Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1QkY7RZBSpYy2

Ćwiczenie 1

Niech $A = (- 1, 1 ⟩$ . Dopasuj obraz zbioru $A$ przez podaną funkcję $f$ .

$f (x) = x^{2}$ , $f (x)$ $= "{"\begin{array}{c} x + 1, x \geq 0 \\ x - 1, x < 0 \end{array}""$ , $f (x)$ $= "{"\begin{array}{c} - x^{2}, x \leq 0 \\ 1 - x, x > 0 \end{array}""$ , $f (A) = ⟨ - 1; 1 ⟩$ , $f (A) = (- 2; 2 ⟩$ , $f (A) = (- 1; 1 ⟩$

Funkcja	Obraz
$f (x) = x^{2}$
$f (x)$ $= "{"\begin{array}{c} x + 1, x \geq 0 \\ x - 1, x < 0 \end{array}""$
$f (x)$ $= "{"\begin{array}{c} - x^{2}, x \leq 0 \\ 1 - x, x > 0 \end{array}""$

RTok1TnyFTHLs2

Ćwiczenie 2

Zaznacz funkcje $f$ spełniające założenia twierdzenia Darboux na podanym przedziale.

$f (x) = \cos x, x \in ⟨ 0, π ⟩$
$f (x)$ $= "{"\begin{array}{c} x^{2}, x \in ⟨ - 1; 0 ⟩ \\ x, x \in (0; 1 ⟩ \end{array}""$
$f (x)$ $= "{"\begin{array}{c} - x^{2}, x \in ⟨ 0; 1 ⟩ \\ x, x \in (1; 2 ⟩ \end{array}""$
$f (x)$ $= "{"\begin{array}{c} \ln "|"x"|", x \in ⟨ - 1; 0) \cup (0; 1 ⟩ \\ 0, x = 0 \end{array}""$

R17rbFw7ySh0G2

Ćwiczenie 3

f (x) = |x|, x \in ⟨ - 1; 2 ⟩

α =

\frac{1}{2}

, 2.

2

, 3.

3

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

- 2

, 6.

8

, 7.

2

, 8.

4

, 9.

- 1

, 10.

1

β =

\frac{1}{2}

, 2.

2

, 3.

3

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

- 2

, 6.

8

, 7.

2

, 8.

4

, 9.

- 1

, 10.

1

f (x) = \frac{1}{2^{x}}, x \in ⟨ - 1; 1 ⟩

α =

\frac{1}{2}

, 2.

2

, 3.

3

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

- 2

, 6.

8

, 7.

2

, 8.

4

, 9.

- 1

, 10.

1

β =

\frac{1}{2}

, 2.

2

, 3.

3

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

- 2

, 6.

8

, 7.

2

, 8.

4

, 9.

- 1

, 10.

1

f (x) = x^{2} - 4 x + 3, x \in ⟨ - 1; 0 ⟩

α =

\frac{1}{2}

, 2.

2

, 3.

3

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

- 2

, 6.

8

, 7.

2

, 8.

4

, 9.

- 1

, 10.

1

β =

\frac{1}{2}

, 2.

2

, 3.

3

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

- 2

, 6.

8

, 7.

2

, 8.

4

, 9.

- 1

, 10.

1

f (x) = \log_{2} (x), x \in ⟨ \frac{1}{4}; \sqrt{2} ⟩

α =

\frac{1}{2}

, 2.

2

, 3.

3

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

- 2

, 6.

8

, 7.

2

, 8.

4

, 9.

- 1

, 10.

1

β =

\frac{1}{2}

, 2.

2

, 3.

3

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

- 2

, 6.

8

, 7.

2

, 8.

4

, 9.

- 1

, 10.

1

Podaj ile wynosi $α = \min {f (a), f (b}$ oraz $β = \max {f (a), f (b}$ dla funkcji $f$ określonej na $⟨ a; b ⟩$ .

$2$ , $\frac{1}{2}$ , $1$ , $\frac{1}{2}$ , $4$ , $- 2$ , $- 1$ , $3$ , $8$ , $2$

a) $f (x) = "|"x"|", x \in ⟨ - 1; 2 ⟩$
$α =$ ............, $β =$ ............

b) $f (x) = \frac{1}{2^{x}}, x \in ⟨ - 1; 1 ⟩$
$α =$ ............, $β =$ ............

c) $f (x) = x^{2} - 4 x + 3, x \in ⟨ - 1; 0 ⟩$
$α =$ ............, $β =$ ............

d) $f (x) = \log_{2} (x), x \in ⟨ \frac{1}{4}; \sqrt{2} ⟩$
$α =$ ............, $β =$ ............

R16aunqTYFvqM2

Ćwiczenie 4

Wskaż zdania prawdziwe

Nieciągła funkcja $f$ określona na przedziale $⟨ a; b ⟩$ może przyjmować wszystkie wartości pośrednie między $f (a) i f (b)$ .
Nieciągła funkcja $f$ określona na przedziale $⟨ a; b ⟩$ może nie przyjmować wszystkich wartości pośrednich między $f (a) i f (b)$ .
Każda funkcja ciągła określona na dowolnym przedziale posiada wartość Darboux.
Istnieje funkcja ciągła określona na przedziale domkniętym, która nie posiada własności Darboux.

R7E0zl4RburaK3

Ćwiczenie 5

Dla jakich $a$ i $b$ spełniony jest warunek $f (a) \cdot f (b) < 0$ , jeśli $f (x) = 2^{x} + 4 x$ .

$a = - 1, b = - 2$
$a = - 1, b = 1$
$a = - 2, b = 1$
$a = 1, b = 2$

RZUGBvoxcYYxh3

Ćwiczenie 6

Dana jest funkcja $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ . Wskaż przedziały, w których na mocy twierdzenia Darboux funkcja na pewno ma miejsca zerowe.

$⟨ - 2; 2 ⟩$
$⟨ - 2; 1 ⟩$
$⟨ - 2; - 1 ⟩$
$⟨ - 1; 1 ⟩$
$⟨ - 1; 2 ⟩$

RZBYvosYRDtcU3

Ćwiczenie 7

Na których przedziałach możemy stwierdzić na podstawie własności Darboux, że równanie $x^{5} + 2 x^{4} - 5 x^{3} + 7 x - 1 = 0$ posiada rozwiązanie, bądź mamy za mało informacji żeby to wnioskować. Przeciągnij przedziały do odpowiedniego okienka.

posiada rozwiazanie
nie wiadomo

R1B8VxIhdxK0r3

Ćwiczenie 8

Dopasuj równanie do przedziału, tak aby posiadało rozwiązanie należące do niego.

x^{5} + 2 x - 1 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \in < - 1; 0 >

, 2.

x \in < 3; 5 >

, 3.

x \in < 0; 1 >

, 4.

x \in < 1; 2 >

4 x^{3} - x^{2} + 3 x + 6 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \in < - 1; 0 >

, 2.

x \in < 3; 5 >

, 3.

x \in < 0; 1 >

, 4.

x \in < 1; 2 >

x^{3} - 3 x^{2} = 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \in < - 1; 0 >

, 2.

x \in < 3; 5 >

, 3.

x \in < 0; 1 >

, 4.

x \in < 1; 2 >

x^{4} - x = 6

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \in < - 1; 0 >

, 2.

x \in < 3; 5 >

, 3.

x \in < 0; 1 >

, 4.

x \in < 1; 2 >

Dopasuj równanie do przedziału, tak aby posiadało rozwiązanie należące do niego.

$x^{5} + 2 x - 1 = 0$
$4 x^{3} - x^{2} + 3 x + 6 = 0$
$x^{3} - 3 x^{2} = 2$
$x^{4} - x = 6$

Infografika

Dla nauczyciela