Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Proste $k$ i $l$ z rysunku są równoległe. Wówczas wartość $x$ wynosi:

R4r3CYreAo5bm

Ilustracja przedstawia dwie proste, pierwsza pozioma druga pod katem ostrym względem pierwszej przecinające się w jednym punkcie S. Na rysunku zaznaczono także dwie równoległe do siebie proste k oraz l, przecinające obie proste, dzieląc je na cztery odcinki. W pierwszym przypadku prostej poziomej odcinek pomiędzy punktem przecięcia prostej k a punktem S ma długość dwa, natomiast odcinek pomiędzy puntem S a puntem przecięcia prostej l ma długość x dodać pięć. W przypadku drugiej prostej odcinek pomiędzy punktem przecięcia prostej k a punktem s ma długość osiem odjąć x, natomiast odcinek pomiędzy punktem S a punktem przecięcia prostej l ma długość trzynaście minus x.

R18J7air9W9cc

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Ćwiczenie 2

Wiadomo, że trójkąty przedstawione na rysunkach są podobne.

R1Dz8dkv3vNC7

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy o przyprostokątnych równych x dodać dwa oraz sześć i kącie alfa przy przyprostokątnej o długości sześć. Drugi o przyprostokątnych szesnaście i x odjąć dwa oraz kącie alfa przy przyprostokątnej o długości x odjąć dwa.

RllCzJzWxjpRG

Zaznacz wszystkie zdania, które są prawdziwe.

Wartość $x$ wynosi $10$ .
Długości przeciwprostokątnych obu trójkątów różnią się $10$ .
Pole mniejszego trójkąta jest równe $96$ .
Do wyznaczenia długości przyprostokątnych obu trójkątów możemy rozwiązać równanie $\frac{x - 2}{16} = \frac{6}{x + 2}$ .

Ćwiczenie 3

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $6$ i $8$ wpisano kwadrat o boku $x$ tak, jak na poniższym rysunku.

RUa2olZXfCWKV

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C o długości przyprostokątnych A B równej osiem oraz A C równej sześć. Na odcinku B C utworzono punkt E i zrzutowano go na odcinek A C w punkcie D oraz na odcinek A B w punkcie F. Wewnątrz trójkąta powstał kwadrat A F E D o długości boków x.

RQ7SrMxPwu8KH

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$\frac{216}{49}$ , $\frac{22}{7}$ , $\frac{24}{7}$ , $\frac{384}{49}$ , $\frac{576}{49}$ , $\frac{144}{49}$

Wartość $x$ wynosi .............
Pole kwadratu jest równe .............
Pole trójkąta $C D E$ jest równe .............
Pole trójkąta $F B E$ jest równe .............

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny $A B C$ . Długość odcinka $x$ możemy obliczyć z równania:

ROruw1fmeBU2o

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny A B C. Odcinek A B ma długość pięć natomiast ramię trójkąta ma długość x. Z punktu B poprowadzono odcinek B D o długości pięć, dzielący odcinek A C na dwie części, pierwsza z nich A D o długości x odjąć pięć oraz druga D Co długości pięć.

R21Rl8kNn6YlR

Zaznacz poprawną odpowiedź.

$\frac{x}{5} = \frac{5}{x - 5}$
$\frac{5}{x} = \frac{5}{x - 5}$
$\frac{x}{5} = \frac{5}{x}$

Ćwiczenie 5

W trapezie równoramiennym punkt przecięcia przekątnych podzielił wysokość w taki sposób, że jedna z części tego odcinka jest o $6$ dłuższa od drugiej. Ponadto krótsza podstawa tego trapezu jest równa jego wysokości, a podstawy różnią się o $24$ . Oblicz pole tego trapezu.

Narysujmy trapez równoramienny i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1EQ4S7Z1fhJN

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Na rysunku zaznaczono również obie przekątne figury, przekątną A C oraz B D przecinające się w punkcie S. Powstały dwa trójkąty, trójkąt S C D oraz trójkąt A B S. Z wierzchołka S upuszczono wysokość trójkąta S C D o długości x oraz wysokość trójkąta A B S o długości x dodać sześć. Odcinek A B ma długość dwa x dodać trzydzieści, natomiast odcinek D C ma długość dwa x dodać sześć.

Zauważmy, że $x > 0$ oraz trójkąty $A B S$ i $S C D$ są podobne z cechy podobieństwa trójkątów $k k k$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{2 x + 6}{x} = \frac{2 x + 30}{x + 6}$

$(2 x + 6) \cdot (x + 6) = x \cdot (2 x + 30)$

$2 x^{2} + 12 x + 6 x + 36 = 2 x^{2} + 30 x$

$12 x = 36$

$x = 3$

Niech $a$ , $b$ , $h$ będą odpowiednio długościami dłuższej i krótszej podstawy oraz wysokości trapezu.

