Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RkdIFnuOimWB1

Iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem $f (x) = 3 x - 2$ , dla $x_{0} \in ℝ$ oraz $h \neq 0$ , jest równy:

Ćwiczenie 2

RJDFwUvE5s0eo

Połącz w pary wzór funkcji z odpowiadającą jej wartością ilorazu różnicowego w punkcie

x_{0} = 2

h = 1

. element 1 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 2 prawy, 2. element 3 prawy, 3. element 4 prawy, 4. element 1 prawy element 2 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 2 prawy, 2. element 3 prawy, 3. element 4 prawy, 4. element 1 prawy element 3 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 2 prawy, 2. element 3 prawy, 3. element 4 prawy, 4. element 1 prawy element 4 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 2 prawy, 2. element 3 prawy, 3. element 4 prawy, 4. element 1 prawy

Połącz w pary wzór funkcji z odpowiadającą jej wartością ilorazu różnicowego w punkcie $x_{0} = 2$ i $h = 1$ .

$f (x) = 4 x - 1$
$f (x) = x^{2} - 1$
$f (x) = x^{3}$
$f (x) = \frac{1}{x}$

Ćwiczenie 3

R1CgNQhY5h6c2

Wiadomo, że $x_{0} \in ℝ$ oraz $h \neq 0$ . Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem $f (x) = \sqrt{x} - 2$ jest równy $\frac{\sqrt{x_{0} + h} - \sqrt{x_{0}}}{h}$ .
Iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem $f (x) = x^{2} + 1$ jest równy $2 x_{0} + h^{2}$ .
Iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem $f (x) = \sqrt{2} x + 2$ jest równy $\sqrt{2} h$ .
Iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ jest równy $\frac{- \sqrt{3} h}{(x_{0} + h) \cdot x_{0}}$ .

Ćwiczenie 4

R1Tq58alYdZQs

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami.

Dana jest funkcja określona wzorem $f (x) = x^{3} - 3 x$ . Wpisz wartości ilorazu różnicowego tej funkcji dla:
$x_{0} = - 3$ i $h = 2$ : ............
$x_{0} = - 1$ i $h = 3$ : ............
$x_{0} = 1$ i $h = 4$ : ............

Ćwiczenie 5

RSfkOEBiyR5hG

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$\frac{369}{8}$ , $5$ , $- 120$

Dana jest funkcja określona wzorem $f (x) = x^{4}$ . Wartość ilorazu różnicowego tej funkcji:
- dla $x_{0} = 2$ i $h = \frac{1}{2}$ wynosi ............
- dla $x_{0} = - 2$ i $h = - 2$ wynosi ............
- dla $x_{0} = - 1$ i $h = 3$ wynosi ............

Ćwiczenie 6

R1WbevgmWaHCr

Zaznacz zdanie, które jest prawdziwe.

Jeżeli funkcja jest określona wzorem $f (x) = x + b$ , gdzie $b \in ℝ$ , to wartość ilorazu różnicowego nie zależy od wartości parametru $b$ .
Jeżeli funkcja jest określona wzorem $f (x) = a x^{3} + 1$ , gdzie $a \in ℝ$ , to wartość ilorazu różnicowego nie zależy od wartości parametru $a$ .
Jeżeli funkcja jest określona wzorem $f (x) = \frac{a}{\sqrt{x}}$ , to wartość ilorazu różnicowego dla $x_{0} \in ℝ$ oraz $h = 1$ wynosi $\frac{a}{\sqrt{(x + 1) \cdot x}}$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem $f (x) = 2 x^{3} - 1$ dla $x_{0} = - 1$ i $h = 3$ .

Po podstawieniu do wzoru na iloraz różnicowy funkcji otrzymujemy:

$\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \frac{2 \cdot {(x_{0} + h)}^{3} - 1 - (2 {x_{0}}^{3} - 1)}{h} =$

$= \frac{2 \cdot ({x_{0}}^{3} + 3 {x_{0}}^{2} \cdot h + 3 x_{0} \cdot h^{2} + h^{3}) - 1 - 2 {x_{0}}^{3} + 1}{h} =$

$= \frac{2 {x_{0}}^{3} + 6 {x_{0}}^{2} \cdot h + 6 x_{0} \cdot h^{2} + 2 h^{3} - 2 {x_{0}}^{3}}{h} = 6 {x_{0}}^{2} + 6 x_{0} \cdot h + 2 h^{2}$ .

Dla $x_{0} = - 1$ i $h = 3$ mamy:

$6 \cdot {(- 1)}^{2} + 6 \cdot (- 1) \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} = 6 - 18 + 18 = 6$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz wartość parametru $a$ , jeżeli wiadomo, że iloraz różnicowy funkcji określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + 3$ dla $x_{0} = - 2$ oraz $h = 2$ , jest równy $4$ .

Wyznaczmy iloraz różnicowy funkcji $f$ :

$\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \frac{a \cdot {(x_{0} + h)}^{2} + 3 - a \cdot {x_{0}}^{2} - 3}{h} =$

$= \frac{a \cdot ({x_{0}}^{2} + 2 \cdot x_{0} \cdot h + h^{2}) + 3 - a \cdot {x_{0}}^{2} - 3}{h} =$

$= \frac{a \cdot {x_{0}}^{2} + 2 a x_{0} h + a h^{2} - a {x_{0}}^{2}}{h} = 2 a x_{0} + a h$ .

Ponieważ iloraz różnicowy tej funkcji dla $x_{0} = - 2$ oraz $h = 2$ jest równy $4$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$2 \cdot a \cdot (- 2) + a \cdot 2 = 4$ ,

wobec tego $- 2 a = 4$ , czyli $a = - 2$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela