Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta

W tym materiale przypomnisz sobie definicję symetralnej odcinka i wzory na pola niektórych wielokątów. Poznasz własności symetralnej i jej zastosowania w zadaniach geometrycznych.

Symetralna odcinka
Definicja: Symetralna odcinka

Symetralną odcinka AB nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek.

RB6ZaJvlJgGWv1
Rysunek odcinka AB z narysowaną symetralną. Między odcinkiem a symetralną oznaczono kąt prosty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
o punkcie leżącym na symetralnej odcinka
Twierdzenie: o punkcie leżącym na symetralnej odcinka

Jeżeli punkt leży na symetralnej odcinka, to jest równoodległy od końców tego odcinka.

Jeżeli punkt płaszczyzny jest równoodległy od końców odcinka, to leży na symetralnej tego odcinka.

Ry8aTdu0MYbVw1
Animacja prezentuje dowód na to, że jeżeli punkt jest położony na symetralnej odcinka to jest równoodległy od jego końców. Na odcinku AB prowadzimy jego symetralną, która przecina odcinek w punkcie D. Wybieramy dowolny punkt C leżący na symetralnej odcinka. Łącząc punkt C z końcami odcinka AB tworzymy odcinki CA i CB. Długości tych odcinków są odległościami punktu D od końców odcinka AB. Zauważamy, że trójkąty A D C i B D C są prostokątne i mają wspólny bok DC. Boki AD i BD są równej długości, bo są połowami odcinka AB. Przy wierzchołku D w obu trójkątach jest kąt prosty. Zatem, na mocy cechy bok‑kąt- bok trójkąty są przystające, z czego wynika że boki AC i BC, czyli odległości punktu położonego na symetralnej do końców odcinka są równe.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PLtp39PJX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne.

o symetralnych boków trójkąta1
Twierdzenie: o symetralnych boków trójkąta

Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

RrfeZbO8aFyx81
Rysunek trójkąta A B C, którego symetralne przecinają się w jednym punkcie. Trójkąt jest wpisany w okrąg o środku w punkcie S.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Dowód
RaLmmqnaSp3Xj1
Animacja prezentuje dowód na wyznaczenie środka okręgu opisanego na trójkącie A B C. Jest to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta. W trójkącie A B C prowadzimy symetralne boków AB i BC. Zaznaczamy punkt przecięcia S poprowadzonych symetralnych. Długości odcinków AS, BS i CS mają tę samą długość. Ponieważ długości odcinka CS jest równa długości odcinka AS, to symetralna przechodzi przez punkt S. Symetralne boków trójkąta przecinają się w tym samym punkcie. Jeżeli poprowadzimy okrąg o środku w punkcie S i promieniu równym AS, to będzie on przechodził przez wszystkie wierzchołki trójkąta A B C. Jest to okrąg opisany na trójkącie A B C.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PLtp39PJX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Uwaga!

Przypadki szczególne

  1. Trójkąt równoboczny

W trójkącie równobocznym wysokości, dwusieczne kątów, symetralne boków i środkowe pokrywają się. Stąd:

  • środek okręgu wpisanego w trójkąt i środek okręgu opisanego na trójkącie pokrywają się,

  • środek okręgu wpisanego w trójkąt i środek okręgu opisanego na trójkącie leżą w punkcie przecięcia się wysokości,

  • środki okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie leżą w punkcie przecięcia środkowych. Punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

    R1Yp4vDUwmhz41
    Rysunek trójkąta równobocznego A B C o boku długości a i wysokości h. W trójkąt wpisany jest okrąg o promieniu r i środku S. Jednocześnie w punkcie S jest środek okręgu opisanego na trójkącie ABC i promieniu R.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    2:1, r=13h, h=a32, P=a234.

  1. Trójkąt prostokątny

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją na dwa odcinki równej długości. Wynika stąd, że długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa połowie długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

R10DQ2HDUs0bA1
Rysunek trójkąta prostokątnego A B C. W trójkąt jest wpisany okrąg o promieniu r. Jednocześnie na trójkącie opisany jest okrąg o promieniu R.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Już wiesz

Wzory na pola wielokątów

R1cFNuWBvcLCr1
Animacja pokazuje przekształcenie trójkąta A B C o podstawie a i wysokości h, w prostokąt A B D E o bokach a i h. Zauważamy, że pole trójkąta to połowa pola prostokąta o bokach a i h.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PLtp39PJX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RcZovMp7vm2BY1
Animacja pokazuje przekształcenie trapezu A B C D o podstawach długości a i b oraz wysokości h w równoległobok A D prim A prim D o bokach długości a +b i wysokości h. Pole trapezu to połowa pola równoległoboku o boku długości a +b i wysokości h.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PLtp39PJX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSYiWFxuNdV0f1
Animacja pokazuje przekształcenie równoległoboku A B C D o podstawie długości a i wysokości h w prostokąt A B E F o bokach a i h. Zauważamy, że pole równoległoboku jest równe polu tego prostokąta.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PLtp39PJX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 1
RELfDpdWrG3fO1
Animacja pokazuje, jak poruszając jednym z wierzchołków czworokąta A B C D (ma narysowane dwusieczne kątów) stworzyć czworokąt, w który da się wpisać okrąg. Zauważamy, że nie zawsze w okrąg można wpisać w czworokąt, czego przykładem jest prostokąt o bokach różnej długości. Aby w czworokąt można było wpisać w okrąg, to dwusieczne jego kątów muszą przecinać się w jednym punkcie. Punkt ten będzie środkiem okręgu wpisanego w czworokąt i stycznym do jego boków.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PLtp39PJX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 2
RGdL4lYQsDnRW1
Animacja pokazuje, jak poruszając jednym z wierzchołków czworokąta A B C D (ma narysowane symetralne boków) stworzyć taki czworokąt, na którym da się opisać okrąg. Jeżeli wierzchołki czworokącie należą do okręgu, to o takim czworokącie mówimy, że został wpisany w okrąg lub że okrąg został opisany na tym czworokącie. Aby czworokąt wpisać w okrąg to symetralne jego boków muszą przecinać się w jednym punkcie. Punkt ten będzie środkiem okręgu opisanego na tym czworokącie.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PLtp39PJX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.