Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RI7A4v8N93jKa1

Ćwiczenie 1

Dana jest liczba $K = 1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ . Dla każdej liczby naturalnej nieparzystej $n$ liczba ta jest podzielna przez:

R1PRyJcqpZ0X61

Ćwiczenie 2

Kwadrat każdej liczby nieparzystej, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą, jest postaci:

$8 k + 1$
$8 k$
$8 k + 3$
$8 k + 5$

RQ8faGOV9OngD2

Ćwiczenie 3

Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

	Prawda	Fałsz
Dla każdej liczby naturalnej dodatniej $n$ liczba $A = n^{5} - n$ jest podzielna przez $30$ .	□	□
Dla każdej liczby naturalnej dodatniej $n$ liczba $B = 4^{n} - 3^{n}$ jest podzielna przez $2$ .	□	□
Dla każdej liczby naturalnej dodatniej $n$ liczba $C = n^{3} + 2 n$ jest podzielna przez $3$ .	□	□
Dla każdej liczby naturalnej dodatniej $n$ liczba $D = 5^{n} - 1$ jest podzielna przez $4$ .	□	□

Rgnmmsdr4kbwx2

Ćwiczenie 4

Uzupełnij rozkład liczby $12$ na sumę czterech sześcianów liczb całkowitych. Wpisz odpowiednie liczby w kolejności rosnącej.

$12 =$ ............ $^{3}$ $-$ ............ $^{3}$ $-$ ............ $^{3}$ $+$ ............ $^{3}$

RHj6aJ56jZKbm2

Ćwiczenie 5

Liczba $81$ to najmniejsza liczba kwadratowa, którą można zapisać w postaci sumy trzech kwadratów liczb naturalnych. Uzupełnij taki zapis, przeciągając odpowiednie liczby w kolejności rosnącej.

$7$ , $1$ , $5$ , $4$ , $4$ , $6$ , $8$ , $3$ , $1$ , $2$

$81 =$ ............ $^{2}$ $+$ ............ $^{2}$ $+$ ............ $^{2}$

Ćwiczenie 6

Znajdź dodatnią liczbę $K$ , którą można przedstawić dwoma sposobami w postaci sumy kwadratu i sumy sześcianu:

$K = {(x - 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{2}$ ,

$K = x^{3} + {(3 x)}^{2}$ ,

gdzie $x$ to pewna liczba naturalna.

Zapisujemy w prostszej postaci wyrażenia, którymi określona jest liczba $K$ .

$K = {(x - 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{2}$

$K = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 1$

$K = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$

$K = x^{3} + {(3 x)}^{2}$

$K = x^{3} + 9 x^{2}$

Porównujemy otrzymane wyrażenia i wyznaczamy $x$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x = x^{3} + 9 x^{2}$

$9 x - 3 x^{2} = 0$

$3 x (x - 3) = 0$

$x = 0$ lub $x = 3$ .

Liczba $K$ ma być dodatnia, więc tylko liczba $3$ spełnia warunki zadania.

$K = 2^{3} + 10^{2} = 108$

$K = 3^{3} + 9^{2} = 108$

Szukana liczba jest równa $108$ .

Ćwiczenie 7

Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie:

$3 x^{3} + x y = 13$

$x (3 x^{2} + y) = 1 \cdot 13$

$x = 1$ , $y = 10$

Ćwiczenie 8

Wykaż, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych powiększony o $1$ jest kwadratem liczby naturalnej.

$n$ , $n + 1$ , $n + 2$ , $n + 3$ – kolejne liczby naturalne.

Oznaczmy

$K = n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1$ .

Zapisujemy iloczyn w postaci sumy.

$K = (n^{2} + n) (n^{2} + 5 n + 6) + 1$

$K = n^{4} + 6 n^{3} + 11 n^{2} + 6 n + 1$

Przekształcamy tak zapisane wyrażenie, aby rozłożyć je na czynniki.

$K = (n^{4} + 3 n^{3} + n^{2}) + (3 n^{3} + 9 n^{2} + 3 n) + (n^{2} + 3 n + 1)$

$K = n^{2} (n^{2} + 3 n + 1) + 3 n (n^{2} + 3 n + 1) + (n^{2} + 3 n + 1)$

$K = (n^{2} + 3 n + 1) (n^{2} + 3 n + 1)$

$K = {(n^{2} + 3 n + 1)}^{2}$

Animacja

Dla nauczyciela