Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R9eiyIa9ITN9c1

Ćwiczenie 1

Dane są liczby rzeczywiste $a$ , $b$ takie, że ich suma jest liczbą dodatnią. Zaznacz nierówność prawdziwą.

$a b < 0$
$a b > 0$
$- a^{2} b < 0$
$a b < (a + 1) (b + 1)$

RlOzQrwzKNrrl1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Jeżeli liczby dodatnie $a$ , $b$ spełniają warunek $1 = a + b$ to:

$a^{2} - b^{2} > 1$
$a^{2} + b^{2} < 1$
$a > \frac{1}{b}$
$\sqrt{a} < 1 - \sqrt{b}$

RKZiO1CWXDOfE1

Ćwiczenie 3

Dostępne opcje do wyboru:

(1 - b)

a b

(1 - a)

(1 + a b)

(1 - a)

(b - a b)

. Polecenie: Liczby

a

b

są dodatnie i mniejsze od

1

. Uzupełnij dowód nierówności

(a + b) (1 + a b) < {(1 + a b)}^{2}

.
Przeciągnij odpowiednie wyrażenia.

(a + b) (1 + a b) < {(1 + a b)}^{2} | :

luka do uzupełnienia

a + b - 1 -

luka do uzupełnienia

< 0

(a - 1) +

luka do uzupełnienia

< 0

(a - 1) + b \cdot

luka do uzupełnienia

< 0

-

luka do uzupełnienia

+ b (1 - a) < 0

(1 - a) \cdot

luka do uzupełnienia

> 0

(1 - a) (1 - b) > 0

– nierówność prawdziwa, bo

a < 1

b < 1

Liczby $a$ , $b$ są dodatnie i mniejsze od $1$ . Uzupełnij dowód nierówności $(a + b) (1 + a b) < {(1 + a b)}^{2}$ .
Przeciągnij odpowiednie wyrażenia.

$(1 + a b)$ , $(1 - a)$ , $(1 - b)$ , $(1 - a)$ , $(b - a b)$ , $a b$

$(a + b) (1 + a b) < {(1 + a b)}^{2} | :$
$a + b - 1 -$ $< 0$
$(a - 1) +$ $< 0$
$(a - 1) + b \cdot$ $< 0$
$-$ $+ b (1 - a) < 0$
$(1 - a) \cdot$ $> 0$
$(1 - a) (1 - b) > 0$ – nierówność prawdziwa, bo $a < 1$ i $b < 1$

RllzZ1tcgZbqA2

Ćwiczenie 4

Liczby $a$ , $b$ , $c$ są dodatnie. Uzupełnij nierówność, wpisując najmniejszą liczbę naturalną, dla której nierówność jest prawdziwa.

${(a + b + c)}^{2} \leq$ ............ $\cdot (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

R1AFqthNuR5pp2

Ćwiczenie 5

Zaznacz wszystkie nierówności prawdziwe (liczby a, b są dodatnie).

$a^{4} + b^{4} \geq a^{3} b + a b^{3}$
$\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2 (a + b)}$
$a^{3} + b^{3} \leq a^{2} b + a b^{2}$
$2 \sqrt{a b} \leq a + b$

RKQ1ADa4QyFK12

Ćwiczenie 6

Liczby $a$ , $b$ , $c$ są nieujemne. Przeciągnij odpowiedni znak taki, aby nierówność była prawdziwa.

$\geq$ , $\leq$

$a + b + c$ $\sqrt[3]{a^{2} \cdot b} + \sqrt[3]{b^{2} \cdot c} + \sqrt[3]{c^{2} \cdot a}$

Ćwiczenie 7

Liczby $a$ , $b$ , $c$ to długości krawędzi prostopadłościanu, którego przekątna jest równa $d$ . Wykaż, że $a + b + c \leq d \sqrt{3}$ .

Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej prostopadłościanu.

$a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}$

Wykażemy nierówność równoważną ${(a + b + c)}^{2} \leq 3 d^{2}$ .

${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c$

${(a + b + c)}^{2} \leq a^{2} + b^{2} + c^{2} + (a^{2} + b^{2}) + (a^{2} + c^{2}) + (b^{2} + c^{2})$

${(a + b + c)}^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 3 d^{2}$

Równość zachodzi, gdy $a = b = c$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że jeżeli $a$ , $b$ są takimi liczbami dodatnimi, że

$a b \geq a + b$ to $a + b - 4 \geq 0$ .

Skorzystamy z zależności $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ dla liczb dodatnich.

Podnosimy obie strony tej nierówności do kwadratu.

${(\frac{a + b}{2})}^{2} \geq a b$

Przekształcamy nierówność.

${(a + b)}^{2} \geq 4 a b \geq 4 (a + b)$

$(a + b) (a + b) \geq 4 (a + b) | : (a + b)$

$a + b \geq 4$

Co należało wykazać.

Animacja

Dla nauczyciela