Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

ROIDHh2PUqekt1

Ćwiczenie 1

REHlJdPOIvwQg1

Ćwiczenie 2

R1RzcCBxoAG8w1

Ćwiczenie 3

Łączenie par. Pole ośmiościanu foremnego wynosi

S

.
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Przy każdym zdaniu w tabeli zaznacz „Prawda” albo „Fałsz”. . Krawędź wielościanu ma długość

\sqrt{\frac{S \sqrt{3}}{6}}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Przekątna ośmiościanu foremnego jest

2

razy dłuższa od długości jego krawędzi.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Promień kuli wpisanej w ten ośmiościan ma długość

\frac{1}{6} \sqrt{S \sqrt{3}}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Objętość kuli opisanej na ośmiościanie wynosi

\frac{4}{3} π S^{3}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

RDy6YMNX7K8ku2

Ćwiczenie 4

Pole kuli wpisanej w ośmiościan foremny wynosi

24 π

.
Połącz w pary opisy liczb z wynikami. promień kuli wpisanej w ośmiościan Możliwe odpowiedzi: 1.

72 \sqrt{3}

, 2.

\sqrt{6}

, 3.

72 \sqrt{2}

, 4.

3 \sqrt{2}

promień kuli opisanej na ośmiościanie Możliwe odpowiedzi: 1.

72 \sqrt{3}

, 2.

\sqrt{6}

, 3.

72 \sqrt{2}

, 4.

3 \sqrt{2}

pole ośmiościanu Możliwe odpowiedzi: 1.

72 \sqrt{3}

, 2.

\sqrt{6}

, 3.

72 \sqrt{2}

, 4.

3 \sqrt{2}

objętość ośmiościanu Możliwe odpowiedzi: 1.

72 \sqrt{3}

, 2.

\sqrt{6}

, 3.

72 \sqrt{2}

, 4.

3 \sqrt{2}

R1bEMG3aO7Kwy2

Ćwiczenie 5

Dwudziestościan foremny o krawędzi długości

4

ma pole

3

razy mniejsze od pola ośmiościanu foremnego. Dokończ zdanie, przeciągając prawidłową odpowiedź w puste pole.

Pole powierzchni dwudziestościanu foremnego wynosi 1. $96 \sqrt{3}$ , 2. $240 \sqrt{3}$ , 3. $32 \sqrt{3}$ , 4. $\frac{160 \sqrt{5}}{3} π$ , 5. $\frac{32}{3} π$ , 6. $2 \sqrt{6}$ , 7. $80 \sqrt{3}$ , 8. $2 \sqrt{30}$ .
Pole powierzchni ośmiościanu foremnego wynosi 1. $96 \sqrt{3}$ , 2. $240 \sqrt{3}$ , 3. $32 \sqrt{3}$ , 4. $\frac{160 \sqrt{5}}{3} π$ , 5. $\frac{32}{3} π$ , 6. $2 \sqrt{6}$ , 7. $80 \sqrt{3}$ , 8. $2 \sqrt{30}$ .
Krawędź ośmiościanu ma długość 1. $96 \sqrt{3}$ , 2. $240 \sqrt{3}$ , 3. $32 \sqrt{3}$ , 4. $\frac{160 \sqrt{5}}{3} π$ , 5. $\frac{32}{3} π$ , 6. $2 \sqrt{6}$ , 7. $80 \sqrt{3}$ , 8. $2 \sqrt{30}$ .
Objętość kuli wpisanej w ośmiościan foremny wynosi 1. $96 \sqrt{3}$ , 2. $240 \sqrt{3}$ , 3. $32 \sqrt{3}$ , 4. $\frac{160 \sqrt{5}}{3} π$ , 5. $\frac{32}{3} π$ , 6. $2 \sqrt{6}$ , 7. $80 \sqrt{3}$ , 8. $2 \sqrt{30}$ .

R1XYNik2stQes2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Wykaż, że objętość ośmiościanu foremnego, którego wierzchołki znajdują się na środkach ścian sześcianu, jest sześć razy mniejsza od objętości tego sześcianu.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

R1BlJb8Tupbr8

Ilustracja przedstawia ośmiościan znajdujący się wewnątrz sześcianu. Na środkach ścian sześcianu zaznaczono wierzchołki ośmiościanu, środki te leżą w miejscu przecięcia przekątnych ścian. Krawędzie dolnej podstawy sześcianu to A B C D, krawędzie górnej podstawy sześcianu to < A1 B1 C1 D1. Na środku ściany ABCD znajduje się się punkt F. Na środku ściany A1 B1 C1 D1 znajduje się punkt E. Na środku ściany A A1 BB1 znajduje się punkt M. Na środku ściany B B1C C1 znajduje się punkt N. Na środku ściany C C1 D D1 znajduje się punkt P. Na środku ściany D D1 A A1 znajduje się punkt R. Punkty F, E, M, N, P, R są wierzchołkami ośmiościanu.

Niech $a$ - długość krawędzi sześcianu.

Wówczas długość krawędzi ośmiościanu to $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Obliczmy objętości obu brył:

$V_{sześcianu} = a^{3}$

$V_{ośmiościanu} = \frac{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{3} \sqrt{2}}{3} = \frac{a^{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{8} \cdot \sqrt{2}}{3} = \frac{a^{3}}{6}$

Wykazaliśmy, że $V_{ośmiościanu} = 6 \cdot V_{sześcianu}$ .

Ćwiczenie 8

Środki ścian ośmiościanu foremnego są wierzchołkami sześcianu. Oblicz stosunek objętości obu brył.

RFlTpsdHDdEcv

Ilustracja przedstawia sześcian znajdujący się wewnątrz ośmiościanu. Wierzchołki sześcianu znajdują się na środkach ścian ośmiościanu.

Oznaczmy jako $a$ - długość krawędzi ośmiościanu. Wówczas jego objętość wynosi:

$V_{ośmiościanu} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Środkiem ściany ośmiościanu foremnego jest środek ciężkości trójkąta równobocznego. Wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku $2 : 1$ . Obliczmy długość krawędzi sześcianu. Oznaczmy ją jako $x$ .

R1LfFggLQ7mCu

Ilustracja przedstawia sześcian znajdujący się wewnątrz ośmiościanu. Wierzchołek górny ośmiościanu podpisano literą E, wierzchołek dolny popisano literą F, pozostałe wierzchołki to A B C D. Długość krawędzi bocznej ośmiościanu podpisano literą a. Długość ściany sześcianu znajdującego się wewnątrz ośmiościanu podpisano literą x. Na krawędzi AB zaznaczono punkt G. Na krawędzi BC zaznaczono punkt H. W ośmiościanie zaznaczono trójkąt o wierzchołkach EGH.

Przeanalizujmy trójkąt $E G H$ . $|G B| = |B H| = \frac{1}{2} a$ , więc $|G H| = \frac{1}{2} a \sqrt{2}$ . Ułóżmy proporcję:

$\frac{x}{\frac{1}{2} a \sqrt{2}} = \frac{2}{3}$

$x = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

Obliczmy objętość sześcianu:

$V_{sześcianu} = {(\frac{a \sqrt{2}}{3})}^{3} = \frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{27}$

Obliczmy stosunek objętości brył:

$\frac{V_{sześcianu}}{V_{ośmiościanu}} = \frac{\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{27}}{\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}} = \frac{2}{9}$

lub

$\frac{V_{ośmiościanu}}{V_{sześcianu}} = \frac{9}{2}$

Animacja 3D

Dla nauczyciela