Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RuB7tjXHKBYkN1

Ćwiczenie 1

Oblicz wartości podanych pierwiastków. Wyniki wpisz w wyznaczonych miejscach. Dla oddzielenia rzędu jednostek od rzędu części dziesiętnych użyj przecinka.

Pierwiastek	Wyniki
$\sqrt[17]{0}$
$\sqrt[15]{- 1}$
$\sqrt[7]{0, 0000001}$
$\sqrt[7]{- 0, 0000001}$
$\sqrt[5]{3125}$
$\sqrt[5]{- 3125}$
$\sqrt[5]{243}$
$\sqrt[5]{- 243}$
$\sqrt[3]{- 1, 331}$
$\sqrt[3]{1, 331}$

R1cH2uLhFFHSP1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary liczby równe.

\sqrt[5]{- 7 \frac{19}{32}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 1 \frac{1}{4}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{2}{3}

, 4.

- 2 \frac{1}{2}

, 5.

1 \frac{1}{3}

, 6.

- 1 \frac{1}{2}

\sqrt[5]{4 \frac{52}{243}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 1 \frac{1}{4}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{2}{3}

, 4.

- 2 \frac{1}{2}

, 5.

1 \frac{1}{3}

, 6.

- 1 \frac{1}{2}

\sqrt[5]{12 \frac{209}{243}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 1 \frac{1}{4}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{2}{3}

, 4.

- 2 \frac{1}{2}

, 5.

1 \frac{1}{3}

, 6.

- 1 \frac{1}{2}

\sqrt[5]{- 3 \frac{53}{1024}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 1 \frac{1}{4}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{2}{3}

, 4.

- 2 \frac{1}{2}

, 5.

1 \frac{1}{3}

, 6.

- 1 \frac{1}{2}

\sqrt[5]{- 97 \frac{21}{32}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 1 \frac{1}{4}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{2}{3}

, 4.

- 2 \frac{1}{2}

, 5.

1 \frac{1}{3}

, 6.

- 1 \frac{1}{2}

\sqrt[7]{17 \frac{11}{128}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 1 \frac{1}{4}

, 2.

1 \frac{1}{2}

, 3.

1 \frac{2}{3}

, 4.

- 2 \frac{1}{2}

, 5.

1 \frac{1}{3}

, 6.

- 1 \frac{1}{2}

Połącz w pary liczby równe.

$\sqrt[5]{- 7 \frac{19}{32}}$
$\sqrt[5]{4 \frac{52}{243}}$
$\sqrt[5]{12 \frac{209}{243}}$
$\sqrt[5]{- 3 \frac{53}{1024}}$
$\sqrt[5]{- 97 \frac{21}{32}}$
$\sqrt[7]{17 \frac{11}{128}}$

RFOicJVcqsNGi1

Ćwiczenie 3

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź. Zbiór wszystkich liczb

x

, dla których wyrażenie

\sqrt[5]{- x}

ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:

x \in ℝ

x \neq 0

x \leq 0

Zbiór wszystkich liczb

x

, dla których wyrażenie

\frac{1}{\sqrt[7]{- x}}

ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:

x \in ℝ

x \neq 0

{

x < 0

Zbiór wszystkich liczb

x

, dla których wyrażenie

\frac{1}{\sqrt[9]{16 - x^{2}}}

ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:

x \in ℝ

x \in ℝ ∖ ｛- 4, 4｝

x \in ℝ ∖ ｛4｝

Zbiór wszystkich liczb

x

, dla których wyrażenie

\frac{1}{\sqrt[11]{64 - x^{3}}}

ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:

x \in ℝ ∖ ｛8｝

x \in ℝ ∖ ｛- 4, 4｝

x \in ℝ ∖ ｛4｝

Zbiór wszystkich liczb

x

, dla których wyrażenie

\frac{1}{\sqrt[13]{81 - x^{4}}}

ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:

x \in ℝ ∖ ｛- 9, 9｝

x \in ℝ ∖ ｛- 3, 3｝

x \in ℝ ∖ ｛- 3｝

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

Zbiór wszystkich liczb $x$ , dla których wyrażenie $\sqrt[5]{- x}$ ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:
{# $x \in ℝ$ } { $x \neq 0$ } { $x \leq 0$ }

Zbiór wszystkich liczb $x$ , dla których wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[7]{- x}}$ ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:
{ $x \in ℝ$ } {# $x \neq 0$ } { $x < 0$ }

