Zapoznaj się z przykładowymi obliczeniami pokazującymi jak wyznaczyć punkty przecięcia dwóch prostych. Zastanów się, jak mógłby wyglądać program sprawdzający, czy dwa wykresy funkcji mają punkt przecięcia.

Układ równań dwóch prostych ma postać:
$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}\right.$

Przykład 1.

Układ równań:
$\left\{\begin{array}{l}1x+\left(-1\right)y=0\\ -1x+\left(-1\right)y=-1\end{array}\right.$

Obliczamy wyznaczniki macierzy:
$W=\begin{vmatrix} a_1 &b_1 \newline a_2 &b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-b_1a_2=1\cdot(-1)-(-1)\cdot(-1)=-2$
$W_x=\begin{vmatrix} c_1 &b_1 \newline c_2 &b_2 \end{vmatrix}=c_1b_2-b_1c_2=0\cdot(-1)-(-1)\cdot(-1)=-1$
$W_y=\begin{vmatrix} a_1 &c_1 \newline a_2 &c_2 \end{vmatrix}=a_1c_2-c_1a_2=1\cdot(-1)-0\cdot(-1)=-1$

Rozwiązanie:
$x=\frac{W_x}{W}=\frac{-1}{-2}=0,5$
$y=\frac{W_y}{W}=\frac{-1}{-2}=0,5$

Odpowiedź: Punktem przecięcia się dwóch prostych jest punkt o współrzędnych $(0,5,\ 0,5)$.

Przykład 2.

Układ równań:
$\left\{\begin{array}{l}0x+\left(-2\right)y=-0,5\\ -2x+1,5y=-1\end{array}\right.$

Obliczamy wyznaczniki macierzy:
$W=\begin{vmatrix} a_1 &b_1 \newline a_2 &b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-b_1a_2=0\cdot 1,5-(-2)\cdot(-2)=-4$
$W_x=\begin{vmatrix} c_1 &b_1 \newline c_2 &b_2 \end{vmatrix}=c_1b_2-b_1c_2=(-0,5)\cdot 1,5-(-2)\cdot(-1)=-2,75$
$W_y=\begin{vmatrix} a_1 &c_1 \newline a_2 &c_2 \end{vmatrix}=a_1c_2-c_1a_2=0\cdot(-1)-(-0,5)\cdot(-2)=-1$

Rozwiązanie:
$x=\frac{W_x}{W}=\frac{-2,75}{-4}=0,6875$
$y=\frac{W_y}{W}=\frac{-1}{-4}=0,25$

Odpowiedź: Punktem przecięcia się dwóch prostych jest punkt o współrzędnych $(0,6875,\ 0,25)$.

Przykład 3.

Układ równań:
$\left\{\begin{array}{l}0,7x+\left(-1,1\right)y=-0,2\\ -1,2x+0,5y=-0,3\end{array}\right.$

Obliczamy wyznaczniki macierzy:
$W=\begin{vmatrix} a_1 &b_1 \newline a_2 &b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-b_1a_2=0,7\cdot 0,5-(-1,1)\cdot(-1,2)=-0,97$
$W_x=\begin{vmatrix} c_1 &b_1 \newline c_2 &b_2 \end{vmatrix}=c_1b_2-b_1c_2=(-0,2)\cdot 0,5-(-1,1)\cdot(-0,3)=-0,43$
$W_y=\begin{vmatrix} a_1 &c_1 \newline a_2 &c_2 \end{vmatrix}=a_1c_2-c_1a_2=0,7\cdot(-0,3)-(-0,2)\cdot(-1,2)=-0,45$

Rozwiązanie:
$x=\frac{W_x}{W}=\frac{-0,43}{-0,97}=0,4433$
$y=\frac{W_y}{W}=\frac{-0,45}{-0,97}=0,4639$

Odpowiedź: Punktem przecięcia się dwóch prostych jest punkt o współrzędnych $(0,4433,\ 0,4639)$.