Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RQE6X29ilNw84

R1VBMQWXnR9xY

Funkcje

f

g

są określone wzorami:

f (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x^{2} - 16}

g (x) = 2

. Która ilustracja przedstawia rozwiązanie nierówności

f (x) \leq g (x)

? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 16 do 8 z podziałką co dwa i pionową osi y od minus 4 do 10 z podziałką co dwa. W układzie zaznaczono dwa wykresy f i g. Wykres f ma kształt hiperboli, której asymptota pionowa ma równanie

x = 4

a asymptota pozioma ma równanie

y = 1

. Wykres g jest poziomą prostą o równaniu

y = 2

. Wykresy przecinają się w punkcie nawias dwanaście średnik dwa zamknięcie nawiasu. Fragmenty wykresu f znajdujące się poniżej wykresu funkcji g zaznaczono kolorem., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 16 do 8 z podziałką co dwa i pionową osi y od minus 4 do 10 z podziałką co dwa. W układzie zaznaczono dwa wykresy f i g. Wykres f ma kształt hiperboli, której asymptota pionowa ma równanie

x = - 4

a asymptota pozioma ma równanie

y = 1

. Na wykresie funkcji f niezamalowaną kropką zaznaczony został punkt nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Wykres g jest poziomą prostą o równaniu

y = 2

. Wykresy przecinają się w punkcie nawias minus dwanaście średnik dwa zamknięcie nawiasu. Fragmenty wykresu f znajdujące się poniżej wykresu funkcji g zaznaczono kolorem., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 16 do 8 z podziałką co dwa i pionową osi y od minus 4 do 10 z podziałką co dwa. W układzie zaznaczono dwa wykresy f i g. Wykres f ma kształt hiperboli, której asymptota pionowa ma równanie

x = 4

a asymptota pozioma ma równanie

y = 1

. Na wykresie funkcji f niezamalowaną kropką zaznaczony został punkt nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Wykres g jest poziomą prostą o równaniu

y = 2

. Wykresy przecinają się w punkcie nawias dwanaście średnik dwa zamknięcie nawiasu. Fragmenty wykresu f znajdujące się poniżej wykresu funkcji g zaznaczono kolorem., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 16 do 8 z podziałką co dwa i pionową osi y od minus 4 do 10 z podziałką co dwa. W układzie zaznaczono dwa wykresy f i g. Wykres f ma kształt hiperboli, której asymptota pionowa ma równanie

x = - 4

a asymptota pozioma ma równanie

y = 1

. Wykres g jest poziomą prostą o równaniu

y = 2

. Wykresy przecinają się w punkcie nawias minus dwanaście średnik dwa zamknięcie nawiasu. Fragmenty wykresu f znajdujące się poniżej wykresu funkcji g zaznaczono kolorem.

Ry0kJkcjVBvWG1

Ćwiczenie 2

Rozwiąż graficznie nierówność $"|"\frac{3}{x} + 6"|" > - "|"5 x + 15"|" + 5$ . Zbiorem rozwiązań nierówność jest zbiór:

$ℝ ∖ "{"- 3; 0"}"$
$ℝ ∖ "{"- 3"}"$
$(- \infty; - 3) \cup (0; + \infty)$
$(- 3; 0)$

Ćwiczenie 3

Dane są funkcje $f$ i $g$ określone wzorem $f (x) = \frac{8}{|x| - 4}$ , $g (x) = |\frac{2}{3} x|$ .

R3d2D8HZ1TFZ2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 16 do 16 z podziałką co dwa i pionową osią y od minus 6 do 10 z podziałką co. W układzie zaznaczono dwa wykresy f oraz g. Wykres f składa się z trzech części i posiada trzy asymptoty. Dwie pionowe, pierwsza o równaniu x=-4 oraz x=4 oraz asymptotę poziomą o równaniu y=0. Pierwsza część zaczyna w drugiej ćwiartce tuż nad poziomą asymptotą i wychodzi poza płaszczyznę również w drugiej ćwiartce po lewej stronie asymptoty y=-4. Druga część wykresu pojawia się w trzeciej ćwiartce układu z prawej strony asymptoty y=-4 i biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie wzdłuż lewej strony asymptoty y=4 i wychodzi poza płaszczyznę w czwartej ćwiartce układu. Trzecie część pojawia się na płaszczyźnie w pierwszej ćwiartce układu z prawej strony asymptoty y=4 i wychodzi poza płaszczyznę układu w tej samej ćwiartce tuż nad poziomą asymptotą. Wykres g ma kształt litery V o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu. Punkty wspólne dwóch wykresów mają współrzędne: nawias minus sześć średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik cztery zamknięcie nawiasu.

