Zauważmy, że $6^{17}-6^{18}+6^{19}=6^{17}-6^{17}\cdot 6+6^{17}\cdot 6^2=6^{17}\left(1-6+6^2\right)=6^{17}\cdot 31$.

Ponieważ $6^{17}$ jest liczbą naturalną, więc $6^{17}-6^{18}+6^{19}$ jest podzielne przez $31$.

Ponieważ $6^{17}-6^{18}+6^{19}=31\cdot 6^{17}=31\cdot 2^{17}\cdot 3^{17}$, więc każdy dzielnik liczby $6^{17}-6^{18}+6^{19}$ jest postaci ${31}^x\cdot 2^y\cdot 3^z$, przy czym liczba $x$ może być każdą spośród liczb ze zbioru $\left\{0,1\right\}$, zaś liczby $y$ i $z$ mogą być dowolnymi ze zbioru $\left\{0,1,2,3,\dots 17\right\}$. Zatem liczbę $x$ można wybrać na $2$ sposoby, zaś każdą z liczb $y$ i $z$ na $18$ sposobów. Zatem wszystkich dzielników jest $2\cdot 18\cdot 18=648$.