Symetria wykresu funkcji względem osi OX i OY- zadania

W tym materiale dowiesz się, jak wyglądają wykresy oraz wzory funkcji po odbiciu symetrycznym względem osi $X$ oraz osi $Y$ . Rozwiążesz zadania dotyczące symetrii względem obu osi.

Po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji $y = f (x)$ względem osi $X$ otrzymujemy wykres funkcji $y = - f (x)$ .

R1CAzxWBl3Wai

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y=fx znajdujący się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych oraz wykres y=-fx, który jest odbiciem symetrycznym względem osi X . Otrzymany wykres leży w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji $y = f (x)$ względem osi $Y$ otrzymujemy wykres funkcji $y = f (- x)$ .

R1Ns5y5f9n7fo

Ćwiczenie 1

Rysunek przedstawia wykres funkcji $y = f (x)$ .

ReXYpa2DqeKoR1

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Wykres funkcji y=f(x) jest postaci łamanej leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres zaczyna się w punkcie o współrzędnych (-2,3) i łączy się z punktem o współrzędnych (-1,0). Następnie podany punkt łączy się z punktem o współrzędnych (2,0). Potem wykres maleje do punktu o współrzędnych (1,1). Ostatecznie wykres jest stały do punktu o współrzędnych (2,1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R2vhclO1zwH8Q

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgF9DQqrxZylu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $y = f (x)$ .

RUJihRfrpqfaO1

Wykres funkcji f w postaci krzywej leżącej w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych (-2, 1), (0, 0), (2, 0). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1C3qmyD203Jv

R1ENJ9qTC7bCg1

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R1OxaLzOP3AcT2

$g (x) = - x^{2} - 1$
$g (x) = x^{2} - 1$
$g (x) = - 2 x - 1$
$g (x) = 2 x + 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji $y = f (x)$ względem osi $X$ otrzymujemy wykres funkcji $y = - f (x)$ .

Ćwiczenie 4

RPARc62vdBoTU2

$g (x) = - x^{2} - 1$
$g (x) = x^{2} - 1$
$g (x) = - x^{2} + 1$
$g (x) = x^{2} + 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji $y = f (x)$ względem osi $Y$ otrzymujemy wykres funkcji $y = f (- x)$ .

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $y = f (x)$ . Funkcja $g$ określona jest wzorem $g (x) = - f (x)$ .

RflmDBgs9uYZa1

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Wykres funkcji y=f(x) jest postaci łamanej leżącej we wszystkich ćwiartkach układu współrzędnych. Wykres zaczyna się w punkcie o współrzędnych (-2,-1) i rośnie do punktu o współrzędnych (-1,3). Następnie wykres maleje od podanego punktu do punktu o współrzędnych (0,-1). Potem wykres rośnie do punktu o współrzędnych (2,1). Ostatecznie wykres maleje do punktu o współrzędnych (312,-12). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ZMPnvBghdRJ

$g (x) = 1$
$g (x) = 0$
$g (x) = - 1$
$g (x) = - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RZEJ3IoRAd5mT2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że punkt $B$ jest symetrycznym odbiciem punktu $A$ względem osi $X$ .

Rx3fHWXReNeAW2

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

RtgF82oPBopEZ2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że punkt $C_{1}$ jest symetrycznym odbiciem punktu $B$ względem osi $X$ .

Ponadto punkt $C_{2}$ jest symetrycznym odbiciem punktu $A$ względem osi $Y$ .

Zauważ, że podstawa $B C_{1}$ trójkąta $A B C_{1}$ ma długość $8$ , a wysokość opadająca na tę podstawę ma długość $7$ . Ponadto podstawa $A C_{2}$ trójkąta $A B C_{2}$ ma długość $14$ , a wysokość opadająca na tę podstawę ma długość $4$ .

R1dujEb5g8DKs2

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨- 4; 4⟩$ , a jej wykres jest symetryczny względem osi $Y$ . Część wykresu funkcji $f$ zaprezentowana jest na rysunku. Uzupełnij wykres funkcji $f$ .

R1Vcg83UOZons1

Część wykresu funkcji f w postaci krzywej do uzupełnienia zgodnie z treścią zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rq7fOMogjxh1M

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R19ecLoRP0T3p

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji $y = f (x)$ względem osi $Y$ otrzymujemy wykres funkcji $y = f (- x)$ .

R1LgqEk5fQbD82

Ćwiczenie 10

Łączenie par. Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.. Jeżeli funkcję

f

przekształcimy w symetrii względem osi

Y

to zbiór wartości funkcji może ulec zmianie.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli funkcję

f

przekształcimy w symetrii względem osi

X

to dziedzina funkcji może ulec zmianie.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli funkcję

f

przekształcimy w symetrii względem osi

X

lub osi

Y

to monotoniczność funkcji może ulec zmianie.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Wykres funkcji $f$ jest przedstawiony na rysunku.

Przekształcając wykres funkcji $f$ w symetrii względem osi $X$ , otrzymujemy wykres funkcji $g$ .

Wykaż, że:

g (- 2) + g (- 1) + g (0) + g (1) + g (2) = f (- 2) + f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2)

RqURZvbLhemKc1

Dana jest funkcja $f (x) = {(x - 2)}^{2} - 4$ . Przekształcając wykres funkcji $f$ w symetrii względem osi $X$ , otrzymujemy wykres funkcji $g$ .
Wykaż, że

g (- 2) + g (- 1) + g (0) + g (1) + g (2) = f (- 2) + f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2)

R5hT9GVsu6k3a

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że $g (- 2) = - f (- 2)$ , $g (- 1) = - f (- 1)$ , itd.

g (- 2) + g (- 1) + g (0) + g (1) + g (2) = f (- 2) + f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2) = 0

Ćwiczenie 12

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨- 2; 2⟩$ , a jej wykres jest symetryczny względem osi $X$ . Naszkicuj wykres funkcji $f$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨- 2; 2⟩$ , a jej wykres jest symetryczny względem osi $X$ . Opisz wykres funkcji $f$ .

R1YwzbdPB6XTT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykres musi spełniać równanie $f (x) = - f (x)$ oraz $x \in$ $⟨- 2; 2⟩$ .

R1QXDD8Grv1Tg1

Wykres funkcji, leżący na osi OX. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykładowy opis wykresu:

W układzie współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do trzech oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do jeden znajduje się wykres funkcji w postaci pionowej prostej leżącej na osi $X$ od minus dwóch do dwóch.

Ćwiczenie 13

Wykres funkcji $f$ jest przedstawiony na rysunku.

RUX863VwPX6221

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Wykres funkcji y=f(x) jest postaci łamanej leżącej we wszystkich ćwiartkach układu współrzędnych. Wykres zaczyna się w punkcie o współrzędnych (-2,-1) i rośnie do punktu o współrzędnych (-1,1). Następnie wykres łączy się z punktem współrzędnych (2,0). Potem wykres maleje od podanego punktu do punktu o współrzędnych (1,-1). Ostatecznie wykres rośnie do punktu o współrzędnych (2,1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Naszkicuj wykresy funkcji

a. $y = f (- x)$

b. $y = - f (x)$

R1JLhJ1ocefFZ2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

RvAqvTTj6N0Mh3

Podaj wzór funkcji

h

, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji

f

względem osi

X

. Uzupełnij poniższe zdanie tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź. Funkcja

h

, której wykres jest symetryczny względem osi

X

do wykresu funkcji

f (x) = 5 x - 1

jest określona wzorem

h (x) =

3 x - 4

, 2.

- x^{2} - 3 x

, 3.

1 - 5 x

, 4.

5 x + 1

, 5.

x^{2} - 3 x

, 6.

- \frac{1}{x + 3}

, 7.

3 - 4 x

, 8.

\frac{1}{- x + 3}

.Funkcja

h

, której wykres jest symetryczny względem osi

X

do wykresu funkcji

f (x) = 4 - 3 x

jest określona wzorem

h (x) =

3 x - 4

, 2.

- x^{2} - 3 x

, 3.

1 - 5 x

, 4.

5 x + 1

, 5.

x^{2} - 3 x

, 6.

- \frac{1}{x + 3}

, 7.

3 - 4 x

, 8.

\frac{1}{- x + 3}

.Funkcja

h

, której wykres jest symetryczny względem osi

X

do wykresu funkcji

f (x) = x^{2} + 3 x

jest określona wzorem

h (x) =

3 x - 4

, 2.

- x^{2} - 3 x

, 3.

1 - 5 x

, 4.

5 x + 1

, 5.

x^{2} - 3 x

, 6.

- \frac{1}{x + 3}

, 7.

3 - 4 x

, 8.

\frac{1}{- x + 3}

.Funkcja

h

, której wykres jest symetryczny względem osi

X

do wykresu funkcji

f (x) = \frac{1}{x + 3}

jest określona wzorem

h (x) =

3 x - 4

, 2.

- x^{2} - 3 x

, 3.

1 - 5 x

, 4.

5 x + 1

, 5.

x^{2} - 3 x

, 6.

- \frac{1}{x + 3}

, 7.

3 - 4 x

, 8.

\frac{1}{- x + 3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji $y = f (x)$ względem osi $X$ otrzymujemy wykres funkcji $y = - f (x)$ .

Ćwiczenie 15

R7SObcoZwOAjx3

Podaj wzór funkcji

t

, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji

f

względem osi

Y

. Uzupełnij poniższe zdania tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź. Funkcja

t

, której wykres jest symetryczny względem osi

Y

do wykresu funkcji

f (x) = 2 x + 9

jest określona wzorem

t (x) =

- 2 x + 9

, 2.

\frac{- x^{3} + 2}{x^{2} - 5}

, 3.

x - 7

, 4.

- x^{2} + x

, 5.

2 x - 9

, 6.

x^{2} + x

, 7.

\frac{x^{3} + 2}{x^{2} - 5}

, 8.

x + 7

.Funkcja

t

, której wykres jest symetryczny względem osi

Y

do wykresu funkcji

f (x) = - x + 7

jest określona wzorem

t (x) =

- 2 x + 9

, 2.

\frac{- x^{3} + 2}{x^{2} - 5}

, 3.

x - 7

, 4.

- x^{2} + x

, 5.

2 x - 9

, 6.

x^{2} + x

, 7.

\frac{x^{3} + 2}{x^{2} - 5}

, 8.

x + 7

.Funkcja

t

, której wykres jest symetryczny względem osi

Y

do wykresu funkcji

f (x) = x^{2} - x

jest określona wzorem

t (x) =

- 2 x + 9

, 2.

\frac{- x^{3} + 2}{x^{2} - 5}

, 3.

x - 7

, 4.

- x^{2} + x

, 5.

2 x - 9

, 6.

x^{2} + x

, 7.

\frac{x^{3} + 2}{x^{2} - 5}

, 8.

x + 7

.Funkcja

t

, której wykres jest symetryczny względem osi

Y

do wykresu funkcji

f (x) = \frac{x^{3} - 2}{5 - x^{2}}

jest określona wzorem

t (x) =

- 2 x + 9

, 2.

\frac{- x^{3} + 2}{x^{2} - 5}

, 3.

x - 7

, 4.

- x^{2} + x

, 5.

2 x - 9

, 6.

x^{2} + x

, 7.

\frac{x^{3} + 2}{x^{2} - 5}

, 8.

x + 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji $y = f (x)$ względem osi $Y$ otrzymujemy wykres funkcji $y = f (- x)$ .

Ćwiczenie 16

Wykres funkcji $f$ jest przedstawiony na rysunku.

Dana jest funkcja $f (x) = 4 (x^{3} - x)$ .

R7nIasOMJlTjg1

Rh5UrAE0ApcI7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

a. $3$ rozwiązania b. $3$ rozwiązania c. $2$ rozwiązania d. $2$ rozwiązania

Naszkicuj wykresy funkcji $g$ i $h$ , a następnie odczytaj z nich rozwiązania odpowiednich równań. Zwróć uwagę na to, że rozwiązania równań mogą być różnych znaków.

Ćwiczenie 17

Funkcja $f$ jest określona dla każdego $x$ rzeczywistego. Uzasadnij, że jeżeli wykres funkcji $f$ przekształcimy symetrycznie względem osi $X$ , a następnie otrzymaną w ten sposób krzywą przekształcimy jeszcze raz względem osi $X$ , to ponownie otrzymamy wykres funkcji $f$ .

R10Wz2wOymqhq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że przekształcając ponownie krzywą w symetrii względem osi $X$ , otrzymamy krzywą $y = - (- f (x))$ .

Przekształcając wykres funkcji $f$ w symetrii względem osi $X$ , otrzymamy krzywą $y = - f (x)$ . Przekształcając tę krzywą ponownie w symetrii względem osi $X$ , otrzymamy krzywą $y = - (- f (x))$ , czyli wykres funkcji $y = f (x)$ . Koniec dowodu.