The product and the quotient of powers of the same exponents

R1SI3r42jhkfA

Iloczyn i iloraz potęg o takich samych wykładnikach

Learning objectives

Applying the theorem about the product and the quotient of powers of the same exponents.
Calculating values of powers using the theorem about the product and the quotient of powers of the same exponents.

Learning effect

You apply the theorem about the product and the quotient of powers of the same exponents.
You calculate values of powers using the theorem about the product and the quotient of powers of the same exponents.

Analyse the examples.

Example 1

$3^{3} \cdot 4^{3} = (3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = (3 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 4) = {(3 \cdot 4)}^{3}$

$2^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2} = (2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 7) = 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 = (2 \cdot 5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5 \cdot 7) = {(2 \cdot 5 \cdot 7)}^{2}$

R1Iy2Tw3TGCGc1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Think about relations between bases of the multiplied powers of the same exponents and the base and exponent of the product. Consider the problem based on own examples.

Check your assumptions using computer and draw a conclusion.

RnWT0evUsNMmO1

Conclusion:

R1DTLF6zaYCVr1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The product of powers of the same exponentsproduct of powers of the same exponentsproduct of powers of the same exponents is equal to the power of the same exponent and the base equal to the product of the multiplied powers’ bases.
$a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}$
where:
n - is a natural number different than 0.

RgeI4bKp3UiqC1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Discussion – what formula will be obtained if we divide powers of the same exponent?

Give proper examples. Using the division of fractions, write down division in the form of multiplication, where one of the elements is the reverse of the divisor.

Conclusion:

RIMLccxtEIUPT1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The quotient of powers of the same exponentsquotient of powers of the same exponents is equal to the power of the same exponent and base equal to the quotient of the bases of the dividend and the divisor.
$\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$
for $b \neq 0$ and natural number n greater than 0.

Task 1

Calculate.

a) $2^{4} \cdot {(\frac{1}{4})}^{4}$

b) $(- 3)^{3} \cdot {(- \frac{1}{27})}^{3}$

c) ${(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(- 8)}^{2}$

d) ${(- 0, 01)}^{2} \cdot 10^{2}$

Task 2

Write without parentheses.

a) ${(4 x)}^{2}$

b) ${(\frac{1}{3} x y)}^{4}$

c) ${(0, 2 x^{2})}^{2}$

d) ${(3 x^{3} \cdot \frac{1}{4} y)}^{2}$

Task 3

Calculate.

a) $4^{3} : (- 4)^{3}$

b) ${(\frac{1}{3})}^{1} : 9^{1}$

c) $0, 1^{5} : 0, 2^{5}$

d) ${(- \frac{1}{4})}^{2} : {(- \frac{1}{16})}^{2}$

Task 4

Write without parentheses.

a) ${(2 x : y)}^{3}$

b) ${(3 x : y)}^{4}$

c) ${(0, 2 : x^{2})}^{2}$

d) ${(5 x^{2} : 4 y)}^{3}$

Task 5

Calculate.

a) ${(9 a^{2} b)}^{2}$

b) ${(3 a^{2} b^{2} : 3 a)}^{2}$

c) ${(3 a : b^{3})}^{3}$

d) ${((9 a^{3} b) : (a b^{2}))}^{2}$

Task 6

An extra task:

Fill the base of the powerbase of the powerbase of the power:

otworzyć nawias zero przecinek sto dwadzieścia pięć zamknąć nawias do potęgi drugiej podzielić przez otworzyć nawias ułamek jeden podzielić przez osiem zamknąć nawias do potęgi drugiej podzielić przez dwa do potęgi drugiej równa się [tu uzupełnij] do potęgi drugiej.

Do the revision exercises.

Exercises

RqcoEI9BG1hIN

Exercise 1

The expression $(3 a^{0} b^{3} \cdot 3 {ab}^{0})^{3}$ is equal to:

$729 a^{3} b^{9}$
$729 a^{3} b^{6}$
$81 a^{3} b^{9}$
$81 a^{0} b^{9}$

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R1GWF5N2BYkU5

Exercise 2

The quotient $60^{12} {:(-30)}^{12}$ is equal to:

$20^{12}$
$(- 3)^{12}$
$(- 2)^{0}$
$2^{12}$

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Exercise 3

Write the product $2^{3} \cdot 5^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} \cdot 9^{3}$ in the form of power.

Describe the solution in English.

R19chf4bsREHv

Exercise 4

Match English terms with their Polish equivalents.

wykładnik potęgi, potęga o wykładniku naturalnym, iloraz potęg o takich samych wykładnikach, iloczyn potęg o takich samych wykładnikach, podstawa potęgi

product of powers of the same exponents
exponent of the power
quotient of powers of the same exponents
base of the power
power with the natural exponent

R1AzvtQvbd1jq1

Match Polish terms with their English equivalents.

wykładnik potęgi
product of powers of the same exponents
base of the power
iloczyn potęg o takich samych wykładnikach
exponent of the power
iloraz potęg o takich samych wykładnikach
quotient of powers of the same exponents
power with the natural exponent
podstawa potęgi
potęga o wykładniku naturalnym

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

base of the power

podstawa potęgi

RWjCYArYTpvLf1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: base of the power

exponent of the power

wykładnik potęgi

RSVErTVgTqUij1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: exponent of the power

power with the natural exponent

potęga o wykładniku naturalnym

RP58Jd9FciDz51

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: power with the natural exponent

product of powers of the same exponents

iloczyn potęg o takich samych wykładnikach

RMUOWOQCWU6h71

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: product of powers of the same exponents

quotient of powers of the same exponents

iloraz potęg o takich samych wykładnikach

Rq0NydIZ1rbEo1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: quotient of powers of the same exponents

Keywords

base of the powerbase of the powerbase of the power

exponent of the powerexponent of the powerexponent of the power

power with the natural exponentpower with the natural exponentpower with the natural exponent

product of powers of the same exponentsproduct of powers of the same exponentsproduct of powers of the same exponents - $a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$

quotient of powers of the same exponentsquotient of powers of the same exponents - $\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords