Wyznaczamy liczbę $x$ – korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i własności logarytmów.

$2\left(1+{\log }_{4}x\right)=0,5+{\log }_4{x}^3+{\log }_4\sqrt{x}$

$2\left({\log }_{4}4x\right)={\log }_4\left(2x^3·\sqrt{x}\right)$

$16x^2=2x^{\frac{7}{2}} |:2x^2$

$8=x^{\frac{3}{2}}$

$x=4$

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu i różnicę ciągu.

$a_1={\log }_4\sqrt{4}=0,5$

$a_2=1+{\log }_{4}4=2$

$r=2-0,5=1,5$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu: $a_n=0,5+\left(n-1\right)·1,5=1,5n-1$.

Obliczamy sumę wyrazów stojących po prawej stronie równania.

$a_1+a_2+\dots +a_n=105$

$0,5+2+\dots + 1,5n-1=105$

$\frac{0,5+1,5n-1}{2}·n=105$

Z otrzymanego równania wyznaczamy $n$.

$3n^2-n-420=0$

$∆=5041\Rightarrow \sqrt{∆}=71$

$n=-\frac{70}{6}\notin \mathrm{\mathbb{N}}$ lub $n=12$

Obliczamy $y$.

$y=1,5·12-1=17$

${\left(0,2\right)}^{4-3x}=5^{2x+1}$

${\left(\frac{1}{5}\right)}^{4-3x}=5^{2x+1}$

$5^{3x-4}=5^{2x+1}$

$3x-4=2x+1$

$x=5$

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$r$ – różnica ciągu.

Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań wynikający z treści zadania.

$\left\{\begin{array}{l}5a+10r=5\\ a+3r=\frac{5}{4}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a+2r=1\\ a+3r=\frac{5}{4}\end{array}\right.$

Odejmujemy równania stronami.

$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ r=\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu $a_n=\frac{1}{2}+\left(n-1\right)·\frac{1}{4}$.