R17f1H4KuMj9I

Rozwiązaniem graficznym nierówności $\frac{8}{"|"x"|" - 4} < "|"\frac{2}{3} x"|"$ jest przedział $(- 4; 4)$ .
Rozwiązaniem graficznym nierówności $\frac{8}{"|"x"|" - 4} \geq "|"\frac{2}{3} x"|"$ jest zbiór $"⟨"- 6; - 4) \cup (4; 6"⟩"$ .
Rozwiązaniem graficznym nierówności $\frac{8}{"|"x"|" - 4} \leq "|"\frac{2}{3} x"|"$ jest zbiór $(- \infty; - 6"⟩" \cup (- 4; 4) \cup "⟨"6; + \infty)$ .

RELTNUVQRSQwx2

Ćwiczenie 4

Dane są funkcje $f$ i $g$ takie, że $f (x) = \frac{4}{x + 1}$ oraz $g (x) = \frac{- x}{x - 6}$ . Rozwiązaniem graficznym nierówności $f (x) \leq g (x)$ jest zbiór

$"⟨"- 8; - 1) \cup "⟨"3; 6)$
$(- \infty; - 8"⟩" \cup (- 1; 3"⟩" \cup (6 : + \infty)$
$(- \infty; - 8) \cup (- 1; 3) \cup (6 : + \infty)$
$(- 8; - 1) \cup (3; 6)$

Ćwiczenie 5

W układzie współrzędnych przedstawiono wykresy funkcji $f (x) = |\frac{3 x + 6}{2 x + 2}| - 1$ i $g (x) = \frac{- 3}{|x - 1|}$ .

RIrB9piJ3PGEd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 8 i pionową osią y od minus 5 do sześć. W układzie zaznaczono dwa wykresy f oraz g. Wykres f ma pionową asymptotę o równaniu x=-1 oraz poziomą asymptotę o równaniu y=0. Wykres pojawia się w drugiej ćwiartce układu tuż nad osią x, następnie biegnie po łuku przez punkt nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu nawias minus dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, następnie biegnie niemal poziomo wzdłuż pionowej asymptoty i wychodzi poza układ współrzędnych w drugiej ćwiartce układu. Drugi fragment wykresu pojawia się po prawej stronie pionowej asymptoty, przecina oś y w punkcie nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce ponad osią x. Wykres g również ma dwie asymptoty, pionową o równaniu x=1 i poziomą o równaniu y=0. Wykres pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce tuż pod osią x i biegnie po łuku przez punkty nawias minus dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu aż wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce tuż przy pionowej asymptocie. Drugi fragment wykresu pojawia się z prawej strony pionowej asymptoty i biegnie po łuku wychodząc poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce tuż pod osią x. Wykresy mają punkt wspólny o współrzędnych nawias minus dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

R18EmlsA7BkgO

Uzupełnij luki w poniższym rozwiązaniu, przeciągając poprawne odpowiedzi.

Zapiszmy funkcję $f$ następująco: $f (x) = |\frac{3 x + 6}{2 x + 2}| - 1 = |\frac{\frac{3}{2} (2 x + 2) + 3}{2 x + 2}| - 1 = |\frac{3}{2 x + 2} + \frac{3}{2}| - 1$ .
Aby naszkicować wykres funkcji $f (x) = |\frac{3 x + 6}{2 x + 2}| - 1$ należy wykonać kolejne przekształcenia wykresu funkcji:
$f_{1} (x) = \frac{3}{2 x}, \vec{u} =$ [1. $0$ , 2. tożsamościową, 3. $1$ , 4. $- 1$ , 5. $- 1$ , 6. sprzeczną, 7. $1$ , 8. $0$ , 9. $1$ , 10. $- 1$ , 11. $0$ ; $\frac{3}{2}$ ],
$f_{2} (x) = \frac{3}{2 (x + 1)} + \frac{3}{2} \overset{|f_{2} (x)|}{\to} f_{3} (x) = |\frac{3}{2 (x + 1)} + \frac{3}{2}|$ ,
$\vec{v} =$ [1. $0$ , 2. tożsamościową, 3. $1$ , 4. $- 1$ , 5. $- 1$ , 6. sprzeczną, 7. $1$ , 8. $0$ , 9. $1$ , 10. $- 1$ , 11. $0$ ;1. $0$ , 2. tożsamościową, 3. $1$ , 4. $- 1$ , 5. $- 1$ , 6. sprzeczną, 7. $1$ , 8. $0$ , 9. $1$ , 10. $- 1$ , 11. $0$ ] $f (x) = |\frac{3}{2 x + 2} + \frac{3}{2}| - 1$
Aby naszkicować wykres funkcji $g (x) = \frac{- 3}{|x - 1|}$ należy wykonać kolejne przekształcenia wykresu funkcji:
$g_{1} (x) = \frac{- 3}{x} \overset{|x|}{\to} g_{2} (x) = \frac{- 3}{|x|}$ ,
$\vec{w} =$ [1. $0$ , 2. tożsamościową, 3. $1$ , 4. $- 1$ , 5. $- 1$ , 6. sprzeczną, 7. $1$ , 8. $0$ , 9. $1$ , 10. $- 1$ , 11. $0$ ;1. $0$ , 2. tożsamościową, 3. $1$ , 4. $- 1$ , 5. $- 1$ , 6. sprzeczną, 7. $1$ , 8. $0$ , 9. $1$ , 10. $- 1$ , 11. $0$ ], $g (x) = \frac{- 3}{|x - 1|}$ .
Rozwiązaniem nierówności $f (x) \geq g (x)$ jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby 1. $0$ , 2. tożsamościową, 3. $1$ , 4. $- 1$ , 5. $- 1$ , 6. sprzeczną, 7. $1$ , 8. $0$ , 9. $1$ , 10. $- 1$ , 11. $0$ ; 1. $0$ , 2. tożsamościową, 3. $1$ , 4. $- 1$ , 5. $- 1$ , 6. sprzeczną, 7. $1$ , 8. $0$ , 9. $1$ , 10. $- 1$ , 11. $0$ , czyli dana nierówności jest nierównością 1. $0$ , 2. tożsamościową, 3. $1$ , 4. $- 1$ , 5. $- 1$ , 6. sprzeczną, 7. $1$ , 8. $0$ , 9. $1$ , 10. $- 1$ , 11. $0$ .

sprzeczną, $- 1$ , $0$ , $1$ , $0$ , $- 1$ , $1$ , $- 1$ , $1$ , tożsamościową, $0$

Zapiszmy funkcję $f$ następująco: $f (x) = "|"\frac{3 x + 6}{2 x + 2}"|" - 1 = "|"\frac{\frac{3}{2} (2 x + 2) + 3}{2 x + 2}"|" - 1 = "|"\frac{3}{2 x + 2} + \frac{3}{2}"|" - 1$ .

Aby naszkicować wykres funkcji $f (x) = "|"\frac{3 x + 6}{2 x + 2}"|" - 1$ należy wykonać kolejne przekształcenia wykresu funkcji:
$f_{1} (x) = \frac{3}{2 x}, \vec{u} =$ [................................; $\frac{3}{2}$ ],
$f_{2} (x) = \frac{3}{2 (x + 1)} + \frac{3}{2} \overset{"|"f_{2} (x)"|"}{\to} f_{3} (x) = "|"\frac{3}{2 (x + 1)} + \frac{3}{2}"|"$ ,
$\vec{v} =$ [................................;................................] $f (x) = "|"\frac{3}{2 x + 2} + \frac{3}{2}"|" - 1$

Aby naszkicować wykres funkcji $g (x) = \frac{- 3}{"|"x - 1"|"}$ należy wykonać kolejne przekształcenia wykresu funkcji:
$g_{1} (x) = \frac{- 3}{x} \overset{"|"x"|"}{\to} g_{2} (x) = \frac{- 3}{"|"x"|"}$ ,
$\vec{w} =$ [................................;................................], $g (x) = \frac{- 3}{"|"x - 1"|"}$ .

Rozwiązaniem nierówności $f (x) \geq g (x)$ jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby ................................; ................................, czyli dana nierówności jest nierównością .................................

Ćwiczenie 6

W jednym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji $f$ i $g$ określonych wzorem $f (x) = \frac{4 x + 2}{x}$ i $g (x) = - \frac{6}{x}$ . Podaj rozwiązanie nierówności $f (x) \geq g (x)$ .

Wykres funkcji $f$ i $g$ przedstawmy w jednym układzie współrzędnych.

REA4DnVjTE5Qs

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 8 i pionową osią y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono dwa wykresy f oraz g. Wykres f ma pionową asymptotę o równaniu x=0 oraz poziomą asymptotę o równaniu y=4. Wykres pojawia się w drugiej ćwiartce układu tuż pod poziomą asymptotą, następnie biegnie po łuku przez punkt nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu następnie wychodzi poza układ współrzędnych w drugiej trzeciej ćwiartce układu. Drugi fragment wykresu pojawia się po prawej stronie pionowej asymptoty i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce nad poziomą asymptotą. Wykres g również ma dwie asymptoty są nimi osie układu współrzędnych. Wykres pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce tuż nad osią x i biegnie po łuku przez punkty nawias minus trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu aż wychodzi poza płaszczyznę układu w drugiej ćwiartce tuż przy pionowej asymptocie. Drugi fragment wykresu pojawia się z prawej strony pionowej asymptoty i biegnie po łuku przez punkty nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, wychodząc poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce tuż pod osią x. Wykresy mają punkt wspólny o współrzędnych nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu.

Rozwiążmy graficznie nierówności $f (x) \geq g (x)$ .

R1FPNi1pu5wjj

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności $f (x) \geq g (x)$ jest zbiór $(- \infty; - 2⟩ \cup (0 : + \infty)$ .

Ćwiczenie 7

Uzasadnij, że nierówność $|10 - 2 x| < \frac{12}{x}$ ma trzy rozwiązania naturalne $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ takie, że jedno z nich jest sumą dwóch pozostałych.

Sporządź wykres funkcji $f (x) = |10 - 2 x|$ oraz $g (x) = \frac{12}{x}$ .

Sporządzamy wykres funkcji $f (x) = |10 - 2 x|$ oraz $g (x) = \frac{12}{x}$ .

R4F2bJfICbtPA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 10 i pionową osią y od minus 4 do osiem. W układzie zaznaczono dwa wykresy f oraz g. Wykres f ma kształt litery V o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu. Lewe ramię przechodzi przez punkt nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu, prawe ramię przechodzi przez punkt nawias siedem średnik cztery zamknięcie nawiasu. Wykres g ma dwie asymptoty są nimi osie układu współrzędnych. Wykres pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce pod osią x i biegnie po łuku przez punkty nawias minus cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, nawias minus trzy średnik minus cztery zamknięcie nawiasu aż wychodzi poza płaszczyznę układu w trzeciej ćwiartce. Drugi fragment wykresu pojawia się z prawej strony pionowej asymptoty i biegnie po łuku przez punkty nawias dwa średnik sześć zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik dwa zamknięcie nawiasu, wychodząc poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce tuż pod osią x. Wykresy mają punkty wspólne o współrzędnych nawias minus dwa średnik sześć zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Odczytajmy z wykresu funkcji rozwiązanie nierówności $f (x) < g (x)$ .

R19GEulKdNNT7

Rozwiązaniem nierówności $|10 - 2 x| < \frac{12}{x}$ jest zbiór $(0; 2) \cup (3; 6)$ .

Trzy rozwiązania naturalne to: $1$ , $4$ oraz $5$ .

Liczba $5$ jest sumą liczb $1$ , $4$ .

c.k.d.

Ćwiczenie 8

Niech $g (x) = - \frac{8}{x}$ . Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $g (x) < m$ jest przedział $(0; 1 \frac{1}{4})$ . Odczytaj $m$ .

Wyznacz $f (1 \frac{1}{4})$ .

Sporządźmy wykres funkcji $g (x) = - \frac{8}{x}$ oraz rozwiązanie nierówności $g (x) < m$ , czyli $x \in (0; 1 \frac{1}{4})$ .

RZnIUlBuGUYhb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 8 i pionową osią y od minus 7 do sześć. W układzie zaznaczono wykres g. Wykres g ma dwie asymptoty są nimi osie układu współrzędnych. Wykres pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce nad osią x i biegnie po łuku przez punkty nawias minus cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias minus dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu aż wychodzi poza płaszczyznę układu w drugiej ćwiartce. Drugi fragment wykresu pojawia się z prawej strony pionowej asymptoty i biegnie po łuku przez punkty nawias dwa średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce tuż pod osią x. W układzie zaznaczono również obszar znajdujący się pomiędzy pionowymi prostymi narysowanymi liniami przerywanymi o równaniach: x=0 oraz x=1.

Obliczamy $f (1 \frac{1}{4})$ .

$f (1 \frac{1}{4}) = - \frac{8}{1 \frac{1}{4}} = - \frac{8}{\frac{5}{4}} = - 8 \cdot \frac{4}{5} = - \frac{32}{5} = - 6 \frac{2}{5}$

Wartość parametru m wynosi $- 6 \frac{2}{5}$ .

Animacja

Dla nauczyciela