Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1TAxCMj9TdvL1

Ćwiczenie 1

Wyznacz odległość między prostymi. Wpisz prawidłową liczbę.
Wpisujemy jako cyfra nie słownie.

Równania prostych $k$ i $m$	Odległość między prostymi $k$ i $m$
$\begin{array}{c} k : x - y + 5 \sqrt{2} = 0 \\ m : x - y - \sqrt{2} = 0 \end{array}$
$\begin{array}{c} k : x + 2 y + \sqrt{5} = 0 \\ m : x + 2 y - \sqrt{5} = 0 \end{array}$
$\begin{array}{c} k : 3 x - y + 4 \sqrt{10} = 0 \\ m : 3 x - y - 3 \sqrt{10} = 0 \end{array}$
$\begin{array}{c} k : 2 x - 3 y + 2 \sqrt{13} = 0 \\ m : 2 x - 3 y - 2 \sqrt{13} = 0 \end{array}$
$\begin{array}{c} k : 3 x - 4 y + 12 = 0 \\ m : 3 x - 4 y - 3 = 0 \end{array}$

Rbw4X5QxXwSpY1

Ćwiczenie 2

Wyznacz odległość między prostymi $k$ i $m$ . Przeciągnij i upuść.

$\begin{array}{c} k : x - y + 5 = 0 \\ m : x - y - 1 = 0 \end{array}$ , $\begin{array}{c} k : x + 2 y = 0 \\ m : x + 2 y - 4 = 0 \end{array}$ , $\begin{array}{c} k : 3 x - y + 7 = 0 \\ m : 3 x - y - 3 = 0 \end{array}$ , $\begin{array}{c} k : 2 x - 3 y + 2 = 0 \\ m : 2 x - 3 y - 2 = 0 \end{array}$ , $\begin{array}{c} k : 3 x - 4 y + 4 = 0 \\ m : 3 x - 4 y - 3 = 0 \end{array}$

Równania prostych $k$ i $m$	Odległość między prostymi $k$ i $m$
$\begin{array}{c} k : x - y + 5 = 0 \\ m : x - y - 1 = 0 \end{array}$
$\begin{array}{c} k : x + 2 y = 0 \\ m : x + 2 y - 4 = 0 \end{array}$
$\begin{array}{c} k : 3 x - y + 7 = 0 \\ m : 3 x - y - 3 = 0 \end{array}$
$\begin{array}{c} k : 2 x - 3 y + 2 = 0 \\ m : 2 x - 3 y - 2 = 0 \end{array}$
$\begin{array}{c} k : 3 x - 4 y + 4 = 0 \\ m : 3 x - 4 y - 3 = 0 \end{array}$

R1eUR0dGq7v5S2

Ćwiczenie 3

Liczba znajdująca się w pierwszej kolumnie oznacza odległość między prostymi $k$ i $m$ .
Przeciągnij i upuść równania prostych odległych od siebie nawzajem o daną liczbę.

$\frac{6}{\sqrt{13}}$ , $\frac{4}{\sqrt{13}}$ , $\frac{2}{\sqrt{13}}$ , $\frac{10}{\sqrt{13}}$ , $\frac{8}{\sqrt{13}}$

Odległość między prostymi $k$ i $m$	Równania prostych $k$ i $m$
$\frac{6}{\sqrt{13}}$
$\frac{4}{\sqrt{13}}$
$\frac{2}{\sqrt{13}}$
$\frac{10}{\sqrt{13}}$
$\frac{8}{\sqrt{13}}$

Ćwiczenie 4

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

RyCO7f1ixPQTc

Odległość między prostymi $k : 2 x - 5 y + 3 = 0$ i $m : 2 x - 5 y + 10 = 0$ jest równa

$7 \sqrt{29}$
$\frac{7}{\sqrt{29}}$
$\frac{7 \sqrt{29}}{29}$

R1XlegZfoLBuI

Odległość między prostymi $k : 2 x - 3 y - 4 = 0$ i $m : 2 x - 3 y + 9 = 0$ jest równa

$\frac{13}{\sqrt{13}}$
$\frac{\sqrt{13}}{13}$
$\sqrt{13}$

R1MnmKoYv6Mus

Odległość między prostymi $k : 2 x + y + 3 = 0$ i $m : 4 x + 2 y - 4 = 0$ jest równa

$\sqrt{5}$
$\frac{5}{\sqrt{5}}$
$\frac{\sqrt{5}}{5}$

RJMcr28bQmJ0Z

Odległość między prostymi $k : 3 x + 4 y + 3 = 0$ i $m : 9 x + 12 y + 18 = 0$ jest równa

$\frac{3}{5}$
$\frac{5}{3}$
$1 \frac{2}{3}$

Ćwiczenie 5

Wyznacz równania prostych, które leżą w odległości $5$ od prostej $k$ o równaniu $3 x - 4 y + 7 = 0$ .

Zastanów się, jakie współczynniki przy zmiennych $x$ i $y$ mają równania szukanych prostych.

Ponieważ szukane proste są równoległe do prostej $k$ , więc ich równania mają postać $3 x - 4 y + D = 0$ .

Korzystając ze wzoru na odległość między prostymi równoległymi otrzymujemy równanie: $\frac{|D - 7|}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}} = 5$ , które można przekształcić do postaci $|D - 7| = 25$ .

Wynika stąd, że $D = 32$ lub $D = - 18$ .

Zatem równania szukanych prostych to $3 x - 4 y + 32 = 0$ oraz $3 x - 4 y - 18$ .

Ćwiczenie 6

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

R16HuS0gB8Nqy

Odległość między prostymi $k : 4 x + 3 y - 10 = 0$ oraz $l : 4 x + 3 y + m = 0$ jest równa $10$ dla $m$ równego

$20$
$40$
$- 60$

RnhuXM3Sv48TO

Odległość między prostymi $k : 4 x - 3 y - 10 = 0$ oraz $l : 8 x - 6 y + m = 0$ jest równa $4$ dla $m$ równego

$20$
$- 12$
$- 28$

R1XaynRufOIef

Odległość między prostymi $k : 5 x + 12 y - 10 = 0$ oraz $l : 5 x + 12 y + m = 0$ jest równa $1$ dla $m$ równego

$3$
$- 11$
$- 23$

RDMaD1AXlELmO

Odległość między prostymi $k : 8 x + 15 y - 10 = 0$ oraz $l : 24 x + 45 y + m = 0$ jest równa $2$ dla $m$ równego

$132$
$72$
$- 132$

Ćwiczenie 7

Wyznacz pole sześciokąta ograniczonego przez proste $k : 2 x - 3 y + 19 = 0$ , $l : 2 x - 3 y - 8 = 0$ , $m : x + 3 y - 22 = 0$ , $n : x + 3 y + 5 = 0$ , $p : 5 x - 3 y + 25 = 0$ , $r : 5 x - 3 y - 20 = 0$ .

Wyznaczymy współrzędne wierzchołków sześciokąta rozwiązując odpowiednie układy zbudowane z równań prostych.

Niech $A$ będzie punktem wspólnym prostych $k$ i $m$ – jego współrzędne są równe $(1, 7)$ .

Niech $B$ będzie punktem wspólnym prostych $m$ i $r$ – jego współrzędne to $(7, 5)$ .

Niech $C$ będzie punktem wspólnym prostych $r$ i $l$ – jego współrzędne to $(4, 0)$ .

Niech $D$ będzie punktem wspólnym prostych $l$ i $n$ – jego współrzędne to $(1, - 2)$ .

Niech $E$ będzie punktem wspólnym prostych $n$ i $p$ – jego współrzędne to $(- 5, 0)$ .

Niech $F$ będzie punktem wspólnym prostych $p$ i $k$ – jego współrzędne to $(- 2, 5)$ .

Ponadto niech $G$ będzie punktem wspólnym prostych $k$ i $n$ – ma współrzędne $(- 8, 1)$ , zaś

$H$ niech będzie punktem wspólnym prostych $n$ i $r$ – ma współrzędne $(2, 5; - 2, 5)$ .

Aby obliczyć pole sześciokąta $A B C D E F$ , obliczymy pole trapezu $A B H G$ i odejmiemy pola trójkątów $D H C$ i $G E F$ :

P_{A B H G} = \frac{1}{2} (|A B| + |H G|) \cdot d (m, n)

|A B| = \sqrt{{(7 - 1)}^{2} + {(5 - 7)}^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}

|H G| = \sqrt{{(- 8 - 2, 5)}^{2} + {(1 - (- 2, 5))}^{2}} = \sqrt{110, 25 + 12, 25} =

= \sqrt{122, 5} = 3, 5 \sqrt{10}

d (m, n) = \frac{|- 22 - 5|}{\sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{27}{\sqrt{10}} = 2, 7 \sqrt{10}

P_{A B H G} = \frac{1}{2} (|A B| + |H G|) \cdot d (m, n) =

= \frac{1}{2} (2 \sqrt{10} + 3, 5 \sqrt{10}) \cdot 2, 7 \sqrt{10} = 74, 25

P_{D H C} = \frac{1}{2} |H D| \cdot d (C, n) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(1 - 2, 5)}^{2} + {(- 2 - (- 2, 5))}^{2}} \cdot \frac{|4 + 3 \cdot 0 - 5|}{\sqrt{1^{2} + 3^{2}}} =

= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2, 5} \cdot \frac{9}{\sqrt{10}} = 2, 25

P_{G E F} = \frac{1}{2} |E G| \cdot d (F, n) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(- 8 - (- 5))}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} \cdot \frac{|- 2 + 3 \cdot 5 + 5|}{\sqrt{1^{2} + 3^{2}}} =

= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{18}{\sqrt{10}} = 9

Zatem pole sześciokąta $A B C D E F$ jest równe

P_{A B C D E F} = P_{A B H G} - P_{D H C} - P_{G E F} = 74, 25 - 2, 25 - 9 = 63

Ćwiczenie 8

Dane są punkty $A = (1, 5)$ i $B = (3, 1)$ . Wyznacz równanie prostej $k$ przechodzącej przez punkt $A$ oraz równanie prostej m przechodzącej przez punkt $B$ , aby proste $k$ i $m$ były równoległe i oddalone od siebie o $3$ .

Gdyby szukane proste były równoległe do osi $Y$ , odległość między nimi byłaby równa $2$ .

Zatem szukane proste nie są równoległe do osi $Y$ . Stąd możemy skorzystać z równania kierunkowego, proste są opisane równaniami postaci $k : y = a x + b$ i $m : y = a x + d$ .

Po podstawieniu współrzędnych punktów $A$ i $B$ do równań prostych $k$ i $m$ otrzymujemy równości $5 = a + b$ i $1 = 3 a + d$ , z których wynika, że $b = 5 - a$ i $d = 1 - 3 a$ .

Stąd równania prostych $k$ i $m$ są postaci $a x - y + 5 - a = 0$ oraz $a x - y + 1 - 3 a = 0$ .

Ze wzoru na odległość między prostymi wynika równanie $\frac{|1 - 3 a - (5 - a)|}{\sqrt{a^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 3$ , które możemy przekształcić do równoważnej postaci

|- 4 - 2 a| = 3 \sqrt{a^{2} + 1}

Ponieważ obie strony ostatniego równania są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne

{|- 4 - 2 a|}^{2} = 9 \cdot (a^{2} + 1)

Wykonując kolejne przekształcenia otrzymujemy:

16 + 16 a + 4 a^{2} = 9 a^{2} + 9

5 a^{2} - 16 a - 7 = 0

Δ = {(- 16)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 7) = 396 = {(6 \sqrt{11})}^{2}

a_{1} = \frac{16 + 6 \sqrt{11}}{10} = \frac{8 + 3 \sqrt{11}}{5}

a_{2} = \frac{16 - 6 \sqrt{11}}{10} = \frac{8 - 3 \sqrt{11}}{5}

Zatem równania prostych to

k : \frac{8 + 3 \sqrt{11}}{5} x - y + 5 - \frac{8 + 3 \sqrt{11}}{5} = 0 \Leftrightarrow (8 + 3 \sqrt{11}) x - 5 y + 17 - 3 \sqrt{11} = 0

m : \frac{8 + 3 \sqrt{11}}{5} x - y + 1 - 3 \cdot \frac{8 + 3 \sqrt{11}}{5} = 0 \Leftrightarrow (8 + 3 \sqrt{11}) x - 5 y - 19 - 9 \sqrt{11} = 0

lub

k : \frac{8 - 3 \sqrt{11}}{5} x - y + 5 - \frac{8 - 3 \sqrt{11}}{5} = 0 \Leftrightarrow (8 - 3 \sqrt{11}) x - 5 y + 17 + 3 \sqrt{11} = 0

m : \frac{8 - 3 \sqrt{11}}{5} x - y + 1 - 3 \cdot \frac{8 - 3 \sqrt{11}}{5} = 0 \Leftrightarrow (8 - 3 \sqrt{11}) x - 5 y - 19 + 9 \sqrt{11} = 0

Aplet

Dla nauczyciela