Zastanawiamy się, których świec firma będzie mogła wyprodukować najwięcej.

Obliczamy objętość wosku potrzebną do wyprodukowania każdego rodzaju świecy:

$V_A=\frac{6\sqrt{3}}{4}\cdot 8=12\sqrt{3}\approx 20,78\left[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right]$

$V_B=4\cdot 6=24\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3\right]$

$V_C=\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 7=15,75\sqrt{3}\approx 27,28\left[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right]$

Mamy $V_A<V_B<V_C$.

Najwięcej można wyprodukować świec zaprezentowanych w podpunkcie $A$.

Długość siatki graniastosłupa wraz z zakładką wynosi $55 \mathrm{cm}$, czyli długość każdego z formatów papieru jest wystarczająca.

Sprawdźmy, czy szerokość również jest wystarczająca.

Szerokość siatki to suma długości krawędzi bocznej i dwóch wysokości trójkąta równobocznego, czyli

$18+2\cdot \frac{18\sqrt{3}}{2}=18+18\sqrt{3}\approx 49,14\left[\mathrm{c}\mathrm{m}\right]$

A zatem zarówno arkusz A2, jak i C2 będzie za wąski na wykonanie tego modelu.

Zosia powinna zdecydować się na arkusz B2.

R1XfG9LHNDQtk

Ilustracja przedstawia trampolinę, która została zabezpieczona siatką rozpostartą na prętach. Wysokość pręta mierzona od płaszczyzny trampoliny ma długość 240 centymetrów. Średnica całej trampoliny wraz z usztywnieniem mierzona między najbardziej odległymi prętami wynosi 320 centymetrów.

Najdłuższa przekątna ośmiokąta foremnego jest średnicą okręgu opisanego na tym ośmiokącie.

RrTaPPUPT4ozl

Ilustracja przedstawia sześciokąt foremny wpisany w okrąg. Krawędź tego sześciokąta podpisano literą a. W sześciokącie zaznaczono jego środek, który połączono z sąsiadującymi wierzchołkami sześciokąta. Odcinki te mają długość 160 centymetrów a kąt między nimi wynosi 45 stopni.

Obliczymy $a$ korzystając z twierdzenia cosinusów:

$a^2={160}^2+{160}^2-2·{160}^2·\cos 45°$

Czyli $a^2=51200-51200·\frac{\sqrt{2}}{2}$, a stąd $a^2=51200-25600\sqrt{2}\approx 14996$. A zatem $a\approx 122,5\left[\mathrm{c}\mathrm{m}\right]$.

Ponieważ cena podana jest za metr bieżący, to wystarczy policzyć sumę wszystkich krawędzi podstawy: $8a=8\cdot 122,5\mathrm{c}\mathrm{m}=980\mathrm{c}\mathrm{m}=9,8\mathrm{m}$.

Będzie trzeba zapłacić $20\cdot 9,8=196\left[\mathrm{z}ł\right]$.

Najpierw obliczymy długość dwóch pozostałych krawędzi pięciokąta, który jest podstawą tego graniastosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$1,2^2+0,9^2=b^2$

Czyli $b=1,5 \mathrm{m}$.

Obliczmy sumę pól ścian, które są prostokątami:

$P=6\cdot (2\cdot 2+2\cdot 1,5)=42\left[{\mathrm{m}}^2\right]$

Obliczmy pole podstawy (można podzielić ją na prostokąt i trójkąt równoramienny):

$P_p=2,4\cdot 2+\frac{2,4\cdot 0,9}{2}=5,88\left[{\mathrm{m}}^2\right]$

A zatem $P_n=42+2\cdot 5,88=53,76\left[{\mathrm{m}}^2\right]$.

Doliczając $5\%$ na zakładki i falbanki mamy: $56,448 {\mathrm{m}}^2\approx 57 {\mathrm{m}}^2$.

Pan Kowalski zapłaci $57\cdot 2=114\left[\mathrm{z}ł\right]$.

Największą trudnością w tym zadaniu jest wyznaczenie pola podstawy. Dla wielokąta foremnego możemy wykorzystać wzór:

$P=n·\frac{R^2·\sin \alpha }{2}$

gdzie:
$n$ – jest liczbą boków,
$R$ – promieniem okręgu opisanego na tym wielokącie,
$\alpha$ – kątem środkowym wyznaczonym przez odcinki łączące sąsiednie wierzchołki wielokąta ze środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

RqTEooGwVVOEG

Ilustracja przedstawia pięciokąt wpisany w krąg. Krawędź pięciokąta ma długość 10. W pięciokącie zaznaczono jego środek z którego poprowadzono odcinki do wierzchołków pięciokąta, odcinki te podpisano literą R, kąt między tymi odcinkami wynosi 72 stopnie.

Obliczymy $R$ z twierdzenia cosinusów. Posłużymy się przybliżoną wartością $\cos 72°$ odczytaną z tablic trygonometrycznych.

${10}^2=R^2+R^2-2·R^2·\cos 72°$

Czyli $100=2·R^2-0,618·R^2$, a stąd $1,382·{\mathrm{R}}^2=100$.

Mamy więc $R^2\approx 72,36$.

Pole podstawy wynosi więc w przybliżeniu

$P_p=5\cdot \frac{72,36\cdot \sin {72}^{\circ }}{2}\approx 172,05\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\right]$

Powierzchnia szkła wynosi $P=172,05+5\cdot 10\cdot 6,5=497,05\left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\right]$.