Zbiór wszystkich liczb $x$ , dla których wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[9]{16 - x^{2}}}$ ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:
{ $x \in ℝ$ } {# $x \in ℝ ∖ "｛"- 4, 4"｝"$ } { $x \in ℝ ∖ "｛"4"｝"$ }

Zbiór wszystkich liczb $x$ , dla których wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[11]{64 - x^{3}}}$ ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:
{ $x \in ℝ ∖ "｛"8"｝"$ } { $x \in ℝ ∖ "｛"- 4, 4"｝"$ } {# $x \in ℝ ∖ "｛"4"｝"$ }

R1Kczs6Dvf2fj2

Ćwiczenie 4

Zbiór wszystkich liczb $x$ , dla których wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[13]{81 - x^{4}}}$ ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:

$x \in ℝ ∖ "｛"- 9, 9"｝"$
$x \in ℝ ∖ "｛"- 3, 3"｝"$
$x \in ℝ ∖ "｛"- 3"｝"$

R1Xw2hrX79DeO2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary liczby równe.

\sqrt[5]{- 64}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[5]{3}

, 2.

- 2 \sqrt[5]{5}

, 3.

2 \sqrt[7]{3}

, 4.

- 2 \sqrt[5]{2}

, 5.

- 5 \sqrt[5]{2}

, 6.

2 \sqrt[7]{2}

, 7.

- 3 \sqrt[5]{2}

, 8.

- 2 \sqrt[5]{3}

\sqrt[5]{- 96}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[5]{3}

, 2.

- 2 \sqrt[5]{5}

, 3.

2 \sqrt[7]{3}

, 4.

- 2 \sqrt[5]{2}

, 5.

- 5 \sqrt[5]{2}

, 6.

2 \sqrt[7]{2}

, 7.

- 3 \sqrt[5]{2}

, 8.

- 2 \sqrt[5]{3}

\sqrt[5]{- 729}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[5]{3}

, 2.

- 2 \sqrt[5]{5}

, 3.

2 \sqrt[7]{3}

, 4.

- 2 \sqrt[5]{2}

, 5.

- 5 \sqrt[5]{2}

, 6.

2 \sqrt[7]{2}

, 7.

- 3 \sqrt[5]{2}

, 8.

- 2 \sqrt[5]{3}

\sqrt[5]{- 486}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[5]{3}

, 2.

- 2 \sqrt[5]{5}

, 3.

2 \sqrt[7]{3}

, 4.

- 2 \sqrt[5]{2}

, 5.

- 5 \sqrt[5]{2}

, 6.

2 \sqrt[7]{2}

, 7.

- 3 \sqrt[5]{2}

, 8.

- 2 \sqrt[5]{3}

\sqrt[5]{- 6250}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[5]{3}

, 2.

- 2 \sqrt[5]{5}

, 3.

2 \sqrt[7]{3}

, 4.

- 2 \sqrt[5]{2}

, 5.

- 5 \sqrt[5]{2}

, 6.

2 \sqrt[7]{2}

, 7.

- 3 \sqrt[5]{2}

, 8.

- 2 \sqrt[5]{3}

\sqrt[5]{- 160}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[5]{3}

, 2.

- 2 \sqrt[5]{5}

, 3.

2 \sqrt[7]{3}

, 4.

- 2 \sqrt[5]{2}

, 5.

- 5 \sqrt[5]{2}

, 6.

2 \sqrt[7]{2}

, 7.

- 3 \sqrt[5]{2}

, 8.

- 2 \sqrt[5]{3}

\sqrt[7]{256}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[5]{3}

, 2.

- 2 \sqrt[5]{5}

, 3.

2 \sqrt[7]{3}

, 4.

- 2 \sqrt[5]{2}

, 5.

- 5 \sqrt[5]{2}

, 6.

2 \sqrt[7]{2}

, 7.

- 3 \sqrt[5]{2}

, 8.

- 2 \sqrt[5]{3}

\sqrt[7]{384}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[5]{3}

, 2.

- 2 \sqrt[5]{5}

, 3.

2 \sqrt[7]{3}

, 4.

- 2 \sqrt[5]{2}

, 5.

- 5 \sqrt[5]{2}

, 6.

2 \sqrt[7]{2}

, 7.

- 3 \sqrt[5]{2}

, 8.

- 2 \sqrt[5]{3}

Połącz w pary liczby równe.

$\sqrt[5]{- 64}$
$\sqrt[5]{- 96}$
$\sqrt[5]{- 729}$
$\sqrt[5]{- 486}$
$\sqrt[5]{- 6250}$
$\sqrt[5]{- 160}$
$\sqrt[7]{256}$
$\sqrt[7]{384}$

R1edfvqkDPXSR2

Ćwiczenie 6

Oblicz stosując własności działań na pierwiastkach. Wpisz wynik w drugiej kolumnie. Dla oddzielenia rzędu jednostek od rzędu części dziesiętnych użyj przecinka.

Pierwiastek	Wynik
$\sqrt[5]{- 32 \cdot 243}$
$\sqrt[5]{- 1024 \cdot 243}$
$\sqrt[5]{- 125} \cdot \sqrt[5]{- 25}$
$\sqrt[5]{- 343} \cdot \sqrt[5]{- 49}$
$\sqrt[5]{243 : 1024}$
$\sqrt[5]{3125 : 32}$
$\sqrt[7]{512} : \sqrt[7]{- 4}$
$\sqrt[7]{{- 5}^{10}} : \sqrt[7]{- 5^{3}}$

Ćwiczenie 7

Sprowadź do najprostszej postaci:

a) $\frac{\sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[5]{- 32}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt[3]{64}}$ ,

b) $\sqrt[7]{{- a}^{7} - a^{7} - a^{7} - a^{7}}$ ,

c) $\sqrt[9]{a^{18} - a^{18} - a^{18} - a^{18}}$ ,

d) $\sqrt[6]{x^{6} + x^{6} + x^{6}}$ .

a) $\frac{\sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[5]{- 32}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt[3]{64}} = \frac{2 \cdot (- 2)}{9 \cdot 4} = \frac{- 4}{9 \cdot 4} = - \frac{1}{9}$ ,

b) $\sqrt[7]{{- a}^{7} - a^{7} - a^{7} - a^{7}} = \sqrt[7]{- 4 a^{7}} = a \sqrt[7]{- 4} = - a \sqrt[7]{4}$ ,

c) $\sqrt[9]{a^{18} - a^{18} - a^{18} - a^{18}} = \sqrt[9]{- 2 a^{18}} = a^{2} \cdot \sqrt[9]{- 2} = {- a}^{2} \cdot \sqrt[9]{2}$ ,

d) $\sqrt[6]{{x^{6} + x^{6} + x^{6}}^{}} = \sqrt[6]{{3 x}^{6}^{}} = \sqrt[6]{x^{6}} \cdot \sqrt[6]{3} = |x| \cdot \sqrt[6]{3}$ .

RjyPgvLUezZYq3

Ćwiczenie 8

Usuń niewymierność z mianownika ułamka. Połącz w pary liczby równe.

\frac{3}{\sqrt[5]{- 3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \sqrt[7]{4}

, 2.

\sqrt[7]{8}

, 3.

\frac{\sqrt[7]{2}}{2}

, 4.

\sqrt[5]{27}

, 5.

\sqrt[7]{32}

, 6.

\frac{\sqrt[5]{27}}{3}

, 7.

- \sqrt[5]{81}

, 8.

- \frac{\sqrt[7]{16}}{2}

, 9.

- \sqrt[7]{64}

, 10.

- \frac{\sqrt[5]{9}}{3}

\frac{1}{\sqrt[5]{9}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \sqrt[7]{4}

, 2.

\sqrt[7]{8}

, 3.

\frac{\sqrt[7]{2}}{2}

, 4.

\sqrt[5]{27}

, 5.

\sqrt[7]{32}

, 6.

\frac{\sqrt[5]{27}}{3}

, 7.

- \sqrt[5]{81}

, 8.

- \frac{\sqrt[7]{16}}{2}

, 9.

- \sqrt[7]{64}

, 10.

- \frac{\sqrt[5]{9}}{3}

\frac{1}{\sqrt[5]{- 27}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \sqrt[7]{4}

, 2.

\sqrt[7]{8}

, 3.

\frac{\sqrt[7]{2}}{2}

, 4.

\sqrt[5]{27}

, 5.

\sqrt[7]{32}

, 6.

\frac{\sqrt[5]{27}}{3}

, 7.

- \sqrt[5]{81}

, 8.

- \frac{\sqrt[7]{16}}{2}

, 9.

- \sqrt[7]{64}

, 10.

- \frac{\sqrt[5]{9}}{3}

\frac{3}{\sqrt[5]{9}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \sqrt[7]{4}

, 2.

\sqrt[7]{8}

, 3.

\frac{\sqrt[7]{2}}{2}

, 4.

\sqrt[5]{27}

, 5.

\sqrt[7]{32}

, 6.

\frac{\sqrt[5]{27}}{3}

, 7.

- \sqrt[5]{81}

, 8.

- \frac{\sqrt[7]{16}}{2}

, 9.

- \sqrt[7]{64}

, 10.

- \frac{\sqrt[5]{9}}{3}

\frac{2}{\sqrt[7]{- 2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \sqrt[7]{4}

, 2.

\sqrt[7]{8}

, 3.

\frac{\sqrt[7]{2}}{2}

, 4.

\sqrt[5]{27}

, 5.

\sqrt[7]{32}

, 6.

\frac{\sqrt[5]{27}}{3}

, 7.

- \sqrt[5]{81}

, 8.

- \frac{\sqrt[7]{16}}{2}

, 9.

- \sqrt[7]{64}

, 10.

- \frac{\sqrt[5]{9}}{3}

\frac{2}{\sqrt[7]{4}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \sqrt[7]{4}

, 2.

\sqrt[7]{8}

, 3.

\frac{\sqrt[7]{2}}{2}

, 4.

\sqrt[5]{27}

, 5.

\sqrt[7]{32}

, 6.

\frac{\sqrt[5]{27}}{3}

, 7.

- \sqrt[5]{81}

, 8.

- \frac{\sqrt[7]{16}}{2}

, 9.

- \sqrt[7]{64}

, 10.

- \frac{\sqrt[5]{9}}{3}

\frac{1}{\sqrt[7]{- 8}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \sqrt[7]{4}

, 2.

\sqrt[7]{8}

, 3.

\frac{\sqrt[7]{2}}{2}

, 4.

\sqrt[5]{27}

, 5.

\sqrt[7]{32}

, 6.

\frac{\sqrt[5]{27}}{3}

, 7.

- \sqrt[5]{81}

, 8.

- \frac{\sqrt[7]{16}}{2}

, 9.

- \sqrt[7]{64}

, 10.

- \frac{\sqrt[5]{9}}{3}

\frac{2}{\sqrt[7]{16}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \sqrt[7]{4}

, 2.

\sqrt[7]{8}

, 3.

\frac{\sqrt[7]{2}}{2}

, 4.

\sqrt[5]{27}

, 5.

\sqrt[7]{32}

, 6.

\frac{\sqrt[5]{27}}{3}

, 7.

- \sqrt[5]{81}

, 8.

- \frac{\sqrt[7]{16}}{2}

, 9.

- \sqrt[7]{64}

, 10.

- \frac{\sqrt[5]{9}}{3}

\frac{2}{\sqrt[7]{- 32}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \sqrt[7]{4}

, 2.

\sqrt[7]{8}

, 3.

\frac{\sqrt[7]{2}}{2}

, 4.

\sqrt[5]{27}

, 5.

\sqrt[7]{32}

, 6.

\frac{\sqrt[5]{27}}{3}

, 7.

- \sqrt[5]{81}

, 8.

- \frac{\sqrt[7]{16}}{2}

, 9.

- \sqrt[7]{64}

, 10.

- \frac{\sqrt[5]{9}}{3}

\frac{1}{\sqrt[7]{64}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \sqrt[7]{4}

, 2.

\sqrt[7]{8}

, 3.

\frac{\sqrt[7]{2}}{2}

, 4.

\sqrt[5]{27}

, 5.

\sqrt[7]{32}

, 6.

\frac{\sqrt[5]{27}}{3}

, 7.

- \sqrt[5]{81}

, 8.

- \frac{\sqrt[7]{16}}{2}

, 9.

- \sqrt[7]{64}

, 10.

- \frac{\sqrt[5]{9}}{3}

Usuń niewymierność z mianownika ułamka. Połącz w pary liczby równe.

$\frac{3}{\sqrt[5]{- 3}}$
$\frac{1}{\sqrt[5]{9}}$
$\frac{1}{\sqrt[5]{- 27}}$
$\frac{3}{\sqrt[5]{9}}$
$\frac{2}{\sqrt[7]{- 2}}$
$\frac{2}{\sqrt[7]{4}}$
$\frac{1}{\sqrt[7]{- 8}}$
$\frac{2}{\sqrt[7]{16}}$
$\frac{2}{\sqrt[7]{- 32}}$
$\frac{1}{\sqrt[7]{64}}$

Ćwiczenie 9

Wyłącz możliwie największy czynnik przed znak pierwiastka.

a) $\sqrt[5]{a^{5} b^{6} x^{7}}$ ,

b) $\sqrt[3]{a^{3} x^{6} y^{8}}$ ,

c) $\sqrt[4]{a^{4} x^{5} y^{6} z^{7}}$ , dla $x \geq 0$ , $z \geq 0$ ,

d) $\sqrt[3]{a^{3} + a^{4} + a^{5}}$ ,

e) $\sqrt[5]{a^{6} + a^{7} + a^{10}}$ .

a) $\sqrt[5]{a^{5} b^{6} x^{7}} = \sqrt[5]{a^{5}} \cdot \sqrt[5]{b^{5} \cdot b} \cdot \sqrt[5]{x^{5} \cdot x^{2}} = a \cdot b \sqrt[5]{b} \cdot x \sqrt[5]{x^{2}} = a b x \sqrt[5]{b x^{2}}$ ,

b) $\sqrt[3]{a^{3} x^{6} y^{8}} = \sqrt[3]{a^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{6}} \cdot \sqrt[3]{y^{6} \cdot y^{2}} = a {\cdot x}^{2} \cdot y^{2} \sqrt[3]{y^{2}} = a x^{2} y^{2} \sqrt[3]{y^{2}}$ ,

c) $\sqrt[4]{a^{4} x^{5} y^{6} z^{7}} = \sqrt[4]{a^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{4} \cdot x} \cdot \sqrt[4]{y^{4} \cdot y^{2}} \cdot \sqrt[4]{z^{4} \cdot z^{3}} =$

$= |a| \cdot |x| \cdot \sqrt[4]{x} \cdot |y| \cdot \sqrt[4]{y^{2}} \cdot |z| \cdot \sqrt[4]{z^{3}} = |a x y z| \cdot \sqrt[4]{x y^{2} z^{3}} = |a x y z| \cdot \sqrt{y} \cdot \sqrt[4]{x z^{3}}$ ,

d) $\sqrt[3]{a^{3} + a^{4} + a^{5}} = \sqrt[3]{a^{3} (1 + a + a^{2})} = a \sqrt[3]{1 + a + a^{2}}$ ,

e) $\sqrt[5]{a^{6} + a^{7} + a^{10}} = \sqrt[5]{a^{5} (a + a^{2} + a^{5})} = a \sqrt[5]{a + a^{2} + a^{5}}$ .

RoHk0BRhYo5Yv3

Ćwiczenie 10

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.
Przypomnijmy, że tożsamością nazywamy równość prawdziwą dla każdego elementu dziedziny. Tożsamością jest równość:

{(\sqrt[5]{x})}^{5} = x

\sqrt[5]{x^{5}} = x

\sqrt[5]{x^{10}} = x^{2}

Równość

\sqrt[9]{x^{3}} = \sqrt[3]{x}

:
jest tożsamością, bo jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej

x

nie jest tożsamością, bo nie jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej

x

jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest równość

\sqrt[9]{{- x}^{3}} = \sqrt[3]{- x}

Wskaż warunki spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą

x

\sqrt[4]{x^{4}} \geq x

\sqrt[4]{x^{4}} = x

\sqrt[7]{x^{7}} = x

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.
Przypomnijmy, że tożsamością nazywamy równość prawdziwą dla każdego elementu dziedziny.

Tożsamością jest równość:
{# ${(\sqrt[5]{x})}^{5} = x$ } {# $\sqrt[5]{x^{5}} = x$ } {# $\sqrt[5]{x^{10}} = x^{2}$ }

Równość $\sqrt[9]{x^{3}} = \sqrt[3]{x}$ :
{#jest tożsamością, bo jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$ } {nie jest tożsamością, bo nie jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$ } {#jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest równość $\sqrt[9]{{- x}^{3}} = \sqrt[3]{- x}$ }

Wskaż warunki spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą $x$ :
{# $\sqrt[4]{x^{4}} \geq x$ } { $\sqrt[4]{x^{4}} = x$ } {# $\sqrt[7]{x^{7}} = x$ }

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela