Przeczytaj

Często popełnianym błędem (również w życiu codziennym) jest mylenie przyczyny ze skutkiem, czyli mówiąc językiem matematyki: odwracanie wynikania.

Jako przykład rozważmy zdania: jeśli wschodzi słońce, to kogut pieje oraz jeśli kogut pieje, to słońce wschodzi. Osoby mieszkające w sąsiedztwie kogutów zauważyły zapewne, że codziennie około wschodu słońca te ptaki dają o sobie znać głośnym “kukuryku”. Pierwsze zdanie możemy empirycznie uznać za prawdziwe. Trudno jednak oczekiwać, że za każdym razem, kiedy kogut zapieje, wzejdzie jakieś słońce… Oba zdania są przykładem implikacjiimplikacjaimplikacji (wynikania). Jeśli pierwsze z nich nazwiemy implikacją prostą (twierdzeniem prostym), to drugie będzie implikacją odwrotnąimplikacja odwrotna do danejimplikacją odwrotną (twierdzeniem odwrotnym). W tym przypadku implikacja prosta jest prawdziwa, ale implikacja odwrotna już nie.

W matematyce jest podobnie. Implikacja jeśli liczba całkowita jest podzielna przez $4$ , to jest podzielna przez $2$ jest prawdziwa, ale implikacja do niej odwrotna (jeśli liczba całkowita jest podzielna przez $2$ , to jest podzielna przez $4$ ) prawdziwa już nie jest (liczba $6$ jest podzielna przez $2$ , ale nie dzieli się przez $4$ ).

W tej lekcji skupimy się na dowodzeniu faktów wykorzystując własności potęg. Przeanalizuj poniższe przykłady. Zwróć szczególną uwagę, co jest założeniem a co tezą w każdym przypadku.

Przykład 1

Wykażemy, że liczba $8^{10} + 4^{16} + 3 \cdot 16^{8}$ jest podzielna przez $17$ .

Rozwiązanie

Aby wykazać, że podana liczba dzieli się przez $17$ , wystarczy przedstawić ją w postaci iloczynu liczby $17$ i liczby całkowitej. Przekształcimy podane wyrażenie korzystając z własności działań na potęgach. Ponieważ każda z liczb $8$ , $4$ i $16$ jest potęgą liczby $2$ , zachodzą następujące równości:

$8^{10} + 4^{16} + 3 \cdot 16^{8} =$

$= {(2^{3})}^{10} + {(2^{2})}^{16} + 3 \cdot {(2^{4})}^{8} =$

$= 2^{3 \cdot 10} + 2^{2 \cdot 16} + 3 \cdot 2^{4 \cdot 8} =$

$= 2^{30} + 2^{32} + 3 \cdot 2^{32} =$

$= 2^{30} + 2^{30} \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{30} \cdot 2^{2} =$

$= 2^{30} (1 + 2^{2} + 3 \cdot 2^{2}) = 2^{30} \cdot 17$ .

Ponieważ $2^{30}$ jest liczbą naturalną, więc $2^{30} \cdot 17$ jest podzielna przez $17$ .

Przykład 2

Wykażemy, że $63^{16} < 18^{24}$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z umiejętności porównywania potęg o takich samych wykładnikach.

I sposób

Zauważmy, że $63^{16} < 64^{16} = {(4^{3})}^{16} = 4^{3 \cdot 16} = 4^{48} = 4^{2 \cdot 24} = {(4^{2})}^{24} = 16^{24} < 18^{24}$ .

II sposób

Zauważmy, że $63^{16} = 63^{2 \cdot 8} = {(63^{2})}^{8} = 3969^{8}$ oraz $18^{24} = 18^{3 \cdot 8} = {(18^{3})}^{8} = 5832^{8}$ .

Ponieważ $3969^{8} < 5832^{8}$ , więc nierówność $63^{16} < 18^{24}$ jest prawdziwa.

Przykład 3

Uzasadnimy, że nie istnieje liczba całkowita $x$ , która spełnia równanie $x (x + 1) = 2021^{2020}$ .

Rozwiązanie

Założenie: $x \in ℤ$ .

Teza: równanie $x (x + 1) = 2021^{2020}$ nie ma rozwiązania.

Zauważmy, że dla liczby całkowitej $x$ wyrażenie $x (x + 1)$ jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych, więc jedna z nich jest parzysta, zatem iloczyn dzieli się przez $2$ .

Liczba $2021$ jest nieparzysta, więc liczba $2021^{2020}$ również jest nieparzysta. Ponieważ nie istnieje liczba, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta, więc wyrażenie $x (x + 1)$ nie równa się $2021^{2020}$ dla żadnej liczby całkowitej $x$ .

Przykład 4

Wykażemy, że liczba $2^{2 n} - 3 \cdot 2^{n + 1} + 9$ jest kwadratem liczby całkowitej dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ .

Rozwiązanie

Założenie: $n \in ℕ$ , $n \neq 0$ .

Teza: $2^{2 n} - 3 \cdot 2^{n + 1} + 9$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Przekształćmy rozważane wyrażenie:

$2^{2 n} - 3 \cdot 2^{n + 1} + 9 =$

$= 2^{2 n} - 2 \cdot 3 \cdot 2^{n} + 9 =$

$= 2^{n} \cdot 2^{n} - 3 \cdot 2^{n} - 3 \cdot 2^{n} + 9 =$

$= 2^{n} (2^{n} - 3) - 3 (2^{n} - 3) =$

$= (2^{n} - 3) (2^{n} - 3) =$

$= {(2^{n} - 3)}^{2}$ .

