Szacowanie wyrażeń zawierających pierwiastki

Jak można oszacować dany pierwiastek? Szukamy dwóch pierwiastków leżących na osi liczbowej najbliżej szacowanego pierwiastka. Szukane pierwiastki muszą się pierwiastkować do liczby wymiernej. Jeden z nich musi być większy, a drugi mniejszy od szacowanego pierwiastka. W celu lepszego zrozumienia tematu, przyjrzyj się poniższym przykładom.

Przykład 1

RnlSQ7r83plHb1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

R11s82BSPp2Y01

Przykład 3

R1XpJ9ItPccZO1

Przykład 4

Porównajmy liczby $\frac{\sqrt{19} - 2}{8}$ oraz $0, 44$ .

Na początku szacujemy liczbę $\sqrt{19}$ , czyli szukamy dwóch pierwiastków, których wartości są liczbami całkowitymi, a które znajdują się na osi liczbowej najbliżej liczby $\sqrt{19}$ .

Zatem

$\sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25}$ ,

$4 < \sqrt{19} < 5$ .

Następnie przekształcamy nierówność tak, aby otrzymać szacowane wyrażenie.

$4 < \sqrt{19} < 5 | - 2$

$2 < \sqrt{19} - 2 < 3 | : 8$

$\frac{2}{8} < \frac{\sqrt{19} - 2}{8} < \frac{3}{8}$

$0, 25 < \frac{\sqrt{19} - 2}{8} < 0,375 < 0, 44$ .

Stąd otrzymujemy, że

$\frac{\sqrt{19} - 2}{8} < 0, 44$ .

RKii61DbRqxEX1

Ćwiczenie 1

$\sqrt{40}$
$\sqrt{50}$
$\sqrt[3]{130}$
$\sqrt[3]{215}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1eUqG6WvrQdz1

Ćwiczenie 2

$2,29$
$28$
$2,27$
$2,30$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1INjdQHJxe1k2

Ćwiczenie 3

Wskaż dwie kolejne liczby całkowite, między którymi znajduje się podana liczba niewymierna. Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Tu uzupełnij

< \sqrt{7} <

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

< \sqrt{15} <

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

< \sqrt{91} <

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

< \sqrt{153} <

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

< \sqrt{680} <

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

< \sqrt[3]{11} <

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

< \sqrt[3]{- 29} <

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

< \sqrt[3]{- 78} <

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

< \sqrt[3]{200} <

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

< \sqrt[3]{342} <

Tu uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgryoNJHkYA8M2

Ćwiczenie 4

Połącz w pary liczbę niewymierną i liczbę naturalną, która jest jej najbliższa.

\sqrt{13}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt{27}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt{75}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt{154}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt[3]{20}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt[3]{180}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt[3]{500}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

\sqrt[3]{1101}

Możliwe odpowiedzi: 1.

9

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

4

, 5.

8

, 6.

10

, 7.

12

, 8.

6

Połącz w pary liczbę niewymierną i liczbę naturalną, która jest jej najbliższa.

$\sqrt{13}$
$\sqrt{27}$
$\sqrt{75}$
$\sqrt{154}$
$\sqrt[3]{20}$
$\sqrt[3]{180}$
$\sqrt[3]{500}$
$\sqrt[3]{1101}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rn6j6imiDj9M72

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzO0jGZdwMO0H2

Ćwiczenie 6

$\sqrt{31}$
$\sqrt{33}$
$\sqrt{34}$
$\sqrt{35}$
$\sqrt{24}$
$\sqrt{37}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7D9JDp6Qc1502

Ćwiczenie 7

$\sqrt{26}$
$\sqrt{27}$
$\sqrt{29}$
$\sqrt{30}$
$\sqrt{25}$
$\sqrt{36}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RK6NmByvvhH2s2

Ćwiczenie 8

$\sqrt{257}$
$\sqrt{260}$
$\sqrt{262}$
$\sqrt{267}$
$\sqrt{273}$
$\sqrt{280}$
$\sqrt{285}$
$\sqrt{288}$
$\sqrt{289}$
$\sqrt{256}$
$\sqrt{255}$
$\sqrt{290}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUJbQ1Dw6hOC92

Ćwiczenie 9

$\sqrt{401}$
$\sqrt{409}$
$\sqrt{411}$
$\sqrt{432}$
$\sqrt{426}$
$\sqrt{430}$
$\sqrt{437}$
$\sqrt{440}$
$\sqrt{400}$
$\sqrt{441}$
$\sqrt{443}$
$\sqrt{398}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17YIj4Bv0R7I2

Ćwiczenie 10

$\sqrt[3]{28}$
$\sqrt[3]{30}$
$\sqrt[3]{41}$
$\sqrt[3]{46}$
$\sqrt[3]{50}$
$\sqrt[3]{61}$
$\sqrt[3]{27}$
$\sqrt[3]{64}$
$\sqrt[3]{66}$
$\sqrt[3]{25}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RykDZnmwOB4fz2

Ćwiczenie 11

$\sqrt[3]{218}$
$\sqrt[3]{334}$
$\sqrt[3]{252}$
$\sqrt[3]{300}$
$\sqrt[3]{316}$
$\sqrt[3]{243}$
$\sqrt[3]{216}$
$\sqrt[3]{343}$
$\sqrt[3]{215}$
$\sqrt[3]{346}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RU5no1tIPavQ12

Ćwiczenie 12

$\sqrt[3]{1121}$
$\sqrt[3]{1011}$
$\sqrt[3]{1330}$
$\sqrt[3]{1265}$
$\sqrt[3]{1191}$
$\sqrt[3]{1223}$
$\sqrt[3]{1000}$
$\sqrt[3]{1331}$
$\sqrt[3]{1421}$
$\sqrt[3]{999}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VXfWTCGKyTe1

Ćwiczenie 13

Dostępne opcje do wyboru:

>

>

<

<

>

<

>

>

. Polecenie: Która z liczb jest większa, a która mniejsza? Przeciągnij i upuść odpowiedni znak.

\sqrt{18} + \sqrt{7}

luka do uzupełnienia

5

3 \sqrt{6}

luka do uzupełnienia

7

\sqrt{40}

luka do uzupełnienia

3 \sqrt{5}

\sqrt{20} + \sqrt{20}

luka do uzupełnienia

\sqrt{40}

4 \sqrt[3]{65}

luka do uzupełnienia

16

\sqrt[3]{80} - \sqrt[3]{10}

luka do uzupełnienia

\sqrt[3]{70}

\sqrt{10} + \sqrt[3]{30}

luka do uzupełnienia

\sqrt{40}

\sqrt[3]{600} + \sqrt[3]{250}

luka do uzupełnienia

\sqrt{210}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKBuYPwCtQHBC2

Ćwiczenie 14

Uporządkuj liczby kolejności rosnącej.

$3 + \sqrt{15}$
$\sqrt{17} + 1$
$2 + \sqrt{19}$
$\sqrt{10} + \sqrt{5}$
$\sqrt{14} + \sqrt{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rlo9mbRX0sJAj3

Ćwiczenie 15

Przybliżenia jakich pierwiastków podano poniżej? Przeciągnij i upuść. 1.

\sqrt{44}

, 2.

\sqrt[3]{8}

, 3.

\sqrt{17}

, 4.

\sqrt{13}

, 5.

\sqrt{42}

, 6.

\sqrt[3]{13}

, 7.

\sqrt[3]{39}

, 8.

\sqrt[3]{12}

, 9.

\sqrt{19}

, 10.

\sqrt{12}

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt[3]{7}

, 13.

\sqrt{18}

, 14.

\sqrt[3]{14}

, 15.

\sqrt[3]{9}

, 16.

\sqrt[3]{38}

, 17.

\sqrt{40}

, 18.

\sqrt[3]{40}

\approx 3,32

\sqrt{44}

, 2.

\sqrt[3]{8}

, 3.

\sqrt{17}

, 4.

\sqrt{13}

, 5.

\sqrt{42}

, 6.

\sqrt[3]{13}

, 7.

\sqrt[3]{39}

, 8.

\sqrt[3]{12}

, 9.

\sqrt{19}

, 10.

\sqrt{12}

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt[3]{7}

, 13.

\sqrt{18}

, 14.

\sqrt[3]{14}

, 15.

\sqrt[3]{9}

, 16.

\sqrt[3]{38}

, 17.

\sqrt{40}

, 18.

\sqrt[3]{40}

\approx 4,12

\sqrt{44}

, 2.

\sqrt[3]{8}

, 3.

\sqrt{17}

, 4.

\sqrt{13}

, 5.

\sqrt{42}

, 6.

\sqrt[3]{13}

, 7.

\sqrt[3]{39}

, 8.

\sqrt[3]{12}

, 9.

\sqrt{19}

, 10.

\sqrt{12}

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt[3]{7}

, 13.

\sqrt{18}

, 14.

\sqrt[3]{14}

, 15.

\sqrt[3]{9}

, 16.

\sqrt[3]{38}

, 17.

\sqrt{40}

, 18.

\sqrt[3]{40}

\approx 6,32

\sqrt{44}

, 2.

\sqrt[3]{8}

, 3.

\sqrt{17}

, 4.

\sqrt{13}

, 5.

\sqrt{42}

, 6.

\sqrt[3]{13}

, 7.

\sqrt[3]{39}

, 8.

\sqrt[3]{12}

, 9.

\sqrt{19}

, 10.

\sqrt{12}

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt[3]{7}

, 13.

\sqrt{18}

, 14.

\sqrt[3]{14}

, 15.

\sqrt[3]{9}

, 16.

\sqrt[3]{38}

, 17.

\sqrt{40}

, 18.

\sqrt[3]{40}

\approx 1,91

\sqrt{44}

, 2.

\sqrt[3]{8}

, 3.

\sqrt{17}

, 4.

\sqrt{13}

, 5.

\sqrt{42}

, 6.

\sqrt[3]{13}

, 7.

\sqrt[3]{39}

, 8.

\sqrt[3]{12}

, 9.

\sqrt{19}

, 10.

\sqrt{12}

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt[3]{7}

, 13.

\sqrt{18}

, 14.

\sqrt[3]{14}

, 15.

\sqrt[3]{9}

, 16.

\sqrt[3]{38}

, 17.

\sqrt{40}

, 18.

\sqrt[3]{40}

\approx 2,29

\sqrt{44}

, 2.

\sqrt[3]{8}

, 3.

\sqrt{17}

, 4.

\sqrt{13}

, 5.

\sqrt{42}

, 6.

\sqrt[3]{13}

, 7.

\sqrt[3]{39}

, 8.

\sqrt[3]{12}

, 9.

\sqrt{19}

, 10.

\sqrt{12}

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt[3]{7}

, 13.

\sqrt{18}

, 14.

\sqrt[3]{14}

, 15.

\sqrt[3]{9}

, 16.

\sqrt[3]{38}

, 17.

\sqrt{40}

, 18.

\sqrt[3]{40}

\approx 3,36

Przeciągnij i upuść.

$\sqrt{42}$ , $\sqrt{19}$ , $\sqrt{44}$ , $\sqrt{11}$ , $\sqrt[3]{13}$ , $\sqrt[3]{40}$ , $\sqrt[3]{7}$ , $\sqrt[3]{12}$ , $\sqrt{13}$ , $\sqrt[3]{9}$ , $\sqrt{18}$ , $\sqrt{40}$ , $\sqrt[3]{38}$ , $\sqrt{12}$ , $\sqrt[3]{14}$ , $\sqrt[3]{39}$ , $\sqrt[3]{8}$ , $\sqrt{17}$

............ $\approx 3,32$
............ $\approx 4,12$
............ $\approx 6,32$
............ $\approx 1,91$
............ $\approx 2,29$
............ $\approx 3,36$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że liczba $a$ jest większa od liczby $b$ . Nie używaj kalkulatora.

$a = \sqrt{105}$ , $b = \sqrt[3]{1050}$
$a = 15 \sqrt[3]{4}$ , $b = \sqrt{450}$

R1ViqG9SLBW2F

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W pierwszym podpunkcie liczbę $a$ zapisz jako pierwiastek kwadratowy z $100 \cdot 1, 05$ . W $b$ z kolei liczbę pod pierwiastkiem zapisz w postaci iloczynu sześcianu pewnej liczby całkowitej oraz takiego samego czynnika, jak w liczbie $a$ .

W podpunkcie drugim przedstaw liczbę $b$ jako iloczyn liczby naturalnej i pierwiastka takiej liczby, aby wygodnie było porównać ją z liczbą $a$ .

Zauważmy, że $\sqrt{105} = \sqrt{100 \cdot 1, 05} = 10 \sqrt{1, 05}$ oraz $\sqrt[3]{1050} = \sqrt[3]{1000 \cdot 1, 05} = 10 \sqrt[3]{1, 05}$ . Ponieważ $\sqrt{1, 05} > \sqrt[3]{1, 05}$ , to liczba $a$ jest większa od liczby $b$ .
Zauważmy, że $\sqrt{450} = 15 \sqrt{2}$ . Ponieważ $\sqrt[3]{4} > \sqrt{2}$ , to liczba $a$ jest większa od liczby $b$ .