Przeczytaj
Obecnie wiele problemów pozostawiamy komputerom. Na przykład, gdy przyjdzie nam rozwiązać równanie postaci zazwyczaj używamy odpowiedniego oprogramowania, by wyliczyło ono rozwiązanie numerycznie lub narysowało dość dokładne wykresy lewej i prawej strony. Następnie jesteśmy w stanie znaleźć punkty przecięcia, które są rozwiązaniami równania. To wszystko jest jednak tylko przybliżeniem.
Skąd nasza pewność, że równanie, które analizujemy w ogóle posiada rozwiązanie? Nie trudno przecież podać równanie, które nie posiada rozwiązań.
Przykład może stanowić choćby .
Wyznaczając wyróżnikwyróżnik powyższego wielomianu mamy , co jak wiemy przekłada się na brak rozwiązań rzeczywistych.
Podamy teraz główne twierdzenie obecnej lekcji i skomentujemy, dlaczego stanowi ono odpowiedź na postawiony powyżej problem.
Niech funkcja będzie funkcją ciągłąfunkcją ciągłą, oznaczmy:
Wówczas dla każdego istnieje taki , że .
Twierdzenie Darboux mówi zatem, że funkcja ciągła określona na przedziale przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy i . Jeszcze inne, prostsze w zapamiętaniu sformułowanie Darboux wymaga dodatkowej definicji.
Niech funkcja . Obrazem zbioru przez funkcję nazywamy zbiór
Niech funkcja będzie funkcją ciągłąfunkcją ciągłą. Wówczas jest przedziałem dla każdego .
Wróćmy teraz do wyjściowego problemu, a więc do równania .
Rozważmy funkcję daną wzorem .
Nietrudno zauważyć, że jest rozwiązaniem równania dokładnie wtedy, gdy . Ponadto funkcja jest ciągła. Policzmy teraz
oraz
.
Na mocy twierdzenia Darboux otrzymujemy, że funkcja przyjmuje wszystkie wartości z przedziału . Tym samym istnieje taki , że .
Pokażemy teraz, że teza twierdzenia Darboux nie musi zachodzić, gdy założenia nie są spełnione.
Rozważmy funkcję daną wzorem .
Wówczas wykres funkcji wygląda następująco.
Tym samym, mimo tego, że oraz , to nie istnieje spełniający , ponieważ .
Niech funkcja będzie określona wzorem
Wtedy wykres ma postać.
Zatem mimo tego, że , oraz , to wartość nie jest przyjmowana
Zobaczmy na prostym przykładzie w jaki sposób pokazać, że funkcja spełnia tezę Twierdzenia Darboux (1).
Udowodnimy, że dla funkcji ciągłej , spełniona jest teza Twierdzenia Darboux (1).
Skoro i , to i . Weźmy . Pokażemy, że istnieje takie , że .
W tym celu rozwiążemy równanie , tj. . Wyróżnik tego trójmianu to . Zauważmy, że dla spełniona jest nierówność . Mamy zatem dwa pierwiastki oraz . Pokażemy, że jest szukanym argumentem, czyli że .
Mamy ciąg równoważnych nierówności:
Obie strony nierówności są liczbami większymi od , więc możemy podnieść nierówność stronami do kwadratu. Tym samym otrzymujemy nierówność , która jest prawdziwa dla .
Pozostaje pokazać, że dla rozważanych wartości spełniona jest nierówność , czyli
, co również jest spełnione gdy .
Zatem oraz , więc spełnione jest teza Twierdzenia Darboux (1).
Słownik
dla wielomianu liczba dana wzorem
funkcja spełniająca jeden z równoważnych warunków ciągłości (Cauchy’ego lub Heinego)