The aim of the lesson is to determine the method of calculating the sum of consecutive terms of the arithmetic sequencesequencesequence.
Analyze the material contained in the animation carefully. Formulate the appropriate conclusion.
RlxZIjBXkZyTj
Ilustracja interaktywna pokazuje sposób wyprowadzenia wzoru na obliczanie sumy początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Wybrane elementy zostały oznaczone ponumerowanymi przyciskami. Na górze znajduje się napis Formula for the sum of n initial terms of the arithmetic sequence. Poniżej na kartce znajduje się wzór: S z indeksem dolnym n koniec indeksu dolnego, równa się ułamek, w liczniku a z indeksem dolnym jeden koniec indeksu dolnego, dodać a z indeksem dolnym n koniec indeksu dolnego, w mianowniku dwa, cały ułamek pomnożony przez n. Obok S z indeksem dolnym n, koniec indeksu dolnego, oznaczone numerem 1, a z indeksem dolnym jeden, koniec indeksu dolnego, oznaczone numerem 2, a z indeksem dolnym n, koniec indeksu dolnego, oznaczone numerem 3, n oznaczone numerem 4. Poniżej napis: After taking into account the dependence on the nth term of the arithmetic sequence. Niżej wzór: a z indeksem dolnym n, koniec indeksu dolnego, równa się a z indeksem dolnym jeden, koniec indeksu dolnego, dodać w nawiasie n odjąć jeden, zamknąć nawias pomnożone przez r. Poniżej napis: We get. Niżej wzór: S z indeksem dolnym n, koniec indeksu dolnego, równa się ułamek, w liczniku dwa razy a z indeksem dolnym jeden, koniec indeksu dolnego, dodać w nawiasie n odjąć jeden, zamknąć nawias pomnożone przez r, w mianowniku dwa, cały ułamek pomnożony przez n. Obok S z indeksem dolnym n, koniec indeksu dolnego, oznaczone numerem 5, a z indeksem dolnym jeden, koniec indeksu dolnego, oznaczone numerem 6, r oznaczone numerem 7, n oznaczone przyciskiem 8. Na ilustracji widoczne są numery, a na nich podpisy. 1. sum of n initial terms of the arithmetic sequence {audio}, 2. the first term of the arithmetic sequence {audio}, 3. the nth term of the arithmetic sequence {audio}, 4. number of terms of the arithmetic sequence {audio}, 5. sum of n initial terms of the arithmetic sequence {audio}, 6. the first term of the arithmetic sequence {audio}, 7. difference of the arithmetic sequence {audio}, 8. number of terms of the arithmetic sequence {audio}
Ilustracja interaktywna pokazuje sposób wyprowadzenia wzoru na obliczanie sumy początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Wybrane elementy zostały oznaczone ponumerowanymi przyciskami. Na górze znajduje się napis Formula for the sum of n initial terms of the arithmetic sequence. Poniżej na kartce znajduje się wzór: S z indeksem dolnym n koniec indeksu dolnego, równa się ułamek, w liczniku a z indeksem dolnym jeden koniec indeksu dolnego, dodać a z indeksem dolnym n koniec indeksu dolnego, w mianowniku dwa, cały ułamek pomnożony przez n. Obok S z indeksem dolnym n, koniec indeksu dolnego, oznaczone numerem 1, a z indeksem dolnym jeden, koniec indeksu dolnego, oznaczone numerem 2, a z indeksem dolnym n, koniec indeksu dolnego, oznaczone