Wówczas:

$a = 36$

$b = 12$

$h = 12$

Zatem pole omawianego trapezu jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$

$P = \frac{1}{2} \cdot (36 + 12) \cdot 12 = 288$

Ćwiczenie 6

Skala podobieństwa dwóch trójkątów podobnych wynosi $4$ . Oblicz pole każdego z tych trójkątów wiedząc, że pola tych figur różnią się o $75$ .

Niech $P_{1}$ i $P_{2}$ będą polami omawianych trójkątów, przy czym $P_{1} > P_{2}$ .

Ponadto wiadomo, że $P_{1} = P_{2} + 75$ .

Jeżeli skala podobieństwa dwóch trójkątów podobnych wynosi $4$ , to stosunek ich pól jest równy $16$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $P_{2}$ rozwiązujemy równanie:

$16 = \frac{P_{2} + 75}{P_{2}}$

$16 P_{2} = P_{2} + 75$

$15 P_{2} = 75$

$P_{2} = 5$

Wobec tego

$P_{1} = 5 + 75 = 80$

Ćwiczenie 7

W trójkąt równoramienny o wierzchołkach $A = (- 10, 0)$ , $B = (10, 0)$ , $C = (0, 5)$ wpisano prostokąt $K L M N$ , którego dwa wierzchołki leżą na osi $X$ , a pozostałe dwa należą do ramion tego trójkąta tak, że $M = (x, x)$ oraz $x \in (0, 5)$ . Oblicz pole tego prostokąta.

Narysujmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RmkXc75Mai146

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dziesięciu do dziesięciu oraz pionową oś Y od minus jedynki do sześciu. Na rysunku zaznaczono także punkt A o współrzędnych nawias minus dziesięć średnik zero, punkt B o współrzędnych nawias dziesięć średnik zero oraz punkt C o współrzędnych nawias zero średnik pięć koniec nawiasu. Powstał trójkąt równoramienny A B C. Na odcinku B C zaznaczono także punkt M o współrzędnych nawias x średnik x koniec nawiasu oraz na odcinku A C punkt N o współrzędnych nawias minus x średnik x. Oba te punkty zostały zrzutowane na oś X w punktach L i K. Wewnątrz trójkąta powstał prostokąt K L M N.

Zauważmy, że trójkąty $A B C$ oraz $N M C$ są podobne.

Z przyjętych oznaczeń wynika, że:

$|M N| = 2 x$

$|A B| = 20$

$|O C| = 5$

$|S C| = 5 - x$ ,

gdzie $S C$ jest wysokością trójkąta $N M C$ . Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{20}{5} = \frac{2 x}{5 - x}$

$20 \cdot (5 - x) = 5 \cdot 2 x$

$100 - 20 x = 10 x$

$x = \frac{10}{3}$

Wobec tego:

$|N M| = \frac{20}{3}$

$|L M| = \frac{10}{3}$

Zatem pole prostokąta $K L M N$ jest równe:

$P = \frac{10}{3} \cdot \frac{20}{3} = \frac{200}{9} = 22 \frac{2}{9}$

R2YAbJIPh2eNZ3

Ćwiczenie 8

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami. Pole kwadratu jest równe

361 {cm}^{2}

. Jego jeden bok zwiększono o

x cm

, a drugi zmniejszono o

x cm

. W ten sposób otrzymano prostokąt, w którym stosunek długości boków wynosi

12 : 7

. Zatem: - wartość

x

wynosi Tu uzupełnij, - obwód tego prostokąta jest równy Tu uzupełnij

cm

, - pole tego prostokąta jest równe Tu uzupełnij

{cm}^{2}

, - pole otrzymanego prostokąta jest mniejsze o Tu uzupełnij

{cm}^{2}

od pola kwadratu.

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami.

Pole kwadratu jest równe $361 {cm}^{2}$ . Jego jeden bok zwiększono o $x cm$ , a drugi zmniejszono o $x cm$ . W ten sposób otrzymano prostokąt, w którym stosunek długości boków wynosi $12 : 7$ . Zatem:
- wartość $x$ wynosi ............,
- obwód tego prostokąta jest równy ............ $cm$ ,
- pole tego prostokąta jest równe ............ ${cm}^{2}$ ,
- pole otrzymanego prostokąta jest mniejsze o ............ ${cm}^{2}$ od pola kwadratu.

Animacja

Dla nauczyciela