Rysunek przedstawia przykładowe, jedno z wielu rozwiązań problemu.

R1XPrL2POVEyd

Ilustracja przedstawia prostokąt leżący na dłuższym boku wraz z jego dwoma przekątnymi. Oba jego dłuższe boki są podstawami trójkątów równoramiennych. Ilustracja prezentuję także jedną z możliwych rozwiązań zadanego problemu. Jeden, dolna podstawa prostokąta. Dwa, jego lewa ściana boczna. Trzy, lewę ramię górnego trójkąta. Cztery, prawe ramię górnego trójkąta. Pięć, podstawa górnego trójkąta. Sześć, przekątna prostokąta. Siedem, prawe ramię dolnego trójkąta. Osiem, lewe ramię dolnego trójkąta. Dziewięć druga przekątna prostokąta. Dziesięć, lewa ściana prostokąta.

Niech $L_1$ będzie obwodem, a $P_1$ polem powierzchni figury $F_1$. Wtedy jej iloraz izoporymetryczny jest równy$Q_1=\frac{4\pi ·P_1}{{L_1}^2}$. Niech $k$ będzie skalą podobieństwa, w jakiej figura $F_2$ jest podobna do figury $F_1$. Wtedy mamy $L_2=k·L_1$ oraz $P_2=k^2·P_1$. Zatem $Q_2=\frac{4\pi ·\left(k^2·P_1\right)}{{\left(k·L_1\right)}^2}=\frac{k^2·4\pi ·P_1}{k^2·{L_1}^2}=\frac{4\pi ·P_1}{{L_1}^2}=Q_1$.

Rozważmy trapez równoramienny $ABCD$ i trapez $ABEF$ taki, że $\left|CD\right|=\left|EF\right|$ i punkty $C$, $D$, $E$, $F$ są współliniowe. Poprowadźmy odcinek równoległy do ramienia $EB$ i przechodzący przez wierzchołek $F$ oraz odcinek równoległy do ramienia $CB$ i przechodzący przez wierzchołek $D$. Widać, że odcinki te przecinają podstawę $AB$ w tym samym punkcie – oznaczmy go przez $G$, jak na rysunku.

R1F9Jh2V1InPV

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny A B C D i trapez A B E F. Punkty C D E F są współliniowe, a odcinki D F i C E są sobie równe. Z punktu D poprowadzono prostą równoległą do odcinka B C, natomiast z punktu F poprowadzono prostą równoległą do odcinka B E. Oba odcinki przecinają się w jednym punkcie G zawartym w odcinek A B.

Zauważmy, że wówczas $\left|AD\right|+\left|BC\right|=\left|AD\right|+\left|DG\right|$ oraz $\left|AF\right|+\left|BE\right|=\left|AF\right|+\left|FG\right|$. Ale z Twierdzenia o wyznaczeniu trójkąta o danym polu, który ma najmniejszy obwód wynika, że trójkąt równoramienny $AGD$ ma najmniejszy obwód spośród wszystkich takich trójkątów, czyli mniejszy także od trójkąta $AGF$. W konsekwencji obwód trapezu $ABCD$ jest najmniejszy spośród wszystkich trapezów o danych podstawach i danej wysokości. Co było do udowodnienia.