Suma kątów wewnętrznych trójkąta

W tym materiale poznasz szczególną własność wszystkich trójkątów. Wykonaj poniższe doświadczenie, aby samodzielnie odkryć tą własność.

Wytnij z papieru trzy dowolne trójkąty. Niech wśród nich będą różne rodzaje trójkątów, na przykład: trójkąt prostokątny, rozwartokątny, różnoboczny, równoramienny. Każdy trójkąt zegnij, tak jak pokazano w poniższej animacji.

RXEs0jtNKJW8x
Animacja pokazuje sumę miar kątów trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RXEs0jtNKJW8x

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja pokazuje sumę miar kątów trójkąta.

Jaki wniosek dotyczący kątów trójkąta nasuwa się po wykonaniu tych czynności? Suma miar kątów w dowolnym trójkącie wynosi 180°.

1
Ćwiczenie 1

Zmierz kąty w każdym papierowym trójkącie wyciętym w poprzednim zadaniu. Dodaj otrzymane miary. Wpisz wynik dodawania na każdym trójkącie. Porównaj wyniki. Czy w każdym przypadku wynik wyniósł 180°?

Suma kątów wewnętrznych w trójkącie
Własność: Suma kątów wewnętrznych w trójkącie

Suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie równa jest kątowi półpełnemu, czyli suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°.

R1TpIyn4eKCA11
Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych alfa, beta, gamma. Zapis: alfa + beta +gamma =180 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z trzema poniższymi apletami. Każdy z nich przedstawia inny sposób udowodnienia faktu, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.

R11AQEhqPzCCi1
Animacja pokazuje w sześciu krokach, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180 stopni. Dany jest trójkąt A B C o kątach wewnętrznych alfa, beta, gamma. Zaznaczamy punkty K i L, które są środkami boków AC i BC. Prowadzimy odcinek KL. Odbijamy trójkąt K L C w symetrii względem prostej KL. Kąt gamma przekształcił się w kąt gamma prim i oba kąty mają taką samą miarę. Zaznaczamy punkt E na boku AB i odbijamy trójkąt A E K w symetrii względem prostej KE. Kąt alfa przekształcił się w kąt alfa prim i oba kąty mają taką samą miarę. Zaznaczamy punkt F na boku AB i odbijamy trójkąt F B L w symetrii względem prostej L F. Kąt beta przekształcił się w kąt beta prim i oba kąty mają taką samą miarę. Powstał prostokąt K L F E. Wszystkie kąty trójkąta A B C mają wspólny wierzchołek leżący na boku EF prostokąta (także na boku AB trójkąta). Zauważamy, że suma kątów alfa prim plus beta prim plus gamma prim jest równa 180 stopni. Ponieważ kąt alfa prim jest równy alfa, kąt beta prim jest równy beta a kąt gamma prim jest równy gamma, więc suma kątów alfa plus beta plus gamma jest równa 180 stopni. Zatem: suma kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa 180 stopni.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PflQtZ49o

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RbEYPA6YBbZ0l1
Animacja przedstawia trójkąt A B C, który obracamy o 180 stopni wokół środków dwóch jego boków. W ten sposób otrzymujemy dwa trójkąty przystające do niego. Po obrotach trójkąty te będą miały wspólny wierzchołek C, przy którym zejdą się trzy kąty tego trójkąta. Suma kątów tego trójkąta jest równa 180 stopni.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PflQtZ49o

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NIfpKg6lmt811
Animacja przedstawia trójkąt A B C, który obracamy o 180 stopni wokół środka boku AC. Następnie obrócony trójkąt przesuwamy tak, aby jego wierzchołek B pokrył się z wierzchołkiem C trójkąta wyjściowego. uzyskujemy w ten sposób trzy takie same trójkąty. Zauważamy, że odpowiednie kąty trójkąta A B C mają wspólny wierzchołek. Suma kątów tego trójkąta jest równa 180 stopni.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PflQtZ49o

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2

Zapoznaj się z poniższym apletem. Oblicz miarę trzeciego kąta w trójkącie.

R1cY3fwzoLjIL
Animacja przedstawia trójkąt A B C. Poruszając wierzchołkami trójkąta obserwujemy miary dwóch jego kątów. Należy podać miarę trzeciego kąta.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PflQtZ49o

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 3

Zapoznaj się z poniższym apletem. Oblicz miarę trzeciego kąta w trójkącie.

RI05EfGZt6Fp0
Animacja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Poruszając wierzchołkami trójkąta (trójkąt zawsze prostokątny) obserwujemy miary jednego z jego kątów ostrych. Należy podać miarę drugiego kąta ostrego.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PflQtZ49o

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R14IvP8seQ5rs2
Ćwiczenie 4
Ile wynosi suma miar kątów ostrych w trójkącie prostokątnym? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Suma miar tych kątów wynosi Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
REoEWdBwjAHHl2
Ćwiczenie 5
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Trójkąt o kątach 55° i 45° jest trójkątem 1. równoramiennym, 2. równobocznym, 3. równobocznym, 4. ostrokątnym, 5. równoramiennym, 6. równobocznym, 7. prostokątnym, 8. ostrokątnym, 9. rozwartokątnym.Trójkąt o kątach 25° i 65° jest trójkątem 1. równoramiennym, 2. równobocznym, 3. równobocznym, 4. ostrokątnym, 5. równoramiennym, 6. równobocznym, 7. prostokątnym, 8. ostrokątnym, 9. rozwartokątnym.Trójkąt o kątach 15° i 35° jest trójkątem 1. równoramiennym, 2. równobocznym, 3. równobocznym, 4. ostrokątnym, 5. równoramiennym, 6. równobocznym, 7. prostokątnym, 8. ostrokątnym, 9. rozwartokątnym.Trójkąt o kątach 55° i 55° jest trójkątem 1. równoramiennym, 2. równobocznym, 3. równobocznym, 4. ostrokątnym, 5. równoramiennym, 6. równobocznym, 7. prostokątnym, 8. ostrokątnym, 9. rozwartokątnym i 1. równoramiennym, 2. równobocznym, 3. równobocznym, 4. ostrokątnym, 5. równoramiennym, 6. równobocznym, 7. prostokątnym, 8. ostrokątnym, 9. rozwartokątnym.Trójkąt o kątach 60° i 60° jest trójkątem 1. równoramiennym, 2. równobocznym, 3. równobocznym, 4. ostrokątnym, 5. równoramiennym, 6. równobocznym, 7. prostokątnym, 8. ostrokątnym, 9. rozwartokątnym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 6
RcPlIepzHK0fy
Ile wynosi suma miar kątów wewnętrznych wielokąta przedstawionego na rysunku? Połącz nazwę wielokąta i liczbę stopni z jego rysunkiem.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R5iRYfV5vdUho
Połącz w pary wielokąty z sumą ich miar kątów wewnętrznych. siedmiokąt Możliwe odpowiedzi: 1. 900°, 2. 1080° ośmiokąt Możliwe odpowiedzi: 1. 900°, 2. 1080°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 7

Zapoznaj się z poniższym apletem. Oblicz sumę miar kątów wielokąta.

R1bPox8VjuQHo
Animacja przedstawia wielokąt A B C D E F podzielony na cztery trójkąty. Zmieniając położenie wierzchołków wielokąta należy podać sumę miar kątów wewnętrznych powstałego wielokąta.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PflQtZ49o

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.