Temat

Potęga o wykładniku wymiernym

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;

4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie definicji potęgi o wykładniku wymiernym.

3. Poznanie działań na potęgach o wykładnikach wymiernych.

Efekty uczenia

Uczeń:

- zna definicję potęgi o wykładniku wymiernym,

- zna działania na potęgach o wykładnikach wymiernych.

Metody kształcenia

1. Diamentowe uszeregowanie.

2. Konkurs zadaniowy.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupach, metodą diamentowego uszeregowania przypominają wiadomości na temat potęgowania. Zebrane informacje umieszczają na planszach. Po zakończonej pracy prezentują swoje plansze.

Nauczyciel weryfikuje informacje i wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie definicji i własności potęg o wykładnikach wymiernych.

Definicja

- Dla dowolnej liczby nieujemnej a i liczby naturalnej n większej od 1 przyjmujemy:

- Dla liczby naturalnej n większej od 1, liczby całkowitej m i liczby dodatniej a przyjmujemy: 

Polecenie
Uczniowie, pracując parami, analizują materiał przedstawiony na Ilustracji interaktywnej. Stawiają hipotezy, sprawdzają je. Formułują prawa działań na potęgach o wykładniku wymiernym.

[Ilustracja interaktywna]

Definicja

- Dla dowolnej liczby a > 0, liczby naturalnej n > 1 i liczby całkowitej m przyjmujemy:

Wniosek:

- Prawa działań na potęgach o wykładniku wymiernym są takie same, jak prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym.

Uczniowie, pracując samodzielnie, biorą udział w konkursie zadaniowym.

Konkurs jest trzyetapowy. Za każde poprawnie wykonane obliczenia uczeń otrzymuje 1 punkt, za błędnie (-1). Do następnego etapu przechodzą ci uczniowie, którzy uzyskali minimum 3 punkty.

Zadania pierwszego etapu.

Polecenie 
Oblicz.

a) ${64}^{\frac{1}{3}}$

b) ${243}^{-\frac{1}{3}}$

c) $(\frac{81}{625}{)}^{-0,75}$

d) $(\frac{27}{8}{)}^{-\frac{4}{3}}$

Pocelecenie 
Oblicz.

a) $2·{16}^{-1,5}·{32}^{1,2}$

b) $(3^{\frac{1}{3}}·{27}^{\frac{2}{3}}·81{)}^{-0,75}$

c) $4^{-4}·{64}^{\frac{2}{3}}·{256}^{\frac{5}{4}}$

Zadania drugiego etapu.

Polecenie 
Zapisz liczbę w postaci jednej potęgi o wykładniku wymiernym.

a) $3\sqrt{3\sqrt{3}}$

b) $5\sqrt{25\sqrt[3]{125}}$

c) $81·\sqrt[3]{9\sqrt{9}}$

d) $16\sqrt[3]{4\sqrt{256}}$

Polecenie 
Oblicz.

a) ${72}^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{1}{2}}+{12}^{\frac{1}{3}}·{12}^{\frac{2}{3}}$

b) ${32}^{\frac{1}{3}}·2^{\frac{1}{3}}+6^{\frac{1}{3}}·{36}^{\frac{1}{3}}$

Zadania trzeciego etapu.

Polecenie 
Oblicz wartość wyrażenia.

a) $3·0,3^{-1}+4·8^{\frac{2}{3}}-12·{27}^{-\frac{1}{3}}$

b) $(0,{125}^{-\frac{2}{3}}·0,{25}^2)+({81}^{0,5}·9^{-2}{)}^{-0,25}$

Nauczyciel podsumowuje wyniki konkursu. Uczniowie, którzy uzyskali największą liczbę punktów są nagradzani ocenami.

Korzystając z nowych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadanie.

Polecenie 
Uprość wyrażenie, stosując prawa działań na potęgach. Podaj konieczne założenia.

a) $x^{0,5}·x^{-1,25}$

b) $x^{\frac{2}{3}}:{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^5$

c) $\sqrt{x}·x^{0,75}:x^{-0,5}$

Polecenie dla chętnych:
Wykaż, że liczba ${(7+\sqrt{24})}^{0,5}-{(7-\sqrt{24})}^{0,5}$ jest liczbą całkowitą.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują  informacje  do zapamiętania.

- Dla dowolnej liczby a > 0, liczby naturalnej n > 0 i liczby całkowitej m przyjmujemy:

- Prawa działań na potęgach o wykładniku wymiernym są takie same, jak prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym.