Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RP2dz8g5M2gul11

RfrWCunDrjmPF

Ćwiczenie 2

Wybierz odcinek, którego długość jest równa odległości punktu $K$ od prostej. Wskaż poprawną odpowiedź.

RwSuMvb776of9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczony jest punkt K o współrzędnych 4 2 oraz pionowa prosta zadana wzorem x równa się minus 1. Na prostej zaznaczone są trzy punkty: A o współrzędnych minus 1 3, C o współrzędnych minus 1 2 oraz B o współrzędnych minus 1 minus 1. Z punktu K poprowadzone są odcinki do punktów A, B oraz C.

R1VJ81qTAaqUl

Odcinek, którego długość jest równa odległości punktu $K$ od prostej $A B$ to:

$A K$
$C K$
$B K$

RVwuATCZXvRoY

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 1 do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech . Na płaszczyźnie zaznaczony jest punkt K o współrzędnych 8 2 oraz pozioma prosta zadana wzorem y równa się minus 1. Na prostej zaznaczone są trzy punkty: A o współrzędnych minus 1 minus 1, B o współrzędnych 5 minus 1 oraz C o współrzędnych 8 minus 1. Z punktu K poprowadzone są odcinki do punktów A, B oraz C.

R7aWUAoZexIoy

Odcinek, którego długość jest równa odległości punktu $K$ od prostej $A C$ to:

$A K$
$B K$
$C K$

RsysauKx2Cuik

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus 1 do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczony jest punkt K o współrzędnych 5 5 oraz ukośna prosta zadana wzorem y równa się minus x plus 4. Na prostej zaznaczone są trzy punkty: B o współrzędnych 5 minus 1, A o współrzędnych 2 2 oraz C o współrzędnych minus 1 5. Z punktu K poprowadzone są odcinki do punktów A, B oraz C.

RpyOOC2bMkzE7

Odcinek, którego długość jest równa odległości punktu $K$ od prostej $A B$ to:

$B K$
$C K$
$A K$

R1LkYkTW9kWQX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do dziesięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczony jest punkt K o współrzędnych 6 6 oraz ukośna prosta zadana wzorem y równa się minus 2 x plus 8, a jej punkty przecięcia z obiema osiami to 4 0 oraz 0 8. Na prostej zaznaczone są trzy punkty: B o współrzędnych 6 minus 4, C o współrzędnych 2 4 oraz A o współrzędnych minus 1 6. Z punktu K poprowadzone są odcinki do punktów A, B oraz C.

RlTfcH5enXlUv

Odcinek, którego długość jest równa odległości punktu $K$ od prostej $A B$ to:

$C K$
$A K$
$B K$

Ćwiczenie 3

RjDD3ESEQj8K31

Dla podanych prostych określ ich odległość od punktu $P (2; - 1)$ .

RVPOX66knZq7Q

R14nsP0V8n2yf

R15nOsVMjpCZJ

RLKxU9njNr8L8

Ćwiczenie 4

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A = (- 2, 6)$ , $B = (3, 1)$ , $C = (0, - 5)$ . Oblicz odległości wierzchołków tego trójkąta od prostych zawierających przeciwległe do nich boki.

Korzystając ze wzoru

$P_{∆ A B C} = \frac{1}{2} \cdot |(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A})|$

możemy obliczyć pole trójkąta $A B C$ :

$P_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot |(3 - (- 2)) (- 5 - 6) - (1 - 6) (0 - (- 2))| = 22,5$

Wyznaczmy długości boków trójkąta $A B C$ :

|A B| = \sqrt{{(3 - (- 2))}^{2} + {(1 - 6)}^{2}} = \sqrt{25 + 25} = 5 \sqrt{2}

|B C| = \sqrt{{(0 - 3)}^{2} + (- 5 - 1^{2})} = \sqrt{9 + 36} = 3 \sqrt{5}

|A C| = \sqrt{{(0 - (- 2))}^{2} + {(- 5 - 6)}^{2}} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5}

Pole trójkąta $A B C$ możemy obliczyć jako połowa iloczynu wysokości oraz długości boku, na który ta wysokość została opuszczona. Stąd równania:

\frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot h_{C} = 22,5

\frac{1}{2} \cdot |B C| \cdot h_{A} = 22,5

\frac{1}{2} \cdot |A C| \cdot h_{B} = 22,5

Podstawiając wyznaczone wczesniej długości boków otrzymujemy:

\frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{2} \cdot h_{C} = 22,5

\frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{5} \cdot h_{A} = 22,5

\frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{5} \cdot h_{B} = 22,5

Zatem $h_{C} = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$ , $h_{A} = 3 \sqrt{5}$ , $h_{B} = \frac{9 \sqrt{5}}{5}$ .

Wynika stąd, że odległość punktu $A$ od prostej $B C$ jest równa $h_{A} = 3 \sqrt{5}$ , odległość punktu $B$ od prostej $A C$ jest równa $h_{B} = \frac{9 \sqrt{5}}{5}$ , zas odległość punktu $C$ od prostej $A B$ wynosi $h_{C} = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$ .

R70DDZwzayjYV2

Ćwiczenie 5

RtbXKFOBSfk3U21

Ćwiczenie 6

Mając prostą

x = 3

, opisz następujące zbiory: a) Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od ustalonej prostej o

1

jednostkę.; b) Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od ustalonej prostej o co najmniej

1

jednostkę.; c) Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od ustalonej prostej o co najwyżej

1

jednostkę.; d) Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od ustalonej prostej o mniej niż

1

jednostkę.; e) Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od ustalonej prostej o więcej niż

1

jednostkę.

RmgpvqWOLZAqE31

Ćwiczenie 7

R1ZGICwvB4CO431

Ćwiczenie 8

Aplet

Dla nauczyciela