Wyznacz punkt wspólny prostych o równaniach y równa się dwie trzecie x dodać trzy drugie, oraz y równa się minus jedna trzecia x odjąć cztery trzecie.
Wyznacz punkt wspólny prostych o równaniach y równa się dwie trzecie x dodać trzy drugie, oraz y równa się minus jedna trzecia x odjąć cztery trzecie.
R1GnTxZuB5VZj
Wyznacz punkt wspólny prostych o równaniach: y, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dziewięć oraz y, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, jeden. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, dwa, średnik, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, dwa, średnik, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, sześć, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, sześć, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu
Ri5dfVPXA1fRT1
Ćwiczenie 2
Dla danych równań prostych wyznacz współrzędne ich punktu przecięcia. Połącz w pary. macierz, element, jeden jeden, x, równa się, trzy, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias trzy, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias trzy, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 3. nawias sześć, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 4. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, x, równa się, trzy, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, minus, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias trzy, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias trzy, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 3. nawias sześć, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 4. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, y, równa się, trzy, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias trzy, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias trzy, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 3. nawias sześć, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 4. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, y, równa się, trzy, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, minus, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias trzy, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias trzy, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 3. nawias sześć, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 4. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu
Dla danych równań prostych wyznacz współrzędne ich punktu przecięcia. Połącz w pary. macierz, element, jeden jeden, x, równa się, trzy, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias trzy, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias trzy, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 3. nawias sześć, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 4. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, x, równa się, trzy, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, minus, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias trzy, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias trzy, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 3. nawias sześć, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 4. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, y, równa się, trzy, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias trzy, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias trzy, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 3. nawias sześć, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 4. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, y, równa się, trzy, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, minus, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias trzy, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias trzy, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 3. nawias sześć, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 4. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu
R12N39vxDQDuF2
Ćwiczenie 3
Dla danych równań prostych wyznacz współrzędne ich punktu przecięcia. Połącz w pary. macierz, element, jeden jeden, y, równa się, trzy x, minus, jeden, element, jeden dwa, y, równa się, x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pięć zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dwa, średnik, minus, osiem zamknięcie nawiasu, 4. nawias trzy, średnik, jeden zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, y, równa się, x, minus, dwa, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, minus, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pięć zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dwa, średnik, minus, osiem zamknięcie nawiasu, 4. nawias trzy, średnik, jeden zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, y, równa się, x, plus, trzy, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pięć zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dwa, średnik, minus, osiem zamknięcie nawiasu, 4. nawias trzy, średnik, jeden zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, y, równa się, trzy x, minus, dwa, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, minus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pięć zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dwa, średnik, minus, osiem zamknięcie nawiasu, 4. nawias trzy, średnik, jeden zamknięcie nawiasu
Dla danych równań prostych wyznacz współrzędne ich punktu przecięcia. Połącz w pary. macierz, element, jeden jeden, y, równa się, trzy x, minus, jeden, element, jeden dwa, y, równa się, x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pięć zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dwa, średnik, minus, osiem zamknięcie nawiasu, 4. nawias trzy, średnik, jeden zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, y, równa się, x, minus, dwa, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, minus, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pięć zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dwa, średnik, minus, osiem zamknięcie nawiasu, 4. nawias trzy, średnik, jeden zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, y, równa się, x, plus, trzy, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pięć zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dwa, średnik, minus, osiem zamknięcie nawiasu, 4. nawias trzy, średnik, jeden zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, y, równa się, trzy x, minus, dwa, element, jeden dwa, y, równa się, dwa x, minus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. nawias zero, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, 2. nawias dwa, średnik, pięć zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, dwa, średnik, minus, osiem zamknięcie nawiasu, 4. nawias trzy, średnik, jeden zamknięcie nawiasu
R17IA1fdeksqU2
Ćwiczenie 4
Dla danych równań prostych wyznacz współrzędne ich punktu przecięcia. Połącz w pary. macierz, element, jeden jeden, x, plus, y, minus, jeden, równa się, zero, element, jeden dwa, dwa x, minus, y, plus, trzy, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu, 3. nawias początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, x, minus, y, minus, dwa, równa się, zero, element, jeden dwa, dwa x, plus, y, minus, pięć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu, 3. nawias początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, x, plus, dwa y, plus, trzy, równa się, zero, element, jeden dwa, dwa x, plus, y, plus, trzy, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu, 3. nawias początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, trzy x, minus, y, minus, dwa, równa się, zero, element, jeden dwa, dwa x, plus, y, minus, cztery, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu, 3. nawias początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu
Dla danych równań prostych wyznacz współrzędne ich punktu przecięcia. Połącz w pary. macierz, element, jeden jeden, x, plus, y, minus, jeden, równa się, zero, element, jeden dwa, dwa x, minus, y, plus, trzy, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu, 3. nawias początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, x, minus, y, minus, dwa, równa się, zero, element, jeden dwa, dwa x, plus, y, minus, pięć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu, 3. nawias początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, x, plus, dwa y, plus, trzy, równa się, zero, element, jeden dwa, dwa x, plus, y, plus, trzy, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu, 3. nawias początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu macierz, element, jeden jeden, trzy x, minus, y, minus, dwa, równa się, zero, element, jeden dwa, dwa x, plus, y, minus, cztery, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu, 3. nawias początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, osiem, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu
2
Ćwiczenie 5
Jakie wzory opisują proste przedstawione na poniższym rysunku?
R1JwIq0Ju8Itn
R176g0cEGuM9W
Wskaż prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. macierz, element, jeden jeden, x, minus, dwa y, równa się, pięć, element, jeden dwa, dwa x, minus, y, równa się, cztery, 2. macierz, element, jeden jeden, y, równa się, minus, dwa, element, jeden dwa, x, minus, y, równa się, trzy, 3. macierz, element, jeden jeden, trzy x, minus, y, równa się, pięć, element, jeden dwa, x, plus, trzy y, równa się, minus, pięć, 4. macierz, element, jeden jeden, dwa x, minus, trzy y, równa się, osiem, element, jeden dwa, x, minus, trzy y, równa się, siedem
R1NX1NCQaANLi
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
2
Ćwiczenie 6
Jakie wzory opisują proste przedstawione na poniższym rysunku?
R1Mq42kuMXTNp
RN8cTUJBXJEMk
Wskaż prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. macierz, element, jeden jeden, x, minus, dwa y, równa się, pięć, element, jeden dwa, dwa x, minus, y, równa się, cztery, 2. macierz, element, jeden jeden, y, równa się, minus, dwa, element, jeden dwa, x, minus, y, równa się, trzy, 3. macierz, element, jeden jeden, trzy x, minus, y, równa się, pięć, element, jeden dwa, x, plus, trzy y, równa się, minus, pięć, 4. macierz, element, jeden jeden, dwa x, minus, trzy y, równa się, osiem, element, jeden dwa, x, minus, trzy y, równa się, siedem
R1De8QIUhJh4v
W punkcie nawias, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu przecinają się pewne proste. Zaznacz, które proste spełniają ten warunek. Możliwe odpowiedzi: 1. sześć x, minus, dwa y, równa się, szesnaście i minus, x, minus, dwa y, równa się, dwa, 2. dwa x, plus, y, równa się, jeden i cztery x, minus, trzy y, równa się, sześć, 3. minus, cztery x, minus, y, równa się, minus, sześć i x, minus, trzy y, równa się, dziewięć
2
Ćwiczenie 7
Jakie wzory opisują proste przedstawione na poniższym rysunku?
R1H5RGi9jpAzz
RsWk4JSvWrsVf
Wskaż prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. macierz, element, jeden jeden, x, minus, dwa y, równa się, pięć, element, jeden dwa, dwa x, minus, y, równa się, cztery, 2. macierz, element, jeden jeden, y, równa się, minus, dwa, element, jeden dwa, x, minus, y, równa się, trzy, 3. macierz, element, jeden jeden, trzy x, minus, y, równa się, pięć, element, jeden dwa, x, plus, trzy y, równa się, minus, pięć, 4. macierz, element, jeden jeden, dwa x, minus, trzy y, równa się, osiem, element, jeden dwa, x, minus, trzy y, równa się, siedem
R1a3XQ47GCubk
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
2
Ćwiczenie 8
Jakie wzory opisują proste przedstawione na poniższym rysunku?
R1JE3ZRUNYuLm
R1CNTbFCSKkyI
Wskaż prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. macierz, element, jeden jeden, x, minus, dwa y, równa się, pięć, element, jeden dwa, dwa x, minus, y, równa się, cztery, 2. macierz, element, jeden jeden, y, równa się, minus, dwa, element, jeden dwa, x, minus, y, równa się, trzy, 3. macierz, element, jeden jeden, trzy x, minus, y, równa się, pięć, element, jeden dwa, x, plus, trzy y, równa się, minus, pięć, 4. macierz, element, jeden jeden, dwa x, minus, trzy y, równa się, osiem, element, jeden dwa, x, minus, trzy y, równa się, siedem
Rw28j3YcDERGU
W punkcie nawias, minus, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu przecinają się pewne proste. Zaznacz, które proste spełniają ten warunek. Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa x, plus, y, równa się, pięć i x, minus, dwa y, równa się, minus, cztery, 2. minus, trzy x, minus, cztery y, równa się, dwa i x, minus, y, równa się, minus, cztery, 3. minus, x, minus, y, równa się, jeden i dwa x, minus, y, równa się, minus, trzy
3
Ćwiczenie 9
Proste o równaniach oraz przecinają się w punkcie, który należy do prostej o równaniu . Wyznacz wartość parametru .
Ponieważ wszystkie trzy proste wymienione w zadaniu przecinają się w jednym punkcie, więc możemy wyznaczyć współrzędne tego punktu rozwiązując układ równań
,
z którego wynika równanie .
Można je rozwiązać następująco
.
Zatem
.
Czyli proste przecinają się w punkcie o współrzędnych . Ponieważ prosta o równaniu również przez ten punkt przechodzi, więc współrzędne punktu spełniają równanie tej prostej, z czego wynika równanie
.
3
Ćwiczenie 10
Dane są punkty i oraz prosta o równaniu . Wierzchołek trójkąta to punkt przecięcia prostej z osią układu współrzędnych, a wierzchołek jest punktem przecięcia prostej z prostą . Oblicz pole trójkąta .
Ponieważ punkt leży na osi , jego współrzędne są równe . Możemy je teraz podstawić do równania prostej , czyli . Zatem współrzędne punktu to . Korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty możemy wyznaczyć równanie prostej :
,
czyli
.
Aby wyznaczyć współrzędne punktu , wystarczy rozwiązać układ równań
,
który spełnia para liczb
.
Zatem punkt ma współrzędne . Pole trójkąta jest równe .
3
Ćwiczenie 11
Dany jest trójkąt o danych wierzchołkach , oraz punkcie przecięcia wysokości . Wyznacz współrzędne wierzchołka .
Możemy wyznaczyć równanie prostej :
,
czyli
.
Ponadto zauważmy, że równanie prostej to . Ponieważ prosta jest prostopadła do boku trójkąta, więc równanie prostej to . Prosta jest prostopadła do prostej , więc współczynnik kierunkowy prostej jest równy , więc równanie prostej to
,
czyli
.
Współrzędne punktu wyznaczymy rozwiązując układ równań
