The power of the measurable exponent

R1SI3r42jhkfA

Potęga o wykładniku wymiernym

Learning objectives

You will learn the definition and the properties of angles of the circles.
You will learn how to make use of the properties of angles in circles.

Learning effect

You recognize angles in circles. You can apply the properties of angles in the circle.
You can describe the ways of applying the properties of angles in circles in English.

Think what you remember about exponentiation and the rules of exponentiation.

The aim of the lesson is to learn the definitions and properties of powers with rational exponents.

Definitions of powers with rational exponents

Definition: Definitions of powers with rational exponents

RoMMZJqAmGKfu1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

For any non‑negative number $a$ and a natural number $n$ greater than 1 we accept:

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

For a natural number $n$ greater than 1, an integer $m$ and a positive number $a$ we accept:

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Task 1

Analyze the material presented in the interactive illustration. Make hypotheses and check them. Formulate the rules of powers with a rational exponentexponentexponent.

RlkhJWFMQtIAy

Power with a rational exponent

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Properties of powers with rational exponents

Definition: Properties of powers with rational exponents

R1dd18p8WBG481

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

For any number $a > 0$ , the natural number $n > 1$ and the integer $m$ , we assume:

a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{m}

Conclusion:

The rules of the powers with a rational exponentexponentexponent are the same as the rules of operations on powers with a whole exponentexponentexponent.

Work on your own and solve the tasks.

Task 2

RGmaakVn5Qfc61

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate.

a) $64^{\frac{1}{3}}$

b) $243^{- \frac{1}{3}}$

c) $(\frac{81}{625})^{- 0, 75}$

d) $(\frac{27}{8})^{- \frac{4}{3}}$

Task 3

RGmaakVn5Qfc61

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate.

a) $2 \cdot 16^{- 1, 5} \cdot 32^{1, 2}$

b) $(3^{\frac{1}{3}} \cdot 27^{\frac{2}{3}} \cdot 81)^{- 0, 75}$

c) $4^{- 4} \cdot 64^{\frac{2}{3}} \cdot 256^{\frac{5}{4}}$

Task 4

R4lUNaq8gDY6L1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Write the number in the form of one power with a rational exponent.

a) $3 \sqrt{3 \sqrt{3}}$

b) $5 \sqrt{25 \sqrt[3]{125}}$

c) $81 \cdot \sqrt[3]{9 \sqrt{9}}$

d) $16 \sqrt[3]{4 \sqrt{256}}$

Task 5

RGmaakVn5Qfc61

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate.

a) $72^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 12^{\frac{1}{3}} \cdot 12^{\frac{2}{3}}$

b) $32^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} + 6^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{1}{3}}$

Task 6

RxbP99LkCBWeE1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate the value of the following expressions.

a) $3 \cdot 0, 3^{- 1} + 4 \cdot 8^{\frac{2}{3}} - 12 \cdot 27^{- \frac{1}{3}}$

b) $(0, 125^{- \frac{2}{3}} \cdot 0, 25^{2}) + (81^{0, 5} \cdot 9^{- 2})^{- 0, 25}$

Task 7

R1Oj1BLAop6Lm1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Simplify your expression by applying the rules of operations on the powers. Provide the necessary assumptions.

a) $x^{0, 5} \cdot x^{- 1, 25}$

b) $x^{\frac{2}{3}} : {(\sqrt[3]{x})}^{5}$

c) $\sqrt{x} \cdot x^{0, 75} : x^{- 0, 5}$

Task 8

R5PGfnyAvk6XT1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

An extra task:

Prove, that the number ${(7 + \sqrt{24})}^{0, 5} - {(7 - \sqrt{24})}^{0, 5}$ is a whole number.

Do the revision exercises and formulate conclusions to remember.

Remember:

For any number $a > 0$ , the natural number $n > 1$ and the integer $m$ , we assume:
$a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{m}$
The rules of operations on powers with a rational exponentexponentexponent are the same as the rules of operations on powers with a whole exponent.

Exercises

R15SOyevny8c9

Exercise 1

Determine which sentence is true.

The value of the expression ${(\frac{9}{121})}^{- 0, 5}$ is equal $\frac{11}{3}$ .
The value of the expression $3 \cdot 7^{1, 5} + 4 \cdot 7^{1, 5}$ is equal 49.

Exercise 2

Prove, that the given equality is not true $(5 + 3^{0, 5})^{0, 5} - (5 - 3^{0, 5})^{0, 5} = 0$ .

Exercise 3

Describe in English the properties of operations on powers with a rational exponent.

Exercise 4

Rli4clMSJU5V7

Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.

potęgowanie - exponentiation
wykładnik potęgi - exponent
potęga o wykładniku wymiernym - power with a rational exponent
mnożenie potęg o tej samej podstawie - multiplication of powers with the same base
dzielenie potęg o tej samej podstawie - division of powers with the same exponent
dzielenie potęg o tych samych wykładnikach - division of powers with the same base

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RfpbzXFNz6xmg1

Match Polish terms with their English equivalents.

potęgowanie
multiplication of powers with the same base
wykładnik potęgi
potęga o wykładniku wymiernym
dzielenie potęg o tej samej podstawie
mnożenie potęg o tej samej podstawie
exponentation
power with a rational exponent
division of powers with the same base
exponent

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

division of powers with the same base

dzielenie potęg o tej samej podstawie

R1NgGjJUunDly1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: division of powers with the same base

division of powers with the same exponent

dzielenie potęg o tych samych wykładnikach

R1IHywVJnep4r1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: division of powers with the same exponent

exponent

wykładnik potęgi

R17XKT0RgNkyA1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: exponent

exponentation

potęgowanie

RFqLQBdqEmVgS1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: exponentation

multiplication of powers with the same base

mnożenie potęg o tej samej podstawie

R1U4SQHu1pC4p1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: multiplication of powers with the same base

multiplication of powers with the same exponent

mnożenie potęg o tych samych wykładnikach

RRvbXxMcEYYyS1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: multiplication of powers with the same exponent

power of the power

potęga potęgi

R5MW7WlMQUER31

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: power of the power

power with a rational exponent

potęga o wykładniku wymiernym

Rgx2RuMYONIMq1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: power with a rational exponent

Keywords

division of powers with the same basedivision of powers with the same basedivision of powers with the same base

exponentexponentexponent

exponentationexponentationexponentation

multiplication of powers with the same exponentmultiplication of powers with the same exponent

power with a rational exponentpower with a rational exponentpower with a rational exponent

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords