Symetria względem punktu

W tym materiale poznasz definicje symetrii środkowej oraz figur symetrycznych względem punktu. Dowiesz się, w jaki sposób rozpoznać i narysować takie figury. Rozwiążesz zadania dotyczące tych zagadnień.

Ćwiczenie 1

Zapoznaj się z filmem i rozwiąż poniższe zadanie.

Rc4e28KPagQ5a1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZWys2gmzMWDZ

Punkt $A'$ leży na półprostej $AS$ .
Punkt $A$ leży na półprostej $SA'$ .
Punkt $S$ jest środkiem odcinka $A A^{'}$ .
Długość odcinka $AS$ jest równa długości odcinka $SA'$ .
Punkt $A'$ jest środkiem odcinka $AS$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Symetria środkowa

Definicja: Symetria środkowa

Punkt $A^{'}$ jest symetryczny do punktu $A$ względem punktu $S$ ( $A^{'}$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem punktu $S$ ) jeżeli

leży na prostej $A S$ po przeciwnej stronie punktu $S$ niż punkt $A$ ,
jego odległość od punktu $S$ jest równa odległości punktu $A$ od punktu $S$ .

Symetrię względem punktu nazywamy symetrią środkową.

Ważne!

Punkt $S$ jest środkiem odcinka $A A^{'}$ .
Obrazem punktu $S$ w symetrii względem tego punktu jest punkt $S (S^{'} = S)$ .
Jeżeli punkt $A^{'}$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem punktu $S$ , to punkt $A$ jest obrazem punktu $A^{'}$ w tej samej symetrii.

Przykład 1

Zapoznaj się z poniższym apletem opisującym konstrukcję punktu w symetrii środkowej.

Rt9U4BWHyQ1z611

Przykład 2

Zauważmy, że aby skonstruuować punkt w symetrii środkowej, zamiast okręgu wystarczy narysować łuk. Wówczas konstrukcja przyjmie postać jak na poniższej animacji.

R1JP0G8v45NG71

Opis konstrukcji:

Kreślimy półprostą $A S$ .
Wykreślamy łuk o środku w punkcie $S$ i promieniu $S A$ .
Punkt przecięcia tego łuku z półprostą $A S$ oznaczamy $A^{'}$ . Jest on poszukiwanym obrazem punktu $A$ w symetrii środkowej względem $S$ .

Figury symetryczne względem punktu

Ciekawostka

ROYB7lMZGWrhp1

Przykład 3

Figury $M$ i $M_{1}$ przedstawione na rysunku są symetryczne względem punktu $S$ . Oznacza to, że każdy punkt figury $M_{1}$ jest obrazem odpowiedniego punktu należącego do figury $M$ w symetrii względem punktu $S$ .

R5dtDZNpPh9FG1

Rysunek figur M i M z indeksem dolnym jeden symetrycznej do M względem punktu S. Do figury M z indeksem dolnym jeden należą punkty A z indeksem dolnym jeden, B z indeksem dolnym jeden, C z indeksem dolnym jeden, które są obrazem punktów A, B i C figury M w symetrii względem punktu S. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

RHSXArxyeFrfm1

Ważne!

W symetrii środkowej obrazem:

odcinka jest odcinek tej samej długości,
koła jest koło o tym samym promieniu,
wielokąta jest wielokąt o tym samym kształcie, obwodzie i polu.
Jeżeli $F'$ jest obrazem figury $F$ w symetrii względem punktu $S$ , to figura $F$ jest obrazem figury $F'$ w tej samej symetrii.

Przykłady figur symetrycznych względem punktu

Przykład 5

Oto przykłady figur środkowosymetrycznych.

R8si9mFFS3qVx1

Rysunek kwadratu, sześciokąta foremnego i ośmiokąta foremnego. W wielokątach zaznaczone punkty S, czyli środki symetrii pokrywające się ze środkami każdej z figur. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Część figury składającej się z ośmiu łuków przekształcono w symetrii względem punktu $S$ .
Dokończ to przekształcenie, przemieszczając odpowiednie łuki.
Łuki można przemieszczać, zaczepiając kursor za punkty wyróżnione czerwonym kolorem.

R1V1hxo7MbyQw1

Zastanów się i odpowiedz na poniższe pytania.

RjYIDgMET7zLL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R142izj4SDkBi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RjUy4sMMR62Ro

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Narysuj dowolny trójkąt $A B C$ . Znajdź obraz tego trójkąta w symetrii względem punktu:

będącego jednym z jego wierzchołków,
leżącego wewnątrz trójkąta,
leżącego na zewnątrz trójkąta,
leżącego na jednym z boków trójkąta,
leżącego na jednej z wysokości trójkąta.

