Ponieważ wszystkie trzy proste wymienione w zadaniu przecinają się w jednym punkcie, więc możemy wyznaczyć współrzędne tego punktu rozwiązując układ równań

z którego wynika równanie $x+1=-2x+7$.

Można je rozwiązać następująco

Zatem

Czyli proste przecinają się w punkcie $S$ o współrzędnych $\left(2,3\right)$. Ponieważ prosta o równaniu $y=4bx-2b$ również przez ten punkt przechodzi, więc współrzędne punktu $S$ spełniają równanie tej prostej, z czego wynika równanie

Ponieważ punkt $B$ leży na osi $X$, jego współrzędne są równe $\left(b,0\right)$. Możemy je teraz podstawić do równania prostej $k:0=-2b+10$, czyli $b=5$. Zatem współrzędne punktu $B$ to $\left(5,0\right)$. Korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty możemy wyznaczyć równanie prostej $AM$:

czyli

Aby wyznaczyć współrzędne punktu $C$, wystarczy rozwiązać układ równań

który spełnia para liczb

Zatem punkt $C$ ma współrzędne $\left(\frac{8}{7},\frac{54}{7}\right)$. Pole trójkąta $ABC$ jest równe $\frac{1}{2}·\left(4+5\right)·\frac{54}{7}=\frac{243}{7}$.

Możemy wyznaczyć równanie prostej $BP$:

czyli

Ponadto zauważmy, że równanie prostej $AP$ to $y=3$. Ponieważ prosta $AP$ jest prostopadła do boku $BC$ trójkąta, więc równanie prostej $BC$ to $x=4$. Prosta $BP$ jest prostopadła do prostej $AC$, więc współczynnik kierunkowy prostej $AC$ jest równy $\frac{1}{4}$, więc równanie prostej $AC$ to

czyli

Współrzędne punktu $C$ wyznaczymy rozwiązując układ równań

który jest spełniony przez parę liczb

Współrzędne punktu $C$ to $\left(4,5\right)$.