Sprawdź się

W poniższych zadaniach użyteczne mogą być poniższe wartości momentów bezwładności różnych brył sztywnych względem osi przechodzących przez ich środek masy:

Opis bryły	Moment bezwładności
Walec o promieniu $R$ i masie $m$	$\frac{1}{2} m R^{2}$
Kula o promieniu $R$ i masie $m$	$\frac{2}{5} m R^{2}$
Obręcz cienkościenna o promieniu $R$ i masie $m$	$m R^{2}$

Pokaż ćwiczenia:

R1biw1NnsbEUY1

Ćwiczenie 1

Wskaż, który wzór poprawnie opisuje całkowitą energię kinetyczną bryły sztywnej o masie $m$ i momencie bezwładności $I$ , toczącej się z prędkością $v$ i obracającą się z prędkością kątową $ω$ z równi pochyłej z wysokości $H$ :

$E_{k} = \frac{m v^{2}}{2} + m g H$
$E_{k} = m g H + \frac{I ω^{2}}{2}$
$E_{k} = \frac{m v^{2}}{2} + \frac{I ω^{2}}{2}$
$E_{k} = \frac{m v^{2}}{2} + \frac{I ω^{2}}{2} + m g H$

RjXecfEAovuib1

Ćwiczenie 2

Trzy bryły sztywne o tej samej masie i promieniu – kula, walec i obręcz – staczają się bez poślizgu z równi pochyłej, z tej samej wysokości. Uporządkuj poniższą tabelę tak, aby na górze umieścić bryłę, która stoczy się najszybciej, a na dole tę, która stoczy się najwolniej:

Walec
Obręcz
Kula

Ćwiczenie 3

R1RpNBPmy0eK9

Kula o promieniu 1m stoczyła się z równi pochyłej z wysokości 2,8 metrów, tocząc się bez poślizgu. Z jaką częstotliwością porusza się ta kula u podnóża równi?

Około 0,5 obrotu/sekundę
Około 1 obrót/sekundę
Około 2 obroty/sekundę

W tekście multimedium wyprowadzono wzór $ω_{k} = \sqrt{\frac{10}{7} \frac{g H}{R^{2}}}$ , zatem wstawiając:

ω_{k} = \sqrt{\frac{10}{7} \frac{9, 81 m / s^{2} \cdot 2, 8 m}{{1 m}^{2}}} = 6, 26 \frac{r a d}{s} \approx 1 \frac{o b rót}{sekundę}

Ćwiczenie 4

R1Jj9PXoDcGdq

Najpierw na podstawie danych o kole musimy ustalić jego promień:

m = ρ V = ρ π R^{2} h

R = \sqrt{\frac{m}{ρ π h}} = \sqrt{\frac{3, 8 k g}{π \cdot 8600 \frac{k g}{m^{3}} \cdot 0, 025 m}} \approx 0, 075 m = 7, 5 c m

Teraz możemy skorzystać z zasady zachowania energii oraz zależności $v = ω R$ i otrzymać:

m_{w} g H = \frac{m_{w} v^{2}}{2} + \frac{I_{w} ω_{w}^{2}}{2}

m_{w} g H = \frac{m_{w} {(ω_{w} R)}^{2}}{2} + \frac{\frac{1}{2} m_{w} R^{2} ω_{w}^{2}}{2}

4 g H = 2 ω_{w}^{2} R^{2} + R^{2} ω_{w}^{2}

4 g H = 3 ω_{w}^{2} R^{2}

ω_{w} = \sqrt{\frac{4 g H}{3 R^{2}}}

Ta zależność pozwala nam obliczyć końcowy wynik:

ω_{w} = \sqrt{\frac{4 g H}{3 R^{2}}} = \sqrt{\frac{4}{5} \frac{9, 81 m / s^{2} \cdot 1, 5 m}{{(0, 075 m)}^{2}}} \approx 59 \frac{r a d}{s} \approx 9, 4 \frac{o b r}{s}

Ćwiczenie 5

Obraz poniżej przedstawia koło Maxwella w kolejnych fazach ruchu. Kolejno od lewej strony: koło jest w spoczynku na wysokości $H$ , koło porusza się w dół, pokonując wysokość $h$ . Na jakiej wysokości $h$ energia potencjalna koła będzie równa jego energii kinetycznej? Odpowiedź podaj jako ułamek dziesiętny ( $h = x H$ , gdzie $x$ to ułamek z zakresu od 1 (koło na samym dole) do 0 (koło na samej górze)).

RvU3lmjR4wMVQ

Ilustracja przedstawi cztery rysunki koła Maxwella w różnych pozycjach. Urządzenia narysowane są w postaci czarnej prostokątnej ramki ustawionej pionowo, bez dolnej krawędzi. Ramka narysowana jest czarnymi liniami. Do górnej krawędzi ramki przymocowano dwa sznurki narysowane w postaci cienkich i niebieskich linii. Sznurki zwisają równolegle a ich dolne końce nawinięte są na poziomy pręt narysowany w postaci niebieskiego, poziomego prostokąta. W połowie odległości pomiędzy sznurkami widoczny jest Cienki dysk o średnicy większej niż średnica pręta. Dysk narysowano w postaci pionowego, niebieskiego prostokąta. Na rysunku po lewej stronie pręt z dyskiem znajduje się tuż pod górną krawędzią ramki. Jest to położenie maksymalne koła Maxwella. Obok po prawej stornie pręt z dyskiem znajduje się niżej niż położenia w maksymalnej wysokości. Odległość pomiędzy Środkiem dysku a położeniem maksymalnym opisano małą literą h. Przez środek pręta w maksymalnym położeniu przechodzi czarna, przerywana i pozioma linia. Taką samo linia widoczna jest u dołu ramki. Odległość pomiędzy tymi liniami opisano wielką literą H. Odległość ta stanowi maksymalną różnicę wysokości koła Maxwella.

R1U1lwYdGObmf

Odpowiedź: $h$ = ............ $H.$

Korzystając z zasady zachowania energii, możemy zapisać, ze całkowita energia mechaniczna w tym układzie, to w każdym momencie suma energii potencjalnej i kinetycznej, zmieniające się z wysokością:

E_{t o t} = E_{p o t} (h) + E_{k i n} (h)

szukamy takiej wysokości $h$ , dla której prawdziwe będzie równanie:

E_{p o t} (h) = E_{k i n} (h)

Wymusza to, aby:

E_{t o t} = E_{p o t} (h) + E_{p o t} (h) = 2 E_{p o t} (h)

E_{p o t} (h) = \frac{E_{t o t}}{2}

m g h = \frac{m g H}{2}

h = \frac{H}{2} = 0, 5 H

Ćwiczenie 6

Koło Maxwella o masie 3 kg i promieniu 7,5 cm opuszcza się z wysokości 1,5 m. Poniższy wykres prezentuje przemiany energii zachodzące podczas opadania tego koła. Przyporządkuj legendzie opisy:

R1L2ovNn8Dbfy

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych narysowany czarnymi liniami, w którym oś pionowa skierowana w górę opisuje energię wyrażoną w dżulach, a oś pozioma skierowana w lewo opisuje Wysokość na jakiej znajduje się koło wyrażoną w metrach. Układ współrzędnych i wykres funkcji widoczny w nim przedstawiają przemiany energii w kole Maxwella. Na osi energii zaznaczono wartości od zera do pięćdziesięciu dżuli co pięć dżuli. Na osi wysokości zaznaczono wartości od zera do jednego i pięciu dziesiątych metra, co jedną dziesiątą metra. W układzie widocznych jest pięć funkcji liniowych narysowanych w postaci kolorowych odcinków prostych. Funkcja wielka litera A narysowana jest fioletową linią. Funkcja wielka litera A ma stałą wartość czterdziestu pięciu dżuli. Funkcja wielka litera B narysowana jest czerwoną linią. Funkcja wielka litera B jest rosnąca od zero dżuli dla wysokości zera metrów, do wartości czterdziestu pięciu dżuli dla wysokości jednego i pół metra. Funkcja wielka litera C narysowana jest zieloną linią. Funkcja wielka litera C jest malejąca od wartości czterdziestu pięciu dżuli dla wysokości zera metrów, do wartości zera dżuli dla wysokości jednego i pół metra. Funkcja wielka litera D narysowana jest żółtą linią. Funkcja wielka litera D jest malejąca od wartości trzydziestu dżuli dla wysokości zera metrów, do wartości zera dżuli dla wysokości jednego i pół metra. Funkcja wielka litera E narysowana jest niebieską linią. Funkcja wielka litera E jest malejąca od wartości piętnastu dżuli dla wysokości zera metrów, do wartości zera dżuli dla wysokości jednego i pół metra.

RDwbprswCbitF

Energia potencjalna, Całkowita energia kinetyczna, Całkowita energia mechaniczna, Energia kinetyczna ruchu postępowego, Energia kinetyczna ruchu obrotowego

A
B
C
D
E

RBDW8fQLvB2Pj3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Obraz poniżej przedstawia koło Maxwella w kolejnych fazach ruchu. Kolejno od lewej strony: (1) koło jest w spoczynku, (2) koło porusza się w dół, (3) koło znajduje się w najniższej pozycji (sznurek rozwinął się całkowicie).

R1EviKB5eZ638

RnfqnkYA8MFWj

W trakcie ruchu zachowana jest całkowita energia mechaniczna, jednakże następują jej przemiany. Energia potencjalna grawitacji zmienia się w energię kinetyczną i na odwrót. W różnych fazach ruchu zmienia się wartość poszczególnych składowych. Przyjrzyj się kolejnym fazom ruchu 1, 2, 3 i zastanów nad tymi przemianami energii. Przyporządkuj poniższe opisy związane ze składowymi energii mechanicznej do poszczególnych faz ruchu koła:

Dominuje energia potencjalna grawitacji, Energia mechaniczna ma składowe: energia kinetyczna ruchu postępowego, ruchu obrotowego i energia potencjalna grawitacji, Dominuje energia kinetyczna ruchu obrotowego

(1)
(2)
(3)

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela