Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Oznaczmy jako $r$ – promień podstawy stożka, $l$ – tworząca stożka.

Rbr7vJShrwCuH

Ilustracja przedstawia stożek ABS. Na lewym ramieniu zaznaczono punkt $A\text{'}$, a na prawym $B\text{'}$, które następnie połączono i stworzono płaszczyznę równoległą do podstawy. Z wierzchołka S upuszczona została wysokość stożka o długości H. Promień podstawy stożka ABS oznaczono jako r, a jego tworzącą jako l. Zaznaczono również kąt rozwarcia równy $2\alpha$ oraz promień mniejszego stożka $A\text{'}B\text{'}S$.

Wówczas mamy:

$\frac{r}{H}=tg\alpha$ oraz $\frac{H}{l}=\cos \alpha$

$r=Htg\alpha$ i $l=\frac{H}{\cos \alpha }$

Powstałe bryły mają objętości równe połowie objętości wyjściowego stożka.

Skala podobieństwa stożka $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}S$ do stożka $ABS$ wynosi więc:

$k^3=\frac{1}{2}$

$k=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Promień podstawy stożka $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}S$ jest równy $r_1=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}r=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}·Htg\alpha$, tworząca: $l_1=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}·l=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}·\frac{H}{cos\alpha }$ i wysokość $h_1=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}H$.

Obliczmy pole powierzchni stożka ściętego:

$P_c=\pi r^2+\pi r_1^2+\pi rl-\pi r_1{l}_1=$

$=\pi ·H^2{tg}^2\alpha +\pi ·\sqrt[3]{\frac{1}{4}}·H^2{tg}^2\alpha +$

$+\pi \cdot H\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \cdot \frac{H}{\cos \alpha }-\pi \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\cdot H\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2}}·\frac{H}{\cos \alpha }=$

$=\pi ·H^2·\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\pi ·H^2·\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }·\sqrt[3]{\frac{1}{4}}+\pi ·H^2·\frac{\sin \alpha }{{\cos }^2\alpha }-\pi ·H^2·\frac{\sin \alpha }{{\cos }^2\alpha }·\sqrt[3]{\frac{1}{4}}=$

$=\pi ·H^2·\frac{\sin \alpha }{{\cos }^2\alpha }\left(\sin \alpha +\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\sin \alpha +1-\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\right)$.