Wyznacz dziedzinę nierówności wymiernej.

Następnie rozwiąż nierówności: $\frac{x}{x+2}-\frac{3x-4}{x^2-4}\ge 1 \vee \frac{x}{x+2}-\frac{3x-4}{x^2-4}\le -1$.

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2;2\right\}$.

Rozwiążmy nierówności: $\frac{x}{x+2}-\frac{3x-4}{x^2-4}\ge 1 \vee \frac{x}{x+2}-\frac{3x-4}{x^2-4}\le -1$.

Przenieśmy wszystkie wyrażenia na jedną stronę $\frac{x}{x+2}-\frac{3x-4}{x^2-4}-1\ge 0 \vee \frac{x}{x+2}-\frac{3x-4}{x^2-4}+1\le 0$.

Sprowadźmy ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika $\frac{x\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{3x-4}{x^2-4}-\frac{x^2-4}{x^2-4}\ge 0\vee \frac{x\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{3x-4}{x^2-4}+\frac{x^2-4}{x^2-4}\le 0$,

$\frac{x^2-2x-\left(3x-4\right)-\left(x^2-4\right)}{x^2-4}\ge 0\vee \frac{x^2-2x-\left(3x-4\right)+x^2-4}{x^2-4}\le 0$,

$\frac{x^2-2x-3x+4-x^2+4}{x^2-4}\ge 0\vee \frac{x^2-2x-3x+4+x^2-4}{x^2-4}\le 0$,

$\frac{-5x+8}{x^2-4}\ge 0\vee \frac{2x^2-5x}{x^2-4}\le 0$.

Zapiszmy nierówności w postaci równoważnej nierówności iloczynowej

$\left(-5x+8\right)\left(x^2-4\right)\ge 0 \vee \left(2x^2-5x\right)\left(x^2-4\right)\le 0$,

$-5\left(x-\frac{8}{5}\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ge 0 \vee 2x\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\le 0$.

Wielomian $W_1\left(x\right)=-5\left(x-\frac{8}{5}\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)$ ma trzy pierwiastki jednokrotne: $\left(-2\right)$; $1,6$; $2$.

Uwzględniając dziedzinę $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2;2\right\}$ sporządzamy wykres funkcji $W_1$ .

RBQKppJqxQy80

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji wielomianowej biegnącej w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie nad osią $X$, po czym w niezamalowanym punkcie minus dwa przebija pod oś $X$. Biegnie w dół, odbija w górę i w zamalowanym punkcie jeden i sześć dziesiątych przebija nad oś $X$. Następnie biegnie w górę, odbija w dół i w niezamalowanym punkcie 2 przebija pod oś i biegnie do plus nieskończoności. Kiedy funkcja wielomianowa znajduje się nad osią $X$ obszar między pionową osią , a wykresem oznaczony jest plusami, kiedy funkcja wielomianowa znajduje się pod osią $X$, to obszar między nią a wykresem oznaczony jest minusami.

Rozwiązaniem pierwszej nierówności wielomianowej, gdzie $x\in D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2;2\right\}$ jest zbiór $\left(-\infty ;-2\right)\cup \left.⟨1,6;2\right)$.

Wielomian $W_2\left(x\right)=2x\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)$ ma cztery pierwiastki jednokrotne: $\left(-2\right)$; $0$; $2$; $2,5$.

Uwzględniając dziedzinę $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2;2\right\}$ sporządzamy wykres wielomianu $W_2$.

R1SWBO5WTkMB3

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji wielomianowej biegnącej w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie nad osią $X$, po czym w niezamalowanym punkcie minus dwa przebija pod oś. Biegnie w dół, odbija w górę i w zamalowanym punkcie zero przebija nad oś $X$. Następnie biegnie w górę, odbija w dół i w niezamalowanym punkcie 2 przebija pod oś. Biegnie w dół, odbija w górę i w punkcie dwie i pięć dziesiątych przebija nad oś $X$ i biegnie do plus nieskończoności. Kiedy funkcja wielomianowa znajduje się nad osią $X$ obszar między pionową osią , a wykresem oznaczony jest plusami, kiedy funkcja wielomianowa znajduje się pod osią $X$, to obszar między nią a wykresem oznaczony jest minusami.

Rozwiązaniem drugiej nierówności wielomianowej, gdzie $x\in D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2;2\right\}$ jest zbiór $\left(-2;0\right.⟩\cup \left(2;2,5\right.⟩$.

Wyznaczamy sumę rozwiązań nierówności:

$\left[\left(-\mathrm{\infty };-2\right)\cup \left.⟨1,6;2\right)\right]\cup \left[\left(-2;0\right.⟩\cup \left(2;2,5\right.⟩\right]=$

$=\left(-\mathrm{\infty };-2\right)\cup \left(-2;0\right.⟩\cup \left.⟨1,6;2\right)\cup \left(2;2,5\right.⟩$.

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)\cup \left(-2;0\right.⟩\cup \left.⟨1,6;2\right)\cup \left(2;2,5\right.⟩$.

Wyznacz dziedzinę nierówności wymiernej.

Rozwiąż nierówność $\frac{2x+4}{\left|x\right|}-\frac{\left|x+2\right|}{x}<x$

w trzech przedziałach: $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$, $\left.⟨-2;0\right)$, $\left(0;+\infty \right)$.

Wyznaczamy dziedzinę $x\in D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Rozwiążmy nierówność $\frac{2x+4}{\left|x\right|}-\frac{\left|x+2\right|}{x}<x$.

w trzech przedziałach: $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$, $\left.⟨-2;0\right)$, $\left(0;+\infty \right)$.

Dla $x\in \left(-\mathrm{\infty };-2\right)$

nierówność ma postać

$\frac{2x+4}{-x}-\frac{-x-2}{x}<x$,

$\frac{-2x-4+x+2}{x}<x$,

$\frac{-x-2}{x}<x$,

$\frac{-x^2-x-2}{x}<0$.

Zapiszmy nierówność w postaci równoważnej nierówności iloczynowej

$x\left(-x^2-x-2\right)<0$.

Wielomian $R\left(x\right)=x\left(-x^2-x-2\right)$ ma jeden pierwiastek jednokrotny: $0$.

Uwzględnaiając dziedzinę $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$ sporządzamy wykres funkcji $R$.

RgdArCxjdF3H1

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji wielomianowej biegnącej w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie nad osią $X$, po czym w niezamalowanym punkcie zero przebija pod oś i biegnie do plus nieskończoności. Kiedy funkcja wielomianowa znajduje się nad osią $X$ obszar między pionową osią , a wykresem oznaczony jest plusami, kiedy funkcja wielomianowa znajduje się pod osią $X$, to obszar między nią a wykresem oznaczony jest minusami.

Rozwiązaniem nierówności wielomianowej jest przedział $\left(0,+\infty \right)$.

Wyznaczamy część wspólną:

$\left(-\mathrm{\infty };-2\right)\cap \left(0;+\mathrm{\infty }\right)=\varnothing$

Zatem dla $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ rozwiązaniem nierówności $\frac{2x+4}{\left|x\right|}-\frac{\left|x+2\right|}{x}<x$ jest $\varnothing$.

Dla $x\in \left.⟨-2;0\right)$

nierówność ma postać

$\frac{2x+4}{-x}-\frac{x+2}{x}<x$ .

Postępując analogicznie jak w poprzednim przedziale rozwiązaniem nierówności $\frac{2x+4}{-x}-\frac{x+2}{x}<x$ jest przedział $\left(0;+\infty \right)$.

Zatem dla $x\in \left.⟨-2;0\right)$ rozwiązaniem nierówności $\frac{2x+4}{\left|x\right|}-\frac{\left|x+2\right|}{x}<x$ jest $\varnothing$.

Dla $x\in \left(0;+\infty \right)$

nierówność ma postać  $\frac{2x+4}{x}-\frac{x+2}{x}<x$.

Postępując analogicznie jak powyżej rozwiązaniem nierówności  $\frac{2x+4}{x}-\frac{x+2}{x}<x$ jest przedział $\left(2;+\infty \right)$.

Zatem dla $x\in \left(0;+\infty \right)$ rozwiązaniem nierówności $\frac{2x+4}{\left|x\right|}-\frac{\left|x+2\right|}{x}<x$ jest przedział $\left(2;+\infty \right)$.

Wyznaczamy sumę:

$\varnothing \cup \varnothing \cup \left(2;+\infty \right)=\left(2;+\infty \right)$.

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest przedział $\left(2;+\infty \right)$.