Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RK9Dw4ziCK88U

Rx17refDuGllx

Ćwiczenie 2

RMv6A83HbmWyQ

RsTR4sHE0ur19

Ćwiczenie 3

Wykaż, że przedstawiona na rysunku figura jest łamaną, wprowadzając numerację kolejnych odcinków.

Rx0GYKBuhq9mS

Ilustracja przedstawia prostokąt leżący na dłuższym boku wraz z jego dwoma przekątnymi. Oba jego dłuższe boki są podstawami trójkątów równoramiennych.

Ćwiczenie 4

RtnJYDGbGX2uN

R1eHxmG7sc2S0

level=2R1VlGvP6mkO8Q

Ćwiczenie 5

Wskaż wartość ilorazu izopometrycznego do trójkąta prostokątnego o danych bokach.

boki trójkąta prostokątnego
$3$ , $4$ , $5$	$\frac{π}{6}$ □	$2 π$ □
$5$ , $12$ , $13$	$\frac{2 π}{15}$ □	$\frac{4 π}{15}$ □
$8$ , $15$ , $17$	$\frac{7 π}{20}$ □	$\frac{3 π}{20}$ □

Ćwiczenie 6

Wykaż, że iloraz izoporymetryczny figur podobnych jest sobie równy.

Niech $L_{1}$ będzie obwodem, a $P_{1}$ polem powierzchni figury $F_{1}$ . Wtedy jej iloraz izoporymetryczny jest równy $Q_{1} = \frac{4 π \cdot P_{1}}{{L_{1}}^{2}}$ . Niech $k$ będzie skalą podobieństwa, w jakiej figura $F_{2}$ jest podobna do figury $F_{1}$ . Wtedy mamy $L_{2} = k \cdot L_{1}$ oraz $P_{2} = k^{2} \cdot P_{1}$ . Zatem $Q_{2} = \frac{4 π \cdot (k^{2} \cdot P_{1})}{{(k \cdot L_{1})}^{2}} = \frac{k^{2} \cdot 4 π \cdot P_{1}}{k^{2} \cdot {L_{1}}^{2}} = \frac{4 π \cdot P_{1}}{{L_{1}}^{2}} = Q_{1}$ .

RlkJnKiUCtJ1O3

Ćwiczenie 7

Uporządkuj, w kolejności rosnącej, wielokąty foremne, względem ich ilorazu izoporymetrycznego.

szesnastokąt foremny
czternastokąt foremny
dziesięciokąt foremny
dwunastokąt foremny

Ćwiczenie 8

Wykaż, że spośród trapezów o danych podstawach i danej wysokości najmniejszy obwód ma trapez równoramienny.

Rozważmy trapez równoramienny $A B C D$ i trapez $A B E F$ taki, że $|C D| = |E F|$ i punkty $C$ , $D$ , $E$ , $F$ są współliniowe. Poprowadźmy odcinek równoległy do ramienia $E B$ i przechodzący przez wierzchołek $F$ oraz odcinek równoległy do ramienia $C B$ i przechodzący przez wierzchołek $D$ . Widać, że odcinki te przecinają podstawę $A B$ w tym samym punkcie – oznaczmy go przez $G$ , jak na rysunku.

R1F9Jh2V1InPV

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny A B C D i trapez A B E F. Punkty C D E F są współliniowe, a odcinki D F i C E są sobie równe. Z punktu D poprowadzono prostą równoległą do odcinka B C, natomiast z punktu F poprowadzono prostą równoległą do odcinka B E. Oba odcinki przecinają się w jednym punkcie G zawartym w odcinek A B.

Zauważmy, że wówczas $|A D| + |B C| = |A D| + |D G|$ oraz $|A F| + |B E| = |A F| + |F G|$ . Ale z Twierdzenia o wyznaczeniu trójkąta o danym polu, który ma najmniejszy obwód wynika, że trójkąt równoramienny $A G D$ ma najmniejszy obwód spośród wszystkich takich trójkątów, czyli mniejszy także od trójkąta $A G F$ . W konsekwencji obwód trapezu $A B C D$ jest najmniejszy spośród wszystkich trapezów o danych podstawach i danej wysokości. Co było do udowodnienia.

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela