k^{2} + 8 k + 6}{(k + 2) (2 k - 1)} < 0$

$(5 k^{2} + 8 k + 6) (k + 2) (2 k - 1) < 0$

$Δ = 64 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 64 - 120 = - 56 < 0$

Ponieważ trójmian kwadratowy przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich wartości parametru $k$ , rozwiązujemy nierówność $(k + 2) (2 k - 1) < 0$ , $k_{1} = - 2$ , $k_{2} = \frac{1}{2}$ ,

RC1XHGLSG0JIE

Ilustracja przedstawia poziomą oś k, na której niezamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty: minus dwa, 12. Na rysunku przedstawiono ilustrację graficzną nierówności, której wykres biegnie w następujący sposób. Od minus nieskończoności przyjmuje wartości dodatnie i biegnie niemal pionowo w dół do punktu minus dwa. W punkcie minus dwa przebija pod oś, biegnie w dół, a następnie odbija w górę i biegnie do punktu 12. W punkcie 12 przebija nad oś i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności. Minusami zaznaczono przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli przedział otwarty od minus dwóch do 12.

więc $k \in (- 2, \frac{1}{2})$ .

Uwzględniając założenia przyjęte na wstępie, mamy: $k \in (- 2, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$ .

Funkcja $f (x)$ ma mniejsze miejsce zerowe niż funkcja $g (x)$ dla $k \in (- 2, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$ .

Animacja

Dla nauczyciela