Temat

Iloczyn i iloraz potęg o takich samych wykładnikach

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

I. Potęgi o podstawach wymiernych. Uczeń:

3) mnoży potęgi o różnych podstawach i jednakowych wykładnikach.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.

Cele szczegółowe

1. Stosowanie twierdzeń o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych wykładnikach.

2. Obliczanie wartości potęg z wykorzystaniem twierdzeń o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych wykładnikach.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje twierdzenia o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych wykładnikach,

- oblicza wartości potęg o z wykorzystaniem twierdzeń o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych wykładnikach.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przypominają, że potęgowanie to skrócony zapis mnożenia. Podają odpowiednie przykłady.

Realizacja lekcji

Uczniowie analizują przykłady.

$3^3\cdot 4^3=(3\cdot 3\cdot 3)\cdot (4\cdot 4\cdot 4)=3\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 4\cdot 4=(3\cdot 4)\cdot (3\cdot 4)\cdot (3\cdot 4)={(3\cdot 4)}^3$

$2^5\cdot 5^2\cdot 7^2=(2\cdot 2)\cdot (5\cdot 5)\cdot (7\cdot 7)=2\cdot 5\cdot 7\cdot 2\cdot 5\cdot 7=(2\cdot 5\cdot 7)\cdot (2\cdot 5\cdot 7)={(2\cdot 5\cdot 7)}^2$

Wspólnie zastanawiają się, jaka jest zależność między podstawami mnożonych potęg o takich samych wykładnikach, a podstawą oraz wykładnikiem iloczynu. Rozważają problem, na podstawie własnych przykładów.

Polecenie
Sprawdzają swoje przypuszczenia, korzystając z komputerów i zapisują wniosek.

[Slideshow]

Wniosek:

- Iloczyn potęg o takich samych wykładnikach jest równy potędze o takim samym wykładniku i podstawie równej iloczynowi podstaw mnożonych potęg
$a^n\cdot b^n={(a\cdot b)}^n$ 
gdzie: 
n - to liczba naturalna różna od zera.

Dyskusja – jaki wzór otrzymamy, gdy będziemy dzielić potęgi o takim samym wykładniku?

Uczniowie podają odpowiednie przykłady. Korzystając z dzielenia ułamków, zapisują dzielenie w postaci mnożenia, którego jednym z czynników jest odwrotność dzielnika.

Uczniowie powinni wyciągnąć następujący wniosek:

- Iloraz potęg o takich samych wykładnikach jest równy potędze o takim samym wykładniku i podstawie równej ilorazowi podstaw dzielnej i dzielnika $\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$ dla $b\ne 0$ oraz liczby naturalnej n większej od zera.

Uczniowie dzielą się na grupy. Nauczyciel zadaje kolejno każdej z grup po jednym pytaniu, odpowiednio z polecenia 1, 2, 3, 4 i 5.

Czas na rozwiązanie 1 min. Grupa, która bezbłędnie w określonym czasie odpowie na wszystkie zadane pytania, otrzymuje trzy „plusy lub ocenę.

Polecenie
Oblicz.

a) $2^4·{\left(\frac{1}{4}\right)}^4$

b) $(-3{)}^3·{\left(-\frac{1}{27}\right)}^3$

c) ${\left(\frac{{\displaystyle 1}}{2}\right)}^2·{\left(-8\right)}^2$

d) ${\left(-0,01\right)}^2·{10}^2$

Polecenie
Zapisz bez użycia nawiasów.

a) ${\left(4x\right)}^2$

b) ${\left(\frac{{\displaystyle 1}}{3}xy\right)}^4$

c) ${\left(0,2x^2\right)}^2$

d) ${\left(3x^3·\frac{1}{4}y\right)}^2$

Polecenie
Oblicz.

a) $4^3:(-4{)}^3$

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^1:9^1$

c) $0,1^5:0,2^5$

d) ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^2:{\left(-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 16}}\right)}^2$

Polecenie
Zapisz bez użycia nawiasów.

a) ${\left(2x:y\right)}^3$

b) ${\left(3x:y\right)}^4$

c) ${\left(0,2:x^2\right)}^2$

d) ${\left(5x^2:4y\right)}^3$

Polecenie
Oblicz.

a) ${\left(9a^{2}b\right)}^2$

b) ${\left(3a^2{b}^2:3a\right)}^2$

c) ${\left(3a:b^3\right)}^3$

d) ${\left(\left(9a^{3}b\right):\left(a{b}^2\right)\right)}^2$

Polecenie dla chętnych:
Uzupełnij podstawę potęgi.

${(0,125)}^2:{\left(\frac{1}{8}\right)}^2:2^2=..{.}^2$

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

- Iloczyn potęg o takich samych wykładnikach jest równy potędze o takim  samym wykładniku i podstawie równej iloczynowi podstaw mnożonych potęg
$a^n\cdot b^n={(a\cdot b)}^n$ 
gdzie: 
n - to liczba naturalna różna od zera.

- Iloraz potęg o takich samych wykładnikach jest równy potędze o takim samym wykładniku i podstawie równej ilorazowi podstaw dzielnej i dzielnika $\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$ dla $b\ne 0$ oraz liczby naturalnej n większej od zera.