Each pair of numbers that satisfies the given system of first degree equations with two unknowns is called the solution of the given system of equationssolution of the given system of equationssolution of the given system of equations
A system of first degree equations with two unknowns that has exactly one solution is consistent and independent.
A system of first degree equations with two unknowns that has infinitely many solutions is consistent and dependent.
A system of first degree equations with two unknowns that has no solutions is inconsistent.
Open the interactive illustration, that presents the way of solving equations using the substitution methodsubstitution methodsubstitution method and watch it carefully.
RK206ZEcjyPb0
Ilustracja interaktywna przedstawia rozwiązanie przykładowego układu równań metodą podstawiania. Wybrane kroki obliczeń zostały oznaczone ponumerowanymi przyciskami. Do rozwiązania jest układ równań: w klamrze 2 x równa się 5 odjąć 3 y oraz 4 x odjąć 2 y równa się 26. Pierwsze równanie jest podzielone stronami przez 2. Kolejny etap: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz 4 x odjąć 2 y równa się 26. Pierwsze z równań: x równa się 2,5 odjąć 1,5 y zostało oznaczone przyciskiem 1. Kolejny etap: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz 4 w nawiasie 2,5 odjąć 1,5 y, poza nawiasem odjąć 2 y równa się 26. Podstawienie 2,5 odjąć 1,5 y w miejsce x w drugim z równań zostało oznaczone przyciskiem 2. Kolejne trzy etapy zostały oznaczone przyciskiem 3: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz 10 odjąć 6 y odjąć 2 y równa się 26; poniżej: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz minus 6 y odjąć 2 y równa się 26 odjąć 10; poniżej: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz minus 8 y równa się 16, drugie z równań podzielone stronami przez minus 8. Kolejny etap: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz y równa się minus 2. Kolejny etap: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 razy w nawiasie minus 2 oraz y równa się minus 2. Podstawienie minus 2 w miejsce y w pierwszym z równań zostało oznaczone przyciskiem 4. Kolejny etap: w klamrze x równa się 2,5 dodać 3 oraz y równa się minus 2. Kolejny etap: w klamrze x równa się 5,5 oraz y równa się minus 2. Ostatni układ równań został oznaczony przyciskiem 5. Na ilustracji widoczne są numery, a na nich podpisy. 1. We isolate x from the first equation {audio}, 2. We substitute the obtained expression for the x in the second equation. {audio}, 3. After the substitution, the second equation becomes an equation with one unknown y – we solve it. We rewrite the first equation in the same form. {audio}, 4. After calculating the value of y, we substitute it to the first equation and by making proper operations, we calculate the value of x. {audio}, 5. The pair of numbers that is the solution of the system of equations. {audio}.
Ilustracja interaktywna przedstawia rozwiązanie przykładowego układu równań metodą podstawiania. Wybrane kroki obliczeń zostały oznaczone ponumerowanymi przyciskami. Do rozwiązania jest układ równań: w klamrze 2 x równa się 5 odjąć 3 y oraz 4 x odjąć 2 y równa się 26. Pierwsze równanie jest podzielone stronami przez 2. Kolejny etap: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz 4 x odjąć 2 y równa się 26. Pierwsze z równań: x równa się 2,5 odjąć 1,5 y zostało oznaczone przyciskiem 1. Kolejny etap: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz 4 w nawiasie 2,5 odjąć 1,5 y, poza nawiasem odjąć 2 y równa się 26. Podstawienie 2,5 odjąć 1,5 y w miejsce x w drugim z równań zostało oznaczone przyciskiem 2. Kolejne trzy etapy zostały oznaczone przyciskiem 3: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz 10 odjąć 6 y odjąć 2 y równa się 26; poniżej: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz minus 6 y odjąć 2 y równa się 26 odjąć 10; poniżej: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz minus 8 y równa się 16, drugie z równań podzielone stronami przez minus 8. Kolejny etap: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 y oraz y równa się minus 2. Kolejny etap: w klamrze x równa się 2,5 odjąć 1,5 razy w nawiasie minus 2 oraz y równa się minus 2. Podstawienie minus 2 w miejsce y w pierwszym z równań zostało oznaczone przyciskiem 4. Kolejny etap: w klamrze x równa się 2,5 dodać 3 oraz y równa się minus 2. Kolejny etap: w klamrze x równa się 5,5 oraz y równa się minus 2. Ostatni układ równań został oznaczony przyciskiem 5. Na ilustracji widoczne są numery, a na nich podpisy. 1. We isolate x from the first equation {audio}, 2. We substitute the obtained expression for the x in the second equation. {audio}, 3. After the substitution, the second equation becomes an equation with one unknown y – we solve it. We rewrite the first equation in the same form. {audio}, 4. After calculating the value of y, we substitute it to the first equation and by making proper operations, we calculate the value of x. {audio}, 5. The pair of numbers that is the solution of the system of equations. {audio}.
If, while solving the system of equations, the equation which we substitute has exactly one solution, then the solution of the system is exactly one pair of numbers, which means it is consistent and independent.
If, while solving the system of equations, the equation which we substitute is an identity, then the system of equations has infinitely many solutions, which means it is consistent and dependent.
If, while solving the system of equations, the equation which we substitute is a contradiction, then the system of equations has no solutions, which means it is inconsistent.
Task 4
An extra task:
What equation needs to be added to the equation:
in order to obtain a consistent dependent system. Justify your choice by solving the system using the substitution methodsubstitution methodsubstitution method.
Exercises
Exercise 1
Rw0gpHB3U4yaT
By isolating x from the equation , we will obtain: Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4.
By isolating x from the equation , we will obtain: Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4.
By isolating <math >x from the equation , we will obtain:
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 2
Solve the system of equations using the substitution method:
Exercise 3
Solve the system of equations using the substitution method. Describe in English the operations that need to be done:
Exercise 4
RnL1dGmtcU8G4
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. układ równań oznaczony - consistent and independent system of equations, 2. układ równań nieoznaczony - consistent and dependent system of equations, 3. układ równań sprzeczny - inconsistent system of equations, 4. układ równań pierwszego stopnia - first degree system of equations, 5. rozwiązanie układu równań - substitution method, 6. metoda podstawiania - solution of the given system of equations
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. układ równań oznaczony - consistent and independent system of equations, 2. układ równań nieoznaczony - consistent and dependent system of equations, 3. układ równań sprzeczny - inconsistent system of equations, 4. układ równań pierwszego stopnia - first degree system of equations, 5. rozwiązanie układu równań - substitution method, 6. metoda podstawiania - solution of the given system of equations
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
układ równań oznaczony - consistent and independent system of equations
układ równań nieoznaczony - consistent and dependent system of equations
układ równań sprzeczny - inconsistent system of equations
układ równań pierwszego stopnia - first degree system of equations
rozwiązanie układu równań - substitution method
metoda podstawiania - solution of the given system of equations
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R10uB6VlZex181
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
solution of the given system of equations
układ równań oznaczony
układ równań nieoznaczony
rozwiązanie danego układu równań
układ równań pierwszego stopnia
consistent and dependent system of equations
consistent and independent system of equations
inconsistent system of equations
układ równań sprzeczny
first degree system of equations
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Glossary
consistent and dependent system of equations
consistent and dependent system of equations
układ równań nieoznaczony
RSiaEpXv5feH31
wymowa w języku angielskim: consistent and dependent system of equations
wymowa w języku angielskim: consistent and dependent system of equations