Przeczytaj
Często popełnianym błędem (również w życiu codziennym) jest mylenie przyczyny ze skutkiem, czyli mówiąc językiem matematyki: odwracanie wynikania.
Jako przykład rozważmy zdania: jeśli wschodzi słońce, to kogut pieje
oraz jeśli kogut pieje, to słońce wschodzi
. Osoby mieszkające w sąsiedztwie kogutów zauważyły zapewne, że codziennie około wschodu słońca te ptaki dają o sobie znać głośnym “kukuryku”. Pierwsze zdanie możemy empirycznie uznać za prawdziwe. Trudno jednak oczekiwać, że za każdym razem, kiedy kogut zapieje, wzejdzie jakieś słońce… Oba zdania są przykładem implikacjiimplikacji (wynikania). Jeśli pierwsze z nich nazwiemy implikacją prostą (twierdzeniem prostym), to drugie będzie implikacją odwrotnąimplikacją odwrotną (twierdzeniem odwrotnym). W tym przypadku implikacja prosta jest prawdziwa, ale implikacja odwrotna już nie.
W matematyce jest podobnie. Implikacja jeśli liczba całkowita jest podzielna przez , to jest podzielna przez
jest prawdziwa, ale implikacja do niej odwrotna (jeśli liczba całkowita jest podzielna przez , to jest podzielna przez
) prawdziwa już nie jest (liczba jest podzielna przez , ale nie dzieli się przez ).
W tej lekcji skupimy się na dowodzeniu faktów wykorzystując własności potęg. Przeanalizuj poniższe przykłady. Zwróć szczególną uwagę, co jest założeniem a co tezą w każdym przypadku.
Wykażemy, że liczba jest podzielna przez .
Rozwiązanie
Aby wykazać, że podana liczba dzieli się przez , wystarczy przedstawić ją w postaci iloczynu liczby i liczby całkowitej. Przekształcimy podane wyrażenie korzystając z własności działań na potęgach. Ponieważ każda z liczb , i jest potęgą liczby , zachodzą następujące równości:
.
Ponieważ jest liczbą naturalną, więc jest podzielna przez .
Wykażemy, że .
Rozwiązanie
Skorzystamy z umiejętności porównywania potęg o takich samych wykładnikach.
I sposób
Zauważmy, że .
II sposób
Zauważmy, że oraz .
Ponieważ , więc nierówność jest prawdziwa.
Uzasadnimy, że nie istnieje liczba całkowita , która spełnia równanie .
Rozwiązanie
Założenie: .
Teza: równanie nie ma rozwiązania.
Zauważmy, że dla liczby całkowitej wyrażenie jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych, więc jedna z nich jest parzysta, zatem iloczyn dzieli się przez .
Liczba jest nieparzysta, więc liczba również jest nieparzysta. Ponieważ nie istnieje liczba, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta, więc wyrażenie nie równa się dla żadnej liczby całkowitej .
Wykażemy, że liczba jest kwadratem liczby całkowitej dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej .
Rozwiązanie
Założenie: , .
Teza: jest kwadratem liczby całkowitej.
Przekształćmy rozważane wyrażenie:
.
Ponieważ jest liczbą całkowitą dodatnią, więc jest liczbą naturalną, zaś liczba jest całkowita.
Wykażemy, że liczba jest podzielna przez dla dowolnej liczby naturalnej większej od .
Rozwiązanie
Założenie: , .
Teza: .
Zauważmy, że
.
Ponieważ jest większe od , więc liczba jest naturalna, co oznacza, że jej iloczyn przez liczbę jest wielokrotnością liczby , co dowodzi tezy.
Wykażemy, że liczba jest podzielna przez dla dowolnej liczby naturalnej.
Rozwiązanie
Założenie: .
Teza: .
Przekształćmy rozważaną sumę:
.
Ponieważ liczby i są naturalne oraz iloczyn i suma liczb naturalnych są liczbami naturalnymi, więc liczba też jest naturalna. Zatem rozważana liczba jest podzielna przez , co kończy dowód.
Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych , prawdziwy jest wzór .
Rozwiązanie
Założenie: , .
Teza:
Na mocy definicji potęgowania możemy zauważyć, że
.
Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania, otrzymujemy
.
Wystarczy wykonać redukcję wyrazów podobnych, aby otrzymać prawą stronę dowodzonej tożsamości
.
Wykażemy, że jeśli dla pewnej liczby rzeczywistej , to .
Rozwiązanie
Założenie: .
Teza: .
Przekształcimy najpierw wyrażenie korzystając ze wzoru udowodnionego w poprzednim przykładzie:
.
Zatem
.
Z założenia wiemy, że , zatem
.
Powyższe równanie oznacza, że lub . Zauważmy ponadto, że dowolna potęga liczby dodatniej jest dodatnia, więc liczba i liczba są dodatnie, więc i liczba jest dodatnia. Stąd .
Słownik
zdanie logiczne powstałe przez połączenie dwóch zdań i spójnikiem implikacji, czyli , co czytamy jeśli , to
. Zdanie nazywamy poprzednikiem implikacji, zaś zdanie - następnikiem
implikacja, która powstaje z implikacji danej poprzez zamienienie jej poprzednika i następnika miejscami (poprzednik implikacji prostej staje się następnikiem implikacji odwrotnej, zaś następnik implikacji prostej staje się poprzednikiem implikacji odwrotnej). Implikacją odwrotną do jest