Wykres funkcji f(x)=a/x

Learning objectives

You will get to know the method of drawing the graph of function $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$.

You will get to know the properties of function $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ on the basis of its graph.

Learning effect

• You will learnt to draw the graph of function $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$.

• You will learn to define the properties of function $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ on the basis of its graph.

Recollect the relationship between two inversely proportional magnitudes.
Find examples of inversely proportional magnitudes in your surroundings.
The aim of the class is getting to know the graph of functiongraph of functiongraph of function describing inverse proportionality. You will also get to know the graph of functiongraph of functiongraph of function $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, defined for any number x different from zero.

Task 1

RW0rh0LuaINcH1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Using the chart draw the graph of functiongraph of functiongraph of function $f\left(x\right)=\frac{4}{x}$ for $x>0$.

x	1	2	4	8
f(x)	4	2	1	0,5

Check the correctness of your drawing.

ROKNNr0FE5rhQ1

Część wykresu funkcji f(x) = 4 dzielone przez x leżąca w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Rm2hj4OaS2cOl1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Answer the following questions.

• In which quadrant of the coordinate systemcoordinate systemcoordinate system is the graph located?

• How is the graph located with respect to the axes of the coordinate systemcoordinate systemcoordinate system?

Task 2

R1SE8j9OhJZVg1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Analyse the material presented in the applet. Discuss the properties of functionfunctionfunction $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ with respect to the sign of coefficient $a$.

RTOJhGM320HYr1

Aplet geogebra: Wykres funkcji f(x)=a/x. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Aplet geogebra: Wykres funkcji f(x)=a/x. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DXHYMR5k5

RAKA0BGIc0ZBd

Po lewej stronie rysunku umieszczony jest napis: Graph of the function y równa się, ułamek zwykły, w liczniku a, w mianowniku x, depending on a. Poniżej napisu znajdują się dwa okienka decyzyjne. Lewe okienko oznaczone jest: a większe od zera. Prawe okienko oznaczone jest: a mniejsze od zera. Po prawej stronie rysunku narysowany jest układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Na osi umieszczone są liczby od minus dziesięciu do dziesięciu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Na osi umieszczone są liczby od minus jedenastu do dziewięciu.

R6ZtRJWaoZN1a1

Po lewej stronie rysunku umieszczony jest napis: Graph of the function y równa się, ułamek zwykły, w liczniku a, w mianowniku x, depending on a. Poniżej napisu znajdują się dwa okienka decyzyjne. Lewe okienko - zaznaczone, opisane: a większe od zera. Prawe okienko niezaznaczone, opisane: a mniejsze od zera. Poniżej znajduje się suwak ustawiony w pozycji a równa się pięć. Po prawej stronie rysunku narysowany jest układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Na osi umieszczone są liczby od minus dziesięciu do dziesięciu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Na osi umieszczone są liczby od minus jedenastu do dziewięciu. W pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych narysowany jest wykres funkcji y równa się, ułamek zwykły, w liczniku pięć, w mianowniku x. Na wykresie zaznaczony jest punkt, którego współrzędna x równa się jeden, oraz y jest równy pięć. Punkt ten jest wierzchołkiem wyróżnionego prostokąta, którego dwa boki leżą na osiach układu współrzędnych i jednym z wierzchołków jest początek układu współrzędnych.

RYxp7qWF1rtnP

Po lewej stronie rysunku umieszczony jest napis: Graph of the function y równa się, ułamek zwykły, w liczniku a, w mianowniku x, depending on a. Poniżej napisu znajdują się dwa okienka decyzyjne. Lewe okienko - niezaznaczone, opisane: a większe od zera. Prawe okienko zaznaczone, opisane: a mniejsze od zera. Poniżej znajduje się suwak ustawiony w pozycji a równa się minus 3. Po prawej stronie rysunku narysowany jest układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Na osi umieszczone są liczby od minus dziesięciu do dziesięciu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Na osi umieszczone są liczby od minus jedenastu do dziewięciu. W drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych narysowany jest wykres funkcji y równa się minus, ułamek zwykły, w liczniku trzy, w mianowniku x. Na wykresie zaznaczony jest punkt, którego współrzędna x równa się minus trzy, oraz y jest równy jeden. Punkt ten jest wierzchołkiem wyróżnionego prostokąta, którego dwa boki leżą na osiach układu współrzędnych i jednym z wierzchołków jest początek układu współrzędnych.

• The graph of functiongraph of functiongraph of function $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ is a hyperbola, located in the first and the third quadrant of the coordinate systemcoordinate systemcoordinate system when $a>0$ (in the second and the fourth quadrant when $a<0$).

• The arms of the hyperbola are located symmetrically with respect to the origin of the coordinate systemcoordinate systemcoordinate system.

• Lines $x=0$ and $y=0$ are the asymptotes of the graph.

• The domain of the functiondomain of the functiondomain of the function is a set of real number different from zero.

• The set of values is the set of real number different from zero.

• If $a>0$ function f is decreasing in every interval $(-\infty ,0)$ and $(0,+\infty )$.

• If $a<0$ function f is increasing in every interval $(-\infty ,0)$ and $(0,+\infty )$.

• The functionfunctionfunction has no roots.

Use the information to solve the tasks.

Task 5

An extra task:

RIVriJa2fXwI51

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Solve the task in the graphic representation. There is a 200 kilometers long railway between towns A and B. What time is needed to cover the distance by:

1. A handcar moving with the speed of $25 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

2. A railway safety inspector cycling along the rails with the speed of $\mathrm{12,5} \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

3. A goods train moving with the speed of $40 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

4. A Stopping train moving with the speed of $100 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Mark the points corresponding to the times and speeds of particular vehicles. What relationship do you notice? Sketch the shape of this relationship.

RXVIg3x18b7BI1

Rysunek układu współrzędnych prędkości wyrażonej w kilometrach na godzinę do czasu wyrażonego w godzinach. Oś odciętych oznaczona jest jako speed w nawiasie kwadratowym kilometry na godzinę km ukośnik h. Znajdują się na niej wartości 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200. Oś rzędnych oznaczona jest jako time w nawiasie kwadratowym godziny h Znajdują się na niej wartości 0, 10, 20.

Having finished all the tasks, do the consolidation tasks.

• The graph of functiongraph of functiongraph of function $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ is a hyperbola, located in the first and the third quadrant of the coordinate systemcoordinate systemcoordinate system when $a>0$ (in the second and the fourth quadrant when $a<0$).

• The arms of the hyperbola are located symmetrically with respect to the origin of the coordinate systemcoordinate systemcoordinate system.

• Lines $x=0$ and $y=0$ are the asymptotes of the graph.

• The domain of the functiondomain of the functiondomain of the function is a set of real number different from zero.

• The set of values is the set of real number different from zero.

• If $a>0$ function f is decreasing in every interval $(-\infty ,0)$ and $(0,+\infty )$.

• If $a<0$ function f is increasing in every interval $(-\infty ,0)$ and $(0,+\infty )$.

• The functionfunctionfunction has no roots.

Exercises

Glossary

Keywords

asymptotes of a hyperbolaasymptotes of a hyperbolaasymptotes of a hyperbola

domain of the functiondomain of the functiondomain of the function

graph of functiongraph of functiongraph of function

hyperbolehyperbolehyperbole

set of values of a functionset of values of a functionset of values of a function