Twierdzenie Darboux . Każda rzeczywista funkcja ciągła f działająca z domkniętego przedziału od a do b do zbioru liczb rzeczywistych przyjmuje wszystkie wartości z przedziału domkniętego od alfa do beta, gdzie $\alpha =\min \left\{f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}$ oraz $\beta =\max \left\{f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}$. Ilustracja do twierdzenia przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji funkcji będący kawałkiem falistej krzywej. Punkt początkowy będący jednocześnie maksimum funkcji zrzutowano na obie osie. Na osi X mamy z rzutu punkt a, na osi Y mamy wartość beta. Prawy koniec wykresu również zrzutowano na obie osie. Na osi X z rzutu zaznaczono wartość b, na osi Y zaznaczono wartość alfa poniżej beta. Na wykresie zaznaczono punkt, który również zrzutowano: na osi X oznaczono wartość x, a na osi Y wartość c, która znajduje się między wartościami alfa i beta. Koniec opisu. Przykłady funkcji nie spełniających Twierdzenia Darboux.

1. Funkcja, która nie jest określona na przedziale nie musi przyjmować wszystkich wartości pośrednich.
   Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na dodatniej półosi O Y zaznaczono od dołu kolejno wartości alfa, c, beta. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch kawałków krzywej w pofalowanym kształcie. Pierwszy kawałek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie na wysokości alfa. Drugi koniec znajduje się w zamalowanym punkcie umiejscowionym na poziomie poniżej wartości c. Na poziomie c linią przerywaną narysowano poziomą prostą. Powyżej wartości c znajduje się druga składowa wykresu o lewym końcu w zamalowanym punkcie powyżej wartości c i o prawym końcu w zamalowanym punkcie na poziomie beta.
2. Funkcja nieciągła mimo, że jest określona na przedziale, nie musi przyjmować wszystkich wartości pośrednich.
   Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na dodatniej półosi O Y zaznaczono od dołu kolejno wartości alfa, c, beta. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch kawałków krzywej w pofalowanym kształcie. Pierwszy kawałek ma lewy koniec w zamalowanym punkcie na wysokości beta. Z prawej strony kawałek ograniczony jest niezamalowanym punktem znajdującym się powyżej wartości c. Na poziomie c linią przerywaną narysowano poziomą prostą. Poniżej wartości c znajduje się druga składowa wykresu o lewym końcu w zamalowanym punkcie poniżej wartości c i o prawym końcu w zamalowanym punkcie na poziomie alfa.