Symetria względem punktu
W tym materiale poznasz definicje symetrii środkowej oraz figur symetrycznych względem punktu. Dowiesz się, w jaki sposób rozpoznać i narysować takie figury. Rozwiążesz zadania dotyczące tych zagadnień.
Zapoznaj się z filmem i rozwiąż poniższe zadanie.
Punkt jest symetryczny do punktu względem punktu ( jest obrazem punktu w symetrii względem punktu ) jeżeli
leży na prostej po przeciwnej stronie punktu niż punkt ,
jego odległość od punktu jest równa odległości punktu od punktu .
Symetrię względem punktu nazywamy symetrią środkową.
Punkt jest środkiem odcinka .
Obrazem punktu w symetrii względem tego punktu jest punkt .
Jeżeli punkt jest obrazem punktu w symetrii względem punktu , to punkt jest obrazem punktu w tej samej symetrii.
Zapoznaj się z poniższym apletem opisującym konstrukcję punktu w symetrii środkowej.
Zauważmy, że aby skonstruuować punkt w symetrii środkowej, zamiast okręgu wystarczy narysować łuk. Wówczas konstrukcja przyjmie postać jak na poniższej animacji.
Opis konstrukcji:
Kreślimy półprostą .
Wykreślamy łuk o środku w punkcie i promieniu .
Punkt przecięcia tego łuku z półprostą oznaczamy . Jest on poszukiwanym obrazem punktu w symetrii środkowej względem .
Figury symetryczne względem punktu
Figury i przedstawione na rysunku są symetryczne względem punktu . Oznacza to, że każdy punkt figury jest obrazem odpowiedniego punktu należącego do figury w symetrii względem punktu .
W symetrii środkowej obrazem:
odcinka jest odcinek tej samej długości,
koła jest koło o tym samym promieniu,
wielokąta jest wielokąt o tym samym kształcie, obwodzie i polu.
Jeżeli jest obrazem figury w symetrii względem punktu , to figura jest obrazem figury w tej samej symetrii.
Przykłady figur symetrycznych względem punktu
Oto przykłady figur środkowosymetrycznych.
Część figury składającej się z ośmiu łuków przekształcono w symetrii względem punktu .
Dokończ to przekształcenie, przemieszczając odpowiednie łuki.
Łuki można przemieszczać, zaczepiając kursor za punkty wyróżnione czerwonym kolorem.
Zastanów się i odpowiedz na poniższe pytania.
Narysuj dowolny trójkąt . Znajdź obraz tego trójkąta w symetrii względem punktu:
będącego jednym z jego wierzchołków,
leżącego wewnątrz trójkąta,
leżącego na zewnątrz trójkąta,
leżącego na jednym z boków trójkąta,
leżącego na jednej z wysokości trójkąta.
Jak będzie się przedstawiał obraz trójkąta w symetrii względem punktu:
będącego jednym z jego wierzchołków,
leżącego wewnątrz trójkąta,
leżącego na zewnątrz trójkąta,
leżącego na jednym z boków trójkąta,
leżącego na jednej z wysokości trójkąta.
Który z punktów jest symetryczny do punktu względem punktu ?
Narysuj dowolny trapez nie będący równoległobokiem. Znajdź obraz tego trapezu w symetrii względem punktu przecięcia jego przekątnych.
Jak będzie przedstawiał się dowolny trapez nie będący równoległobokiem, który odbijemy w symetrii względem punktu przecięcia jego przekątnych? Opisz własnymi słowami.
Narysuj dwa równoległe i równe odcinki i . Znajdź punkt , względem którego odcinek jest symetryczny do odcinka .
Mamy dwa równoległe odcinki o takiej samej długości i . Znajdź punkt , względem którego odcinek jest symetryczny do odcinka . Jak wyznaczyć punkt ? Opisz własnymi słowami.
Narysuj dwie proste równoległe i . Znajdź punkt , względem którego prosta będzie symetryczna do prostej . Czy istnieje tylko jeden taki punkt?
Mamy dwie proste równoległe i . Znajdź punkt , względem którego prosta będzie symetryczna do prostej . Czy istnieje tylko jeden taki punkt? Opisz tę konstrukcję własnymi słowami.