Temat

Wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje. Uczeń:

13) posługuje się funkcją $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zadaniach praktycznych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Sporządzanie wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$.

3. Określanie własności funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ na podstawie jej wykresu.

Efekty uczenia

Uczeń:

- sporządza wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$,

- określa własności funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ na podstawie jej wykresu.

Metody kształcenia

1. Burza mózgów.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przypominają, jaka jest zależność między dwiema wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Metodą burzy mózgów szukają przykładów wielkości odwrotnie proporcjonalnych w otaczającej ich rzeczywistości.

Swoje obserwacje zapisują na planszach i umieszczają je na tablicy.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć będzie poznanie wykresu funkcji opisującej proporcjonalność odwrotną. Poznają też wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, określonej dla dowolnej liczby $x$ różnej od zera.

Uczniowie sporządzają wykresy proporcjonalności odwrotnej.

Polecenie
Korzystając z tabelki, sporządź wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{4}{x}$ dla $x>0$.

[Tabela]

Sprawdź poprawność wykonanego rysunku.

[Ilustracja 1]

Sformułuj odpowiedzi na poniższe pytania:
- W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się wykres?
- Jak położony jest wykres względem osi układu współrzędnych?

Uczniowie pracując w grupach, korzystając z apletu, analizują wykresy funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ dla $x\ne 0$ i określają ich własności.

Polecenie
Przeanalizuj materiał zawarty w aplecie. Omów własności funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ w zależności od znaku współczynnika $a$.

[Geogebra aplet]

Uczniowie powinni zauważyć, że:
- Wykresem funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ jest hiperbola, położona w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, gdy $a>0$ (w drugiej i czwartej gdy $a<0$).

- Ramiona hiperboli położone są symetrycznie względem początku układu współrzędnych.

- Proste $x=0$ i $y=0$ są asymptotami wykresu.

- Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera.

- Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera.

- Jeżeli $a>0$ funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty ,0)$ oraz $(0,+\infty )$.

- Jeżeli $a<0$ funkcja f jest rosnąca w każdym z przedziałów $(-\infty ,0)$ oraz $(0,+\infty )$.

- Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Uczniowie, wykorzystują poznane wiadomości do rozwiązywania zadań.

Polecenie
Naszkicuj wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{-4}{x}$. Podaj jej wartość najmniejszą oraz największą w przedziale .

Polecenie
Punkt P ( - 1, 8) należy do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$. Wyznacz wartość współczynnika $a$.

Polecenie dla chętnych:
Rozwiąż graficznie zadanie.
Między miastem A i B biegnie linia kolejowa o długości 200 kilometrów. W jakim czasie pokonają ten dystans:
1. Drezyna kolejowa poruszająca się z prędkością 25 $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.
2. Inspektor bezpieczeństwa kolejowego jadący wzdłuż torów rowerem z prędkością 12,5 $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.
3. Pociąg towarowy poruszający się z prędkością 40 $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.
4. Pociąg osobowy 100 $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Zaznacz na wykresie punkty odpowiadające czasom i prędkościom poszczególnych pojazdów. Jaką zależność zauważasz? Naszkicuj kształt tej zależności.

[Ilustracja 2]

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające i wspólnie podsumowują zajęcia formułując wnioski do zapamiętania.

Wnioski:
- Wykresem funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ jest hiperbola, położona w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, gdy $a>0$ (w drugiej i czwartej gdy $a<0$).

- Ramiona hiperboli położone są symetrycznie względem początku układu współrzędnych.

- Proste $x=0$ i $y=0$ są asymptotami wykresu.

- Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera.

- Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera.

- Jeżeli $a>0$ funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty ,0)$ oraz $(0,+\infty )$.

- Jeżeli $a<0$ funkcja f jest rosnąca w każdym z przedziałów $(-\infty ,0)$ oraz $(0,+\infty )$.

- Funkcja nie ma miejsc zerowych.