Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RG5ftXpdhBElj

RMaxjJyEumtTQ

Na opisach poniżej przedstawiono graniastosłupy prawidłowe trójkątne. Oblicz objętości tych graniastosłupów i dopasuj do rysunków.

54

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi

a = 2 \sqrt{6}

oraz wysokością równą

h = 3 \sqrt{3}

., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Zaznaczono przekątną ściany bocznej nachyloną do krawędzi podstawy pod kątem

α = 45 °

P_{A C F D} = 12

, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Zaznaczono przekątną ściany bocznej nachyloną do krawędzi podstawy pod kątem

30 °

oraz

P_{p} = 24 \sqrt{3}

96 \sqrt{6}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi

a = 2 \sqrt{6}

oraz wysokością równą

h = 3 \sqrt{3}

α = 45 °

P_{A C F D} = 12

30 °

oraz

P_{p} = 24 \sqrt{3}

18

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi

a = 2 \sqrt{6}

oraz wysokością równą

h = 3 \sqrt{3}

α = 45 °

P_{A C F D} = 12

30 °

oraz

P_{p} = 24 \sqrt{3}

R1Rb70pglYukt1

Ćwiczenie 2

Łączenie par. . Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy

\sqrt{6}

i wysokości

\sqrt{3}

wynosi

4, 5

.. Możliwe odpowiedzi: TAK, NIE. Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy

5

i objętości

50 \sqrt{3}

wynosi

16

.. Możliwe odpowiedzi: TAK, NIE. Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości równej

4 \sqrt{3}

i objętości

27

wynosi

4

.. Możliwe odpowiedzi: TAK, NIE. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa

12 \sqrt{3}

. Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem, którego

tg α = \frac{3}{4}

. Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi

4 \sqrt{2}

.. Możliwe odpowiedzi: TAK, NIE

Zaznacz tak lub nie, w zależności od tego czy podane stwierdzenie jest prawdziwe lub fałszywe.

Zdanie	TAK	NIE
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy $\sqrt{6}$ i wysokości $\sqrt{3}$ wynosi $4, 5$ .	□	□
Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy $5$ i objętości $50 \sqrt{3}$ wynosi $8$ .	□	□
Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości równej $4 \sqrt{3}$ i objętości $27$ wynosi $4$ .	□	□
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $12 \sqrt{3}$ . Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem, którego $tg α = \frac{3}{4}$ . Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $4 \sqrt{2}$ .	□	□

Ćwiczenie 3

RxGTLozIr1Uu5

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz. 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

, 4. wysokość, 5. trójkąta równoramiennego, 6. sumie, 7. iloczynowi, 8. podstawy, 9. przekątna ściany bocznej, 10. Pole powierzchni bocznej, 11. krawędzi bocznej, 12. trójkąta prostokątnego, 13. Objętość, 14. wysokości podstawy graniastosłupa, 15.

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej pola podstawy przez 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej graniastosłupa. Pole 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego obliczamy korzystając ze wzoru na pole 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej. Długość wysokości graniastosłupa prawidłowego trójkątnego równa się długości 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi

a

i wysokości

h

obliczamy ze wzoru 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej.

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz. 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej pola podstawy przez 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej graniastosłupa. Pole 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego obliczamy korzystając ze wzoru na pole 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej. Długość wysokości graniastosłupa prawidłowego trójkątnego równa się długości 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi

a

i wysokości

h

obliczamy ze wzoru 1. Pole powierzchni całkowitej, 2.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h

, 3.

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h

V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h

, 16. trójkąta równobocznego, 17.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h

, 18. przekątna podstawy, 19. ilorazowi, 20. ściany bocznej.

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz.

krawędzi bocznej, iloczynowi, Pole powierzchni bocznej, wysokości podstawy graniastosłupa, ilorazowi, Pole powierzchni całkowitej, $V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} h$ , ściany bocznej, trójkąta prostokątnego, $V = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} h$ , $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} h$ , przekątna ściany bocznej, podstawy, Objętość, wysokość, trójkąta równobocznego, sumie, przekątna podstawy, $V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h$ , trójkąta równoramiennego

...................................................................... graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa ...................................................................... pola podstawy przez ...................................................................... graniastosłupa. Pole ...................................................................... graniastosłupa prawidłowego trójkątnego obliczamy korzystając ze wzoru na pole ....................................................................... Długość wysokości graniastosłupa prawidłowego trójkątnego równa się długości ....................................................................... Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi $a$ i wysokości $h$ obliczamy ze wzoru .......................................................................

Ćwiczenie 4

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wprowadzono oznaczenia tak jak na rysunku. Przeciągnij i upuść właściwe wzory.

R5jJNSniF2eFh

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F z krawędziami podstawy równymi a oraz wysokością równą h. Zaznaczono przekątną ściany bocznej graniastosłupa d tworzącą z krawędzią podstawy kąt o mierze α. Wysokość podstawy oznaczono jako h indeks dolny p koniec indeksu.

RPyWIS5Zk44C7

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wprowadzono oznaczenia tak jak na rysunku 1008-4.4. Przyporządkuj właściwe wzory. 1) Krawędź podstawy dana jest wzorem: 1. {

V h_{p} \sin α

}, 2. {

\sqrt{\frac{d^{2} + a^{2}}{h^{2} - a^{2}}}

}, 3. {

0, 5 d^{2} \sqrt{h^{2} - 0, 5 d^{2}}

}, 4.

\frac{1}{2} d^{2} \sin 2 α

, 5. {

\sqrt{\frac{h_{p}}{d}}

}, 6.

\frac{\sqrt{3}}{4} d^{3} \sin α \sin 2 α

, 7.

\frac{2 V}{h \cdot h_{p}}

, 8. {

2 d^{2} - h^{2}

}, 9.

\frac{\sqrt{2}}{2} d^{2} \sin 2 α

, 10. {

\sin α \sqrt{\frac{d^{2} - a^{2}}{{h_{p}}^{2} + 2 a^{2}}}

}, 11. {

a^{2} h_{p} \sqrt{2}

}, 12. {

0, 5 d^{2}

}, 13.

\frac{\sqrt{3}}{4} d^{2} \cos^{2} α

, 14. {

a^{3} h \tan α

}, 15. {

2 d^{2} \sin 2 α

}
2) Pole podstawy jest dane wzorem: 1. {

V h_{p} \sin α

}, 2. {

\sqrt{\frac{d^{2} + a^{2}}{h^{2} - a^{2}}}

}, 3. {

0, 5 d^{2} \sqrt{h^{2} - 0, 5 d^{2}}

}, 4.

\frac{1}{2} d^{2} \sin 2 α

, 5. {

\sqrt{\frac{h_{p}}{d}}

}, 6.

\frac{\sqrt{3}}{4} d^{3} \sin α \sin 2 α

, 7.

\frac{2 V}{h \cdot h_{p}}

, 8. {

2 d^{2} - h^{2}

}, 9.

\frac{\sqrt{2}}{2} d^{2} \sin 2 α

, 10. {

\sin α \sqrt{\frac{d^{2} - a^{2}}{{h_{p}}^{2} + 2 a^{2}}}

}, 11. {

a^{2} h_{p} \sqrt{2}

}, 12. {

0, 5 d^{2}

}, 13.

\frac{\sqrt{3}}{4} d^{2} \cos^{2} α

, 14. {

a^{3} h \tan α

}, 15. {

2 d^{2} \sin 2 α

}
3) Objętość jest równa: 1. {

V h_{p} \sin α

}, 2. {

\sqrt{\frac{d^{2} + a^{2}}{h^{2} - a^{2}}}

}, 3. {

0, 5 d^{2} \sqrt{h^{2} - 0, 5 d^{2}}

}, 4.

\frac{1}{2} d^{2} \sin 2 α

, 5. {

\sqrt{\frac{h_{p}}{d}}

}, 6.

\frac{\sqrt{3}}{4} d^{3} \sin α \sin 2 α

, 7.

\frac{2 V}{h \cdot h_{p}}

, 8. {

2 d^{2} - h^{2}

}, 9.

\frac{\sqrt{2}}{2} d^{2} \sin 2 α

, 10. {

\sin α \sqrt{\frac{d^{2} - a^{2}}{{h_{p}}^{2} + 2 a^{2}}}

}, 11. {

a^{2} h_{p} \sqrt{2}

}, 12. {

0, 5 d^{2}

}, 13.

\frac{\sqrt{3}}{4} d^{2} \cos^{2} α

, 14. {

a^{3} h \tan α

}, 15. {

2 d^{2} \sin 2 α

}
4) Pole ściany bocznej jest równe: 1. {

V h_{p} \sin α

}, 2. {

\sqrt{\frac{d^{2} + a^{2}}{h^{2} - a^{2}}}

}, 3. {

0, 5 d^{2} \sqrt{h^{2} - 0, 5 d^{2}}

}, 4.

\frac{1}{2} d^{2} \sin 2 α

, 5. {

\sqrt{\frac{h_{p}}{d}}

}, 6.

\frac{\sqrt{3}}{4} d^{3} \sin α \sin 2 α

, 7.

\frac{2 V}{h \cdot h_{p}}

, 8. {

2 d^{2} - h^{2}

}, 9.

\frac{\sqrt{2}}{2} d^{2} \sin 2 α

, 10. {

\sin α \sqrt{\frac{d^{2} - a^{2}}{{h_{p}}^{2} + 2 a^{2}}}

}, 11. {

a^{2} h_{p} \sqrt{2}

}, 12. {

0, 5 d^{2}

}, 13.

\frac{\sqrt{3}}{4} d^{2} \cos^{2} α

, 14. {

a^{3} h \tan α

}, 15. {

2 d^{2} \sin 2 α

}

$2 d^{2} \sin 2 α$ , $\sqrt{\frac{d^{2} + a^{2}}{h^{2} - a^{2}}}$ , $\frac{\sqrt{3}}{8} d^{3} \cos α \sin 2 α$ , $2 d^{2} - h^{2}$ , $V h_{p} \sin α$ , $\frac{\sqrt{3}}{4} d^{2} \cos^{2} α$ , $\frac{2 V}{h \cdot h_{p}}$ , $0, 5 d^{2} \sqrt{h^{2} - 0, 5 d^{2}}$ , $a^{2} h_{p} \sqrt{2}$ , $0, 5 d^{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2} d^{2} \sin 2 α$ , $\sin α \sqrt{\frac{d^{2} - a^{2}}{{h_{p}}^{2} + 2 a^{2}}}$ , $\frac{1}{2} d^{2} \sin 2 α$ , $a^{3} h tg α$ , $\sqrt{\frac{h_{p}}{d}}$

Krawędź podstawy dana jest wzorem: ..................................
Pole podstawy jest dane wzorem: ..................................
Objętość jest równa: ..................................
Pole ściany bocznej jest równe: ..................................

Ćwiczenie 5

Wybierz prawidłową odpowiedź.

RGZgppHht62ww

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o długości $a$ zwiększono dwukrotnie. Jak zmieniła się jego objętość?

wzrosła czterokrotnie
wzrosła dwukrotnie
zmalała dwukrotnie

R1eep4ugM3CTz

Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o długości $h$ zwiększono dwukrotnie. Jak zmieniła się jego objętość?

wzrosła o $2$
wzrosła dwukrotnie
zmalała dwukrotnie

R1CG0SqR6fC7W

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o długości $a$ zmniejszono dwukrotnie. Jak zmieniła się jego objętość?

wzrosła czterokrotnie
wzrosła szesnastokrotnie
zmalała czterokrotnie

R113WkaKERYnD

Krawędź boczną graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o długości $h$ zmniejszono dwukrotnie. Jak zmieniła się jego objętość?

wzrosła czterokrotnie
wzrosła dwukrotnie
zmalała dwukrotnie

Ćwiczenie 6

Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $21$ . Wysokość stanowi $150 %$ długości krawędzi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Niech $a > 0$ oznacza długość krawędzi podstawy rozważanego graniastosłupa, $h > 0$ jego wysokość. Objętość graniastosłupa $V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h$ .

Z treści zadania wiemy, że $h = \frac{3}{2} a$ oraz $6 a + 3 h = 21$ .

Otrzymujemy zatem $a = 2$ , $h = 3$ .

Objętość $V = 3 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 7

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona pod kątem $60 °$ do krawędzi podstawy. Do budowy szkieletu tego graniastosłupa zużyto drut długości $30 dm$ . Czy zmieści się w nim $15$ litrów wody?

Rozważmy graniastosłup prawidłowy trójkątny przedstawiony na rysunku.

R185LqiPG1t1Z

Niech $a > 0$ oznacza krawędź podstawy rozważanego graniastosłupa oraz $h > 0$ będzie jego wysokością, wówczas mamy

$tg 60 ° = \frac{h}{a} = \sqrt{3}$ ,

stąd $h = \sqrt{3} a$ .

Zatem suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa (szkielet) jest równa $6 a + 3 \sqrt{3} a = 30$ , czyli

$a = 10 (2 - \sqrt{3}) dm$ oraz $h = 10 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}) dm$ .

Objętość jest równa

$V = 750 {(2 - \sqrt{3})}^{3} \approx 14, 43 {dm}^{3} < 15 {dm}^{3}$ .

Nie zmieści się w nim $15$ litrów wody.

Ćwiczenie 8

Do naczynia z sokiem w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości $4 \sqrt{3}$ , wrzucono trzy sześcienne kostki lodu o krawędzi $\sqrt{3}$ razy mniejszej niż krawędź podstawy naczynia. Objętość mieszaniny soku i lodu wynosiła wówczas $12$ . Ile wynosiła objętość soku przed wrzuceniem kostek lodu?

Niech $\sqrt{3} a > 0$ oznacza długość krawędzi podstawy naczynia, $a > 0$ krawędź kostki lodu.

Objętość mieszaniny soku i lodu wynosi

$V = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4 \sqrt{3} + 3 a^{3} = 12$ .

Rozwiązując kolejno równanie $3 a^{3} + 9 a^{2} - 12 = 0$ otrzymujemy

$3 a^{3} + 9 a^{2} - 12 = 0$

$(a - 1) (a^{2} + 4 a + 4) = 0$

$a = 1$ , $a = - 2 < 0$ ,

czyli $a = 1$ .

Zatem objętość samego soku $V - 3 = 9$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela