Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Wykaż, że liczba $9^{7} + 3^{13} + 5 \cdot 27^{4}$ jest podzielna przez $17$ .

Korzystając z własności potęg, możemy zapisać: $9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ .
Stąd
$9^{7} + 3^{13} + 5 \cdot 27^{4} = {(3^{2})}^{7} + 3^{13} + 5 \cdot {(3^{3})}^{4} = 3^{14} + 3^{13} + 5 \cdot 3^{12} =$
$= 3^{12} (3^{2} + 3 + 5) = 3^{12} \cdot 17$ .
Ponieważ liczba $3^{12}$ jest całkowita, więc $9^{7} + 3^{13} + 5 \cdot 27^{4}$
dzieli się przez $17$ .

R1M1FwTRrwMhZ1

Ćwiczenie 2

Wykaż, że

2^{861} > 5^{369}

. Przeciągnij i upuść podane wyrażenia w odpowiednie miejsca, aby otrzymać dowód powyższego faktu.

2^{861} =

5^{3 \cdot 123}

, 2.

2^{7 \cdot 123}

, 3.

{(5^{3})}^{123}

, 4.

125^{123}

, 5.

128^{123}

, 6.

{(2^{7})}^{123}

=

5^{3 \cdot 123}

, 2.

2^{7 \cdot 123}

, 3.

{(5^{3})}^{123}

, 4.

125^{123}

, 5.

128^{123}

, 6.

{(2^{7})}^{123}

=

5^{3 \cdot 123}

, 2.

2^{7 \cdot 123}

, 3.

{(5^{3})}^{123}

, 4.

125^{123}

, 5.

128^{123}

, 6.

{(2^{7})}^{123}

>

5^{3 \cdot 123}

, 2.

2^{7 \cdot 123}

, 3.

{(5^{3})}^{123}

, 4.

125^{123}

, 5.

128^{123}

, 6.

{(2^{7})}^{123}

=

5^{3 \cdot 123}

, 2.

2^{7 \cdot 123}

, 3.

{(5^{3})}^{123}

, 4.

125^{123}

, 5.

128^{123}

, 6.

{(2^{7})}^{123}

=

5^{3 \cdot 123}

, 2.

2^{7 \cdot 123}

, 3.

{(5^{3})}^{123}

, 4.

125^{123}

, 5.

128^{123}

, 6.

{(2^{7})}^{123}

= 5^{369}

Wykaż, że $2^{861} > 5^{369}$ . Przeciągnij i upuść podane wyrażenia w odpowiednie miejsca, aby otrzymać dowód powyższego faktu.

${(5^{3})}^{123}$ , ${(2^{7})}^{123}$ , $125^{123}$ , $128^{123}$ , $5^{3 \cdot 123}$ , $2^{7 \cdot 123}$

$2^{861} =$ ................ $=$ ................ $=$ ................ $>$ ................ $=$ ................ $=$ ................ $= 5^{369}$

RCOS9JnQEfh6G21

Ćwiczenie 3

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba $\frac{1}{9} (100^{n + 1} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4)$ jest kwadratem liczby naturalnej. Poniżej znajduje się rozwiązanie zadania. Do każdego faktu przyporządkuj komentarz. Przeciągnij i upuść.

$n \in ℕ$ , $\frac{1}{9} (100^{n + 1} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4)$ jest kwadratem liczby naturalnej, Przekształcimy wyrażenie dane w treści zadania:, $\frac{1}{9} (100^{n + 1} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4) = \frac{1}{9} ({(10^{2})}^{n + 1} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4)$ , $\frac{1}{9} ({(10^{2})}^{n + 1} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4) = \frac{1}{9} (10^{2 (n + 1)} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4)$ , $\frac{1}{9} (10^{2 (n + 1)} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4) = \frac{1}{9} ({(10^{n + 1})}^{2} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4)$ , $\frac{1}{9} ({(10^{n + 1})}^{2} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4) = \frac{1}{9} ({(10^{n + 1})}^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 10^{n + 1} + 2^{2})$ , $\frac{1}{9} ({(10^{n + 1})}^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 10^{n + 1} + 2^{2}) = \frac{1}{9} {(10^{n + 1} + 2)}^{2}$ , $\frac{1}{9} {(10^{n + 1} + 2)}^{2} = \frac{1}{3^{2}} {(10^{n + 1} + 2)}^{2}$ , $\frac{1}{3^{2}} {(10^{n + 1} + 2)}^{2} = {(\frac{10^{n + 1} + 2}{3})}^{2}$ , Zauważmy, że liczba $10^{n + 1} + 2$ jest postaci $1 \underset{n - 1 cyfr}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} 2$ , Liczba $3$ jest dzielnikiem liczby $10^{n + 1} + 2$ dla dowolnej liczby naturalnej $n$ , Wynika stąd, że liczba $\frac{10^{n + 1} + 2}{3}$ jest naturalna

Fakt	Komentarz
$n \in ℕ$
$\frac{1}{9} (100^{n + 1} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4)$ jest kwadratem liczby naturalnej
Przekształcimy wyrażenie dane w treści zadania:
$\frac{1}{9} (100^{n + 1} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4) = \frac{1}{9} ({(10^{2})}^{n + 1} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4)$
$\frac{1}{9} ({(10^{2})}^{n + 1} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4) = \frac{1}{9} (10^{2 (n + 1)} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4)$
$\frac{1}{9} (10^{2 (n + 1)} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4) = \frac{1}{9} ({(10^{n + 1})}^{2} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4)$
$\frac{1}{9} ({(10^{n + 1})}^{2} + 4 \cdot 10^{n + 1} + 4) = \frac{1}{9} ({(10^{n + 1})}^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 10^{n + 1} + 2^{2})$
$\frac{1}{9} ({(10^{n + 1})}^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 10^{n + 1} + 2^{2}) = \frac{1}{9} {(10^{n + 1} + 2)}^{2}$
$\frac{1}{9} {(10^{n + 1} + 2)}^{2} = \frac{1}{3^{2}} {(10^{n + 1} + 2)}^{2}$
$\frac{1}{3^{2}} {(10^{n + 1} + 2)}^{2} = {(\frac{10^{n + 1} + 2}{3})}^{2}$
Zauważmy, że liczba $10^{n + 1} + 2$ jest postaci $1 \underset{n - 1 cyfr}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} 2$
Liczba $3$ jest dzielnikiem liczby $10^{n + 1} + 2$ dla dowolnej liczby naturalnej $n$
Wynika stąd, że liczba $\frac{10^{n + 1} + 2}{3}$ jest naturalna

RE2Ovl31j6G9T2

Ćwiczenie 4

Wskaż poprawne odpowiedzi.
Rozwiązaniem równania $x (x + 1) = 1406$ jest liczba:

$x = 37$
$x = - 38$
$x = - 37$
$x = 38$

R1cpZFMkoxjtm21

Ćwiczenie 5

Zdecyduj czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.

	Prawda	Fałsz
Potęga o wykładniku naturalnym liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą.	□	□
Potęga o wykładniku naturalnym liczby parzystej jest liczbą parzystą.	□	□
Potęga o wykładniku naturalnym dodatnim liczby parzystej jest liczbą parzystą.	□	□
Równanie $(2 x + 1) x = 12345^{99}$ nie jest spełnione przez żadną liczbę całkowitą $x$ , ponieważ dla całkowitych $x$ lewa jego strona jest liczbą parzystą, zaś prawa liczbą nieparzystą.	□	□
Równanie $(x + 1) x (x - 1) = 1234^{1234}$ nie jest spełnione przez żadną liczbę całkowitą $x$ , ponieważ dla całkowitych $x$ lewa jego strona jest liczbą podzielną przez $3$ , zaś prawa liczbą niepodzielną przez $3$ .	□	□

Ćwiczenie 6

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ zachodzi wzór ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

Zauważmy, że:

${(a - b)}^{2} = (a - b) (a - b) = a (a - b) - b (a - b) = a^{2} - a b - b a + b^{2}$

$= a^{2} - a b - a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

RvQvKrdRK6B0D2

Ćwiczenie 7

Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej

x

prawdziwa jest nierówność

x^{4} + 5 \geq x^{2} + 4 x

. Ułóż poniższe wypowiedzi we właściwej kolejności, aby otrzymać dowód twierdzenia. Elementy do uszeregowania: 1. Korzystając z przemienności i łączności dodawania możemy zapisać:

x^{4} + 5 - x^{2} - 4 x = x^{4} - x^{2} - 4 x + 5

, 2. Zauważmy, że

- x^{2} = - 2 x^{2} + x^{2}

oraz

5 = 1 + 4

, 3. Powyższa nierówność jest równoważna nierówności

x^{4} + 5 \geq x^{2} + 4 x

, co kończy dowód, 4. Rozważmy wyrażenie

x^{4} + 5 - x^{2} - 4 x

, 5. Zatem

x^{4} + 5 - x^{2} - 4 x = {(x^{2} - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2}

, 6. Ponieważ suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, zatem pokazaliśmy, że

x^{4} + 5 - x^{2} - 4 x \geq 0

, 7. Na mocy powyższej obserwacji możemy przedstawić wyrażenie

x^{4} - x^{2} - 4 x + 5

w postaci

x^{4} - 2 x^{2} + 1 + x^{2} - 4 x + 4

Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^{4} + 5 \geq x^{2} + 4 x$ . Ułóż poniższe wypowiedzi we właściwej kolejności, aby otrzymać dowód twierdzenia.

Korzystając z przemienności i łączności dodawania możemy zapisać: $x^{4} + 5 - x^{2} - 4 x = x^{4} - x^{2} - 4 x + 5$
Na mocy powyższej obserwacji możemy przedstawić wyrażenie $x^{4} - x^{2} - 4 x + 5$ w postaci $x^{4} - 2 x^{2} + 1 + x^{2} - 4 x + 4$
Zauważmy, że $- x^{2} = - 2 x^{2} + x^{2}$ oraz $5 = 1 + 4$
Ponieważ suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, zatem pokazaliśmy, że $x^{4} + 5 - x^{2} - 4 x \geq 0$
Zatem $x^{4} + 5 - x^{2} - 4 x = {(x^{2} - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$
Rozważmy wyrażenie $x^{4} + 5 - x^{2} - 4 x$
Powyższa nierówność jest równoważna nierówności $x^{4} + 5 \geq x^{2} + 4 x$ , co kończy dowód

Ćwiczenie 8

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej większej niż $1$ liczba $3^{n - 2} + 3^{n - 1} + 3^{n} + 5^{n} + 5^{n + 2}$ jest podzielna przez $13$ .

Zauważmy, że:

$3^{n - 2} + 3^{n - 1} + 3^{n} + 5^{n} + 5^{n + 2} = 3^{n - 2} + 3^{n - 2} \cdot 3^{1} + 3^{n - 2} \cdot 3^{2} + 5^{n} + 5^{n} \cdot 5^{2} =$

$= 3^{n - 2} (1 + 3 + 3^{2}) + 5^{n} (1 + 5^{2}) = 3^{n - 2} \cdot 13 + 5^{n} \cdot 26 = 13 (3^{n - 2} + 5^{n} \cdot 2)$ .

Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną większą niż $1$ , więc $3^{n - 2}$ i $5^{n}$ również są liczbami naturalnymi. Wynika stąd, że $3^{n - 2} + 5^{n} \cdot 2$ jest liczbą naturalną, więc rozważana liczba jest iloczynem liczb $13$ i liczby naturalnej, więc jest podzielna przez $13$ .

Ćwiczenie 9

Wiadomo, że $4^{x} + 4^{- x} = 2$ . Wykaż, że $2^{x} + 2^{- x} = 2$ .

Zauważmy, że na mocy wzoru ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ zachodzi ${(2^{x} + 2^{- x})}^{2} = {(2^{x})}^{2} + 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- x} + {(2^{- x})}^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}$ . Zatem ${(2^{x} + 2^{- x})}^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}$ . Na mocy założenia mamy $4^{x} + 4^{- x} = 2$ , więc ostatnia równość przyjmuje postać ${(2^{x} + 2^{- x})}^{2} = 4$ .

Wynika stąd, że $2^{x} + 2^{- x} = 2$ lub $2^{x} + 2^{- x} = - 2$ . Ponieważ każda potęga liczby dodatniej jest dodatnia, więc $2^{x} + 2^{- x} > 0$ , czyli $2^{x} + 2^{- x} = 2$ . Co było do wykazania.

Animacja

Dla nauczyciela