Autor: Karolina Nowak

Przedmiot: Matematyka

Temat: Nierówności wymierne z parametrem

Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

III. Równania i nierówności.

Zakres podstawowy. Uczeń:

7) rozwiązuje równania wymierne postaci $\frac{V\left(x\right)}{W\left(x\right)}=0$, gdzie wielomiany $V\left(x\right)$ i $W\left(x\right)$ są zapisane  w postaci iloczynowej.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1) rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: $W\left(x\right)>0$, $W\left(x\right)\ge 0$, $W\left(x\right)<0$, $W\left(x\right)\le 0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;

2) rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż $\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}+\frac{1}{x+1}\ge \frac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji,

• kompetencje cyfrowe,

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się,

• kompetencje matematyczne.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• rozwiązuje nierówność kwadratową, wymierną,

• przekształca wyrażenia wymierne,

• stosuje własności funkcji,

• oblicza pochodną ilorazu funkcji,

• dokonuje analizy informacji i wyciąga wnioski,

• czyta ze zrozumieniem, łączy fakty, dostrzega zależności,

• argumentuje i uzasadnia swoje działania,

• integruje wiadomości i umiejętności z różnych działów matematyki.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm,

• konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

• odwrócona klasa,

• dyskusja,

• obserwacja.

Formy pracy:

• praca indywidualna,

• praca w parach/małych grupach,

• praca zespołowa.

Środki dydaktyczne:

• komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do Internetu,

• zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale,

• tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda,

• monitor interaktywny,

• tablet graficzny.

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

1. Uczniowie zapoznają się z treściami zapisanymi w sekcji „Wprowadzenie” oraz „Przeczytaj”.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prosi wybraną osobę o odczytanie tematu lekcji tj. „Nierówności wymierne z parametrem” oraz określa cele i kryteria sukcesu w języku ucznia.

2. Nauczyciel inicjuje rozmowę z uczniami na temat rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych z parametrem. Metodą burzy mózgów uczniowie podają różne skojarzenia ze słowem „parametr”. Nauczyciel tworzy za pomocą aplikacji internetowej chmurę wyrazów zawierającą te skojarzenia.

3. Nauczyciel zadaje pytania kontrolne dotyczące przykładów z sekcji „Przeczytaj”, aby uzyskać informację o stopniu zrozumienia przez uczniów opisanych przykładów.

Faza realizacyjna:

1. Wszyscy uczniowie oglądają animację przedstawiającą przykłady rozwiązań nierówności wymiernych z parametrem.

2. Uczniowie w parach rozwiązują ostatnie zadanie zaprezentowane w animacji, a następnie analizują swoje rozwiązania porównując je z rozwiązaniem kontrolnym. Sporządzają listę pytań, które są prezentowane na forum klasy. Wymieniają się spostrzeżeniami, odpowiadają na pytania.

3. Uczniowie pracują w zespołach realizując Polecenie 1 (3 zespoły) oraz Polecenie 2 (3 zespoły). Po wykonaniu zadania zespoły, które rozwiązywały ten sam problem wymieniają się rozwiązaniami i sprawdzają poprawność wykonania zadania.

4. Nauczyciel kontroluje pracę zespołów, koryguje błędy i wyjaśnia ew. wątpliwości.

5. Przedstawiciele dwóch zespołów prezentują rozwiązanie problemów przedstawionych w Poleceniu 1 oraz w Poleceniu 2 na forum klasy. Najlepiej jednocześnie z wykorzystaniem dwóch tablic.

6. Uczniowie indywidualnie lub w parach przystępują do wykonania ćwiczeń 1 – 4 oraz 6 zamieszczonych w sekcji „Sprawdź się”.

Faza podsumowująca:

1. Uczniowie zgłaszają ewentualne problemy z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się” i wspólnie je omawiają.

2. Nauczyciel ponownie odczytuje temat lekcji: „Nierówności wymierne z parametrem” i inicjuje krótką rozmowę na temat kryteriów sukcesu. Czego się uczniowie nauczyli? Jaką wcześniejszą wiedzę i umiejętności wykorzystali na lekcji? Co było dla nich (lub nadal jest) trudne bądź niezrozumiałe?

3. Jeśli nauczyciel widzi taką potrzebę może zastosować na podsumowanie sygnalizację świetlną: uczniowie indywidualnie przypisują poszczególnym umiejętnościom określonym w kryteriach sukcesu kolory: zielony – wszystko zrozumiałe, żółty – zrozumiałe częściowo i czerwony – niezrozumiałe.

Praca domowa:

1. Uczniowie wykonują ćwiczenie 5.

2. Zadania dla chętnych - ćwiczenia 7 oraz 8.

Materiały pomocnicze:

• Rozwiązywanie nierówności wielomianowych - wykorzystanie wzorów skróconego mnożeniaDyX0m7l5DRozwiązywanie nierówności wielomianowych - wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia

• Dyskusja liczby rozwiązań równania kwadratowego zupełnego z parametremPB5estZzeDyskusja liczby rozwiązań równania kwadratowego zupełnego z parametrem

Wskazówki metodyczne:

• Zadania przedstawione w animacji uczniowie mogą wykonać jako pracę domową, porównując swoje rozwiązanie z tym z zaprezentowanym w animacji. Nauczyciel może również wykorzystać animację podczas realizacji tematu” Zbiór rozwiązań nierówności wymiernej”.

• Szczególną uwagę warto zwrócić na zadanie zamieszczone w Poleceniu 2 i pokazać inny niż przedstawiony tutaj, sposób rozwiązania zadania, np. poprzez zastosowanie postaci iloczynowej funkcji kwadratowej.

• Po obejrzeniu animacji należy nawiązać do konieczności wnikliwego rozpatrywania wszystkich wartości badanego parametru oraz do konfrontowania otrzymanego wyniku z dziedziną.

• Jeśli nauczyciel uzna za stosowne, może zmienić kolejność w poszczególnych fazach lekcji: zlecić uczniom obejrzenie animacji przed lekcją oraz wykonanie poleceń 1 i 2. W fazie realizacyjnej natomiast przeprowadzić grupową analizę przykładów z sekcji „Przeczytaj”.