Ponieważ $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, więc $2^{n}$ jest liczbą naturalną, zaś liczba $2^{n} - 3$ jest całkowita.

Przykład 5

Wykażemy, że liczba $3^{n - 5} + 3^{n - 4} + 3^{n - 3}$ jest podzielna przez $13$ dla dowolnej liczby naturalnej $n$ większej od $4$ .

Rozwiązanie

Założenie: $n \in ℕ$ , $n > 4$ .

Teza: $13 ∣ 3^{n - 5} + 3^{n - 4} + 3^{n - 3}$ .

Zauważmy, że

$3^{n - 5} + 3^{n - 4} + 3^{n - 3} =$

$= 3^{n - 5} + 3^{n - 5} \cdot 3 + 3^{n - 5} \cdot 3^{2} =$

$= 3^{n - 5} (1 + 3 + 3^{2}) =$

$= 3^{n - 5} \cdot 13$ .

Ponieważ $n$ jest większe od $4$ , więc liczba $3^{n - 5}$ jest naturalna, co oznacza, że jej iloczyn przez liczbę $13$ jest wielokrotnością liczby $13$ , co dowodzi tezy.

Przykład 6

Wykażemy, że liczba $3^{n + 3} + 2^{n + 3} + 3^{n + 1} + 2^{n + 2}$ jest podzielna przez $6$ dla dowolnej liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Założenie: $n \in ℕ$ .

Teza: $6 ∣ 3^{n + 3} + 2^{n + 3} + 3^{n + 1} + 2^{n + 2}$ .

Przekształćmy rozważaną sumę:

$3^{n + 3} + 2^{n + 3} + 3^{n + 1} + 2^{n + 2} =$

$= 3^{n + 3} + 3^{n + 1} + 2^{n + 2} + 2^{n + 3} =$

$= 3^{n} \cdot 3^{3} + 3^{n} \cdot 3 + 2^{n + 1} \cdot 2 + 2^{n + 1} \cdot 2^{2} =$

$= 3^{n} (3^{3} + 3) + 2^{n + 1} (2 + 2^{2}) =$

$= 3^{n} \cdot 30 + 2^{n + 1} \cdot 6 =$

$= 6 (3^{n} \cdot 5 + 2^{n + 1})$ .

Ponieważ liczby $3^{n}$ i $2^{n + 1}$ są naturalne oraz iloczyn i suma liczb naturalnych są liczbami naturalnymi, więc liczba $3^{n} \cdot 5 + 2^{n + 1}$ też jest naturalna. Zatem rozważana liczba jest podzielna przez $6$ , co kończy dowód.

Przykład 7

Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ prawdziwy jest wzór ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Rozwiązanie

Założenie: $a$ , $b \in ℝ$ .

Teza: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Na mocy definicji potęgowania możemy zauważyć, że

${(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b)$ .

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania, otrzymujemy

$(a + b) (a + b) = a (a + b) + b (a + b) = a^{2} + a b + b a + b^{2}$ .

Wystarczy wykonać redukcję wyrazów podobnych, aby otrzymać prawą stronę dowodzonej tożsamości

$a^{2} + a b + b a + b^{2} = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Przykład 8

Wykażemy, że jeśli $9^{x} + 9^{- x} = 14$ dla pewnej liczby rzeczywistej $x$ , to $3^{x} + 3^{- x} = 4$ .

Rozwiązanie

Założenie: $9^{x} + 9^{- x} = 14$ .

Teza: $3^{x} + 3^{- x} = 4$ .

Przekształcimy najpierw wyrażenie ${(3^{x} + 3^{- x})}^{2}$ korzystając ze wzoru udowodnionego w poprzednim przykładzie:

${(3^{x} + 3^{- x})}^{2} = {(3^{x})}^{2} + 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{- x} + {(3^{- x})}^{2} = 3^{2 x} + 2 \cdot 3^{x + (- x)} + 3^{- 2 x} =$

$= 3^{2 x} + 2 \cdot 3^{0} + 3^{- 2 x} = 9^{x} + 2 + 9^{- x}$ .

Zatem

${(3^{x} + 3^{- x})}^{2} = 9^{x} + 2 + 9^{- x}$ .

Z założenia wiemy, że $9^{x} + 9^{- x} = 14$ , zatem

${(3^{x} + 3^{- x})}^{2} = 2 + 14$

${(3^{x} + 3^{- x})}^{2} = 16$ .

Powyższe równanie oznacza, że $3^{x} + 3^{- x} = 4$ lub $3^{x} + 3^{- x} = - 4$ . Zauważmy ponadto, że dowolna potęga liczby dodatniej jest dodatnia, więc liczba $3^{x}$ i liczba $3^{- x}$ są dodatnie, więc i liczba $3^{x} + 3^{- x}$ jest dodatnia. Stąd $3^{x} + 3^{- x} = 4$ .

Słownik

implikacja

zdanie logiczne powstałe przez połączenie dwóch zdań $p$ i $q$ spójnikiem implikacji, czyli $p \Rightarrow q$ , co czytamy jeśli $p$ , to $q$ . Zdanie $p$ nazywamy poprzednikiem implikacji, zaś zdanie $q$ - następnikiem

implikacja odwrotna do danej

implikacja, która powstaje z implikacji danej poprzez zamienienie jej poprzednika i następnika miejscami (poprzednik implikacji prostej staje się następnikiem implikacji odwrotnej, zaś następnik implikacji prostej staje się poprzednikiem implikacji odwrotnej). Implikacją odwrotną do $p \Rightarrow q$ jest $q \Rightarrow p$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik