Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RDwrobNWjz9UF1

Ćwiczenie 1

R11gAlW4gIxOf1

Ćwiczenie 2

R1En5AW84Rs672

Ćwiczenie 3

R1dsWnQYIw44P2

Ćwiczenie 4

Dostępne opcje do wyboru: . Polecenie: Ciąg

(a_{n})

jest ciągiem arytmetycznym o wyrazach ujemnych. Uzupełnij dowód tego, że ciąg

(S_{n})

jest ciągiem malejącym.
Przeciągnij odpowiednie wyrażenia. Oznaczmy:

a

– pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

r

– różnica ciągu

(a_{n})

.
Zapisujemy wzór ogólny ciągu

(S_{n})

S_{n} = \frac{a + a + (n - 1) \cdot r}{2} \cdot n

S_{n} = \frac{2 a + (n - 1) \cdot r}{2} \cdot n

Ciąg jest malejący, jeżeli różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest ujemna.
Badamy więc znak tej różnicy.
S_(n+1)-S_n=(2a+(n+1-1)∙r)/2∙(n+1)- (a+a+(n-1)∙r)/2∙n
Przekształcamy otrzymane wyrażenie.
S_(n+1)-S_n=(2a(n+1)+nr(n+1)-2an-(n-1)rn)/2

S_(n+1)-S_n=(2an+2a+ n^2 r +nr -2an-rn^2+rn )/2

S_(n+1)-S_n=2a/2=a
S_(n+1)-S_n=a
Wyrazy ciągu (a_n ) są ujemne –czyli a<0.
S_(n+1)-S_n=a<0
Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest ujemna, zatem ciąg jest malejący.

RWhEIcTtrNexO21

Ćwiczenie 5

Łączenie par. Suma trzech pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa

21

. Iloczyn dwóch pierwszych wyrazów jest o

1

mniejszy od podwojonego wyrazu trzeciego.
Oznaczmy:

a

– pierwszy wyraz ciągu,

r

– różnicę ciągu.
Zaznacz, które stwierdzenie jest prawdziwe, a które fałszywe.. Można udowodnić, że

a + r = 7

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz.

a (a + 1) + 1 = 2 (a + 2)

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Z treści zadania wynika, że

a + r + a + 2 r + a + 3 r = 21

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Można udowodnić, że różnica ciągu jest równa

4

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Można udowodnić, że pierwszy wyraz ciągu jest równy

4

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

R1c9jlSPWIBLt2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Wykaż, że jeżeli ciąg liczb dodatnich $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$ jest ciągiem arytmetycznym, to ciąg $(\frac{1}{a + b}, \frac{1}{a + c}, \frac{1}{c + b})$ jest również ciągiem arytmetycznym.

W tym zadaniu mamy do udowodnienia twierdzenie odwrotne do twierdzenia podanego w Przykładzie 1.

Teraz z założenia wynika, że ciąg $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$ jest arytmetyczny, zatem prawdziwa jest równość

$b^{2} - a^{2} = c^{2} - b^{2}$

Rozkładamy na czynniki obie strony zapisanej równości.

$(b - a) (b + a) = (c - b) (c + b)$

Dzielimy obie strony równości przez $(b + a) (c + b)$ – iloczyn ten jest różny od zera, bo każda z liczb jest dodatnia.

$\frac{b - a}{c + b} = \frac{c - b}{b + a}$

Mnożymy obie strony równości przez $\frac{1}{c + a}$ .

$\frac{b - a}{(c + b) (c + a)} = \frac{c - b}{(b + a) (c + a)}$

Przekształcamy zapisane wyrażenia.

$\frac{b - a + c - c}{(c + b) (c + a)} = \frac{c - b + a - a}{(b + a) (c + a)}$

$\frac{(b + c) - (a + c)}{(c + b) (c + a)} = \frac{(c + a) - (a + b)}{(b + a) (c + a)}$

Zapisujemy każde z wyrażeń w postaci różnicy ułamków algebraicznych.

$\frac{1}{a + c} - \frac{1}{b + c} = \frac{1}{a + b} - \frac{1}{a + c}$

Ostatnia równość oznacza, że ciąg $(\frac{1}{a + b}, \frac{1}{a + c}, \frac{1}{c + b})$ jest arytmetyczny, co należało wykazać.

Ćwiczenie 8

Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie $a$ , $b$ , $c$ tworzą w tej kolejności ciąg arytmetyczny, to liczby $\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$ , $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}$ , $\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ , w tej kolejności, również tworzą ciąg arytmetyczny.

Liczby $a$ , $b$ , $c$ tworzą ciąg arytmetyczny, więc zachodzi równość $b - a = c - b$ .

Wykażemy, że dla liczb $\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$ , $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}$ , $\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ prawdziwa jest podobna równość.

Oznaczmy:
$A = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$ i $B = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}$ .

Przekształcamy pierwsze z zapisanych wyrażeń.

$A = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{\sqrt{b} + \sqrt{c} - \sqrt{a} - \sqrt{c}}{(\sqrt{a} + \sqrt{c}) (\sqrt{b} + \sqrt{c})}$

$A = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{(\sqrt{a} + \sqrt{c}) (\sqrt{b} + \sqrt{c})}$

Mnożymy licznik i mianownik uzyskanego ułamka przez $\sqrt{b} + \sqrt{a}$ , aby w liczniku otrzymać liczby bez pierwiastków.

$A = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a}) (\sqrt{b} + \sqrt{a})}{(\sqrt{a} + \sqrt{c}) (\sqrt{b} + \sqrt{c}) (\sqrt{b} + \sqrt{a})} = \frac{b - a}{(\sqrt{a} + \sqrt{c}) (\sqrt{b} + \sqrt{c}) (\sqrt{b} + \sqrt{a})}$

Przekształcamy drugie z zapisanych wyrażeń.

$B = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{c} - \sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{c})}$

$A = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{c})}$

Mnożymy licznik i mianownik uzyskanego ułamka przez $\sqrt{c} + \sqrt{b}$ , aby w liczniku otrzymać liczby bez pierwiastków.

$A = \frac{(\sqrt{c} - \sqrt{b}) (\sqrt{c} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{c}) (\sqrt{c} + \sqrt{b})} = \frac{c - b}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{c}) (\sqrt{c} + \sqrt{b})}$

Mianowniki ułamków $A$ i $B$ są równe. Z zapisanej wcześniej równości $b - a = c - b$ wynika, że liczniki też są równe, zatem $A = B$ .

Oznacza to, że spełniony jest warunek na to, aby ciąg $\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$ , $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}$ , $\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ był arytmetyczny.

Infografika

Dla nauczyciela