R11RsNBWXT4Mf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jak będzie się przedstawiał obraz trójkąta $A B C$ w symetrii względem punktu:

będącego jednym z jego wierzchołków,
leżącego wewnątrz trójkąta,
leżącego na zewnątrz trójkąta,
leżącego na jednym z boków trójkąta,
leżącego na jednej z wysokości trójkąta.

R1bRsGvslAijP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Narysuj trójkąt i zaznacz punkt, względem którego należy narysować obraz tego trójkąta. Następnie postępuj zgodnie z instrukcjami zawartymi w Przykładzie $3$ oraz Przykładzie $4$ .

Wybierz dowolny trójkąt.

Symetria trójkąta $A B C$ względem punktu. Mamy trzy możliwości.

Symetria względem punktu:

R1dzi5aYfSh97

Rysujemy trójkąt A B C, a następnie rysujemy dwie proste. Pierwsza prosta przebiega przez punkty A oraz B. Na tej prostej nanosimy punkt B prim, który znajduje się po drugiej stronie punktu A względem punktu B, czyli odcinki A B oraz A B prim leżą na jednej prostej i mają taką samą długość. Druga prosta biegnie przez punkt A oraz C, postępujemy analogicznie, czyli rysujemy na prostej punkt C prim po drugiej stronie punktu A. Mamy więc dwa odcinki C A oraz A C prim leżące na jednej prostej, mające tę samą długość. Odbicie trójkąta w tej symetrii ma wspólny wierzchołek A z trójkątem A B C. Trójkąty A B C oraz A B prim C prim są równej wielkości. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RlyW11eZSi8ru

Rysujemy trójkąt A B C, a następnie rysujemy dwie proste. Pierwsza prosta przebiega przez punkty A oraz B. Na tej prostej nanosimy punkt A prim, który znajduje się po drugiej stronie punktu B względem punktu A, czyli odcinki A B oraz B A prim leżą na jednej prostej i mają taką samą długość. Druga prosta biegnie przez punkt B oraz C, postępujemy analogicznie, czyli rysujemy na prostej punkt C prim po drugiej stronie punktu B. Mamy więc dwa odcinki C B oraz B C prim leżące na jednej prostej, mające tę samą długość. Odbicie trójkąta w tej symetrii ma wspólny wierzchołek B z trójkątem A B C. Trójkąty A B C oraz A prim B C prim są równej wielkości. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoZhqr2Pn5mvN

Rysujemy trójkąt A B C, a następnie rysujemy dwie proste. Pierwsza prosta przebiega przez punkty A oraz C. Na tej prostej nanosimy punkt A prim, który znajduje się po drugiej stronie punktu C względem punktu A, czyli odcinki A C oraz C A prim leżą na jednej prostej i mają taką samą długość. Druga prosta biegnie przez punkt C oraz B, postępujemy analogicznie, czyli rysujemy na prostej punkt B prim po drugiej stronie punktu C. Mamy więc dwa odcinki B C oraz C B prim leżące na jednej prostej, mające tę samą długość. Odbicie trójkąta w tej symetrii ma wspólny wierzchołek C z trójkątem A B C. Trójkąty A B C oraz A prim B prim C są równej wielkości. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Symetria trójkąta $A B C$ względem punktu leżącego wewnątrz trójkąta.

RL6sqCdK5iKFq

Rysujemy trójkąt A B C, oznaczamy dowolny punkt leżący we wnętrzu trójkąta, ale nie na jego obwodzie, po czym rysujemy trzy proste przebiegające przez ten punkt. Pierwsza prosta przebiega przez punkty A oraz punkt wewnętrzny. Na tej prostej nanosimy punkt A prim, który znajduje się po drugiej stronie punktu wewnętrznego względem punktu A, czyli oba odcinki leżą na jednej prostej i mają taką samą długość. Druga prosta biegnie przez punkt B oraz przez punkt wewnętrzny, postępujemy analogicznie, czyli rysujemy na prostej punkt B prim po drugiej stronie punktu wewnętrznego. Mamy więc dwa odcinki leżące na jednej prostej, mające tę samą długość. Analogicznie rysujemy trzecią prostą biegnącą przez wierzchołek C i przez punkt wewnętrzny. Łącząc odbite punkty, otrzymujemy trójkąt A prim B prim oraz C prim. Trójkąt wyjściowy i jego odbicie są równej wielkości i częściowo się nakładają. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Symetria trójkąta $A B C$ względem punktu leżącego na zewnątrz trójkąta.

RM9XkxMW2ls1h

Rysujemy trójkąt A B C, oznaczamy dowolny punkt leżący poza trójkątem, po czym rysujemy trzy proste przebiegające przez ten punkt i wierzchołki figury. Pierwsza prosta przebiega przez punkty A oraz punkt zewnętrzny. Na tej prostej nanosimy punkt A prim, który znajduje się po drugiej stronie punktu zewnętrznego względem punktu A, czyli oba odcinki leżą na jednej prostej i mają taką samą długość. Druga prosta biegnie przez punkt B oraz przez punkt zewnętrzny, postępujemy analogicznie, czyli rysujemy na prostej punkt B prim po drugiej stronie punktu zewnętrznego. Mamy więc dwa odcinki leżące na jednej prostej, mające tę samą długość. Analogicznie rysujemy trzecią prostą biegnącą przez wierzchołek C i przez punkt zewnętrzny. Łącząc odbite punkty, otrzymujemy trójkąt A prim B prim oraz C prim. Trójkąt wyjściowy i jego odbicie są równej wielkości i są rozłączne, czyli nie posiadają żadnych wspólnych punktów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Symetria trójkąta $A B C$ względem punktu leżącego na jednym z boków trójkąta.

Punkt leży na boku $B C$ .

RLT80VSK2JQae

Rysujemy trójkąt A B C, oznaczamy dowolny punkt należący do boku B C, po czym rysujemy dwie proste przebiegające przez ten punkt i wierzchołki figury. Pierwsza prosta przebiega przez punkty A oraz punkt obwodu. Na tej prostej nanosimy punkt A prim, który znajduje się po drugiej stronie punktu obwodu względem punktu A, czyli oba odcinki leżą na jednej prostej i mają taką samą długość. Druga prosta biegnie przez punkt B i tym samym przez bok B C oraz przez punkt obwodu, postępujemy analogicznie, czyli rysujemy na prostej punkt B prim i C prim, każdy po przeciwnej stronie punktu obwodu. Łącząc odbite punkty, otrzymujemy trójkąt A prim B prim oraz C prim. Trójkąt wyjściowy i jego odbicie są równej wielkości i mają częściowo wspólny bok B C i B prim C prim, które częściowo się pokrywają. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkt należy do boku $A C$ .

R1QUnNFjueA3k

Rysujemy trójkąt A B C, oznaczamy dowolny punkt należący do boku A C, po czym rysujemy dwie proste przebiegające przez ten punkt i wierzchołki figury. Pierwsza prosta przebiega przez punkty B oraz punkt obwodu. Na tej prostej nanosimy punkt B prim, który znajduje się po drugiej stronie punktu obwodu względem punktu B, czyli oba odcinki leżą na jednej prostej i mają taką samą długość. Druga prosta biegnie przez punkty A i C tym samym przez bok A C oraz przez punkt obwodu, postępujemy analogicznie, czyli rysujemy na prostej punkty A prim i C prim, każdy po przeciwnej stronie punktu obwodu. Łącząc odbite punkty, otrzymujemy trójkąt A prim B prim oraz C prim. Trójkąt wyjściowy i jego odbicie są równej wielkości i mają częściowo wspólny bok A C i A prim C prim, które częściowo się pokrywają. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Środek symetrii jest środkiem boku $A B$ .

RLvkgy9Kc8lyo

Rysujemy trójkąt A B C, oznaczamy dowolny punkt należący do boku A B, po czym rysujemy dwie proste przebiegające przez ten punkt i wierzchołki figury. Pierwsza prosta przebiega przez punkty C oraz punkt obwodu. Na tej prostej nanosimy punkt C prim, który znajduje się po drugiej stronie punktu obwodu względem punktu C, czyli oba odcinki leżą na jednej prostej i mają taką samą długość. Druga prosta biegnie przez punkty A i B tym samym przez bok A B oraz przez punkt obwodu, postępujemy analogicznie, czyli rysujemy na prostej punkty A prim i B prim, każdy po przeciwnej stronie punktu obwodu. Łącząc odbite punkty, otrzymujemy trójkąt A prim B prim oraz C prim. Trójkąt wyjściowy i jego odbicie są równej wielkości i mają częściowo wspólny bok A B i A prim B prim, które częściowo się pokrywają. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Symetria względem punktu leżącego na jednej z wysokości trójkąta.

Punkt należy do wysokości $h_{A}$ opuszczonej z punktu $A$ .

R1DrXYDyT3nfs

Rysujemy trójkąt A B C, z wierzchołka A upuszczamy na bok B C wysokość h indeks dolny A. Oznaczamy dowolny punkt należący do wysokości, po czym rysujemy trzy proste przebiegające przez ten punkt i wierzchołki figury. Pierwsza prosta przebiega przez punkty A oraz punkt należący do wysokości. Prosta ta pokrywa się z wysokością. Na tej prostej nanosimy punkt A prim, który znajduje się po drugiej stronie punktu należącego do wysokości względem punktu A. A prim należy do wysokości. Druga prosta biegnie przez punkt B i przez punkt należący do wysokości. Po przeciwnej stronie punktu należącego do wysokości rysujemy punkt B prim w takiej samej odległości, jaka dzieli punkt B i punkt należący do wysokości. Analogicznie postępujemy z wierzchołkiem C, łącząc go z punktem należącym do wysokości za pomocą prostej i nanosimy na nią punkt C prim po przeciwnej stronie punktu C. Łącząc odbite punkty, otrzymujemy trójkąt A prim B prim oraz C prim. Trójkąt wyjściowy i jego odbicie są równej wielkości i częściowo nakładają się na siebie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1J6CJtL3ZKof

Znajdź obraz kwadratu o polu

25 {cm}^{2}

w symetrii względem punktu, będącego środkiem jednego z jego boków. Oblicz pole figury, składającej się z kwadratu i jego obrazu.
Uzupełnij zdanie, przeciągając w luki odpowiednie liczby i słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jest to 1.

100

, 2. kwadrat, 3.

50

, 4. prostokąt, 5.

75

o polu 1.

100

, 2. kwadrat, 3.

50

, 4. prostokąt, 5.

75

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1D0r8ZslEyhf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozpocznij od narysowania kwadratu o boku długości $5 cm$ i zaznaczeniu punktu na środku jednego z jego boków.

R757K6tje2cXf

Rysunek kwadratu o boku długości 5 cm. W połowie dolnego boku kwadratu zaznaczono punkt. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odmierz cyrklem odległość między wierzchołkami tego kwadratu a zaznaczonym punktem, a następnie skonstruuj obraz wszystkich wierzchołków tego kwadratu w symetrii względem tego punktu.

RKEVb2nEn7MOL

Rysunek kwadratu o boku długości 5 cm. W połowie dolnego boku kwadratu zaznaczono punkt, przez który poprowadzono dwie półproste wychodzące z przeciwległych wierzchołków kwadratu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Połącz ze sobą punkty, które są obrazami wierzchołków wyjściowego kwadratu w symetrii względem środka jednego z jego boków.

R1MVRaQ4dkSjD

Narysowana figura to prostokąt, a jego pole wynosi $50 {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 5

R1UpsRth3vLdP

Dany jest prostokąt

A B C D

, w którym

|A B| = 12 cm

|A D| = 9 cm

. Punkt

S

dzieli bok

A B

w stosunku

3 : 1

, licząc od wierzchołka

A

. Obrazem prostokąta

A B C D

w symetrii względem punktu

S

jest prostokąt

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Wyznacz długość odcinka

B^{'} B

będącego częścią wspólną prostokąta i jego obrazu. Oblicz obwód figury

A B^{'} C^{'} D^{'} A^{'} B C D

.
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość odcinka

B B^{'}

wynosi 1.

56 cm

, 2.

12 cm

, 3.

10 cm

, 4.

62 cm

, 5.

6 cm

, 6.

72 cm

.
Obwód figury

A B^{'} C^{'} D^{'} A^{'} B C D

wynosi 1.

56 cm

, 2.

12 cm

, 3.

10 cm

, 4.

62 cm

, 5.

6 cm

, 6.

72 cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RL171fntnegHs

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R17yiFIxE1PUw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sporządź odpowiedni rysunek i sprawdź, ile razy pole wielokąta $A B D^{'} A^{'} B^{''} C^{''}$ jest większe od pola rombu $A B C D$ .

Ćwiczenie 7

Który z punktów jest symetryczny do punktu $X$ względem punktu $S$ ?

R1Im3C1yZpxSc1

Ilustracja przedstawia kilka punktów na jednej prostej. Pośrodku oznaczono punkt S. Po lewej stronie od punktu S mamy punkty: X odległy o 10 jednostek, L odległy o 7 jednostek, Y odległy o 6 jednostek. Po prawej stronie od punktu S mamy punkty: K odległy o 10 jednostek, P odległy o 7 jednostek, M odległy o 6 jednostek. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ryg04nGKcJuDN

punkt $P$
punkt $K$
punkt $M$
punkt $L$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R14b8GCExLUkb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Narysuj dowolny trapez $A B C D$ nie będący równoległobokiem. Znajdź obraz tego trapezu w symetrii względem punktu przecięcia jego przekątnych.

R1WOOXTezRPzT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jak będzie przedstawiał się dowolny trapez $A B C D$ nie będący równoległobokiem, który odbijemy w symetrii względem punktu przecięcia jego przekątnych? Opisz własnymi słowami.

RZcT5JRb8aor6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Narysuj trapez $A B C D$ , który nie jest równoległobokiem oraz jego przekątne. Zaznacz punkt przecięcia przekątnych tego trapezu, a następnie postępuj zgodnie z instrukcjami zawartymi w Przykładzie $3$ oraz Przykładzie $4$ .

Zwróć uwagę na położenie prostych wyznaczających symetrię oraz na położenie przekątnych.

Wierzchołki trapezu $A' B' C' D'$ znajdują się na prostych zawierających przekątne trapezu $A B C D$ .

R1KySw4V8GIzE

Ilustracja przedstawia trapez A B C D z narysowanymi przekątnymi. Odcinek A B jest dolną podstawą, odcinek C D jest górną podstawą, odcinek B C jest prawym ramieniem, a odcinek D A jest lewym ramieniem trapezu. Punkt przecięcia przekątnych wyróżniono. Przez przekątne poprowadzono dwie proste, które nazwiemy od punktów, przez które przebiegają. Na prostej A C oznaczono odbicia wierzchołków względem wyróżnionego punktu, C prim należy do przekątnej A C i znajduje się w takiej samej odległości od puntu przecięcia przekątnych jak punkt C, z tym że po przeciwnej stronie. Podobnie oznaczono punkt A prim, przy czym znajduje się on poza trapezem. Na drugiej prostej, czyli prostej C D w analogiczny sposób zaznaczono punkty B prim leżący poza trapezem i D prim należący do przekątnej B D. Trapez będący odbiciem symetrycznym to trapez C prim D prim A prim B prim, gdzie odcinek C prim D prim to dolna podstawa, odcinek B prim A prim to górna podstawa, odcinek D prim A prim to prawe ramię trapezu, a B prim C prim to lewe ramię figury. Oba trapezy mają to samo pole, odbite odcinki zachowują swoje długości, a figury częściowo się pokrywają. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Narysuj dwa równoległe i równe odcinki $K L$ i $M N$ . Znajdź punkt $S$ , względem którego odcinek $K L$ jest symetryczny do odcinka $M N$ .

Rqpf5SQDJnwK3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mamy dwa równoległe odcinki o takiej samej długości $K L$ i $M N$ . Znajdź punkt $S$ , względem którego odcinek $K L$ jest symetryczny do odcinka $M N$ . Jak wyznaczyć punkt $S$ ? Opisz własnymi słowami.

Rg6QW2M4cYh3h

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zbuduj równoległobok, którego bokami są narysowane odcinki $K L$ i $M N$ . Znajdź punkt przecięcia przekątnych.

Na bazie tych dwóch odcinków można zbudować równoległobok, dzięki któremu można łatwo wyznaczyć punkt $S$ .

Punkty $L$ i $M$ są symetryczne względem punktu $S$ , również punkty $K$ i $N$ są symetryczne względem punktu $S$ .

RWZJTnHwJYUCY

Ilustracja przedstawia dwa ukośne równoległe odcinki o równej długości K L oraz M N. Na bazie tych odcinków zbudowano równoległobok, czyli połączono linią przerywaną punkty K oraz M, a także N oraz L. Narysowano następnie przekątne równoległoboku K M N L. Punkt przecięcia przekątnych to punkt S. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Narysuj dwie proste równoległe $a$ i $b$ . Znajdź punkt $S$ , względem którego prosta $a$ będzie symetryczna do prostej $b$ . Czy istnieje tylko jeden taki punkt?

R3ng1jF6brSWV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mamy dwie proste równoległe $a$ i $b$ . Znajdź punkt $S$ , względem którego prosta $a$ będzie symetryczna do prostej $b$ . Czy istnieje tylko jeden taki punkt? Opisz tę konstrukcję własnymi słowami.

Istnieje nieskończenie wiele punktów względem, których proste równoległe $a$ i $b$ są do siebie symetryczne.

Punkty symetrii składają się na prostą na rysunku opisaną jako $s$ . Jest ona położona w równej odległości od prostej $a$ i $b$ oraz jest do nich równoległa.

R4D81h8uRGfDj

Ilustracja przedstawia dwie niebieskie ukośne proste a i b, które są do siebie równoległe. Pomiędzy nimi znajduje się pomarańczowa ukośna prosta s będąca do nich równoległa. Odległości między a i s oraz b i s są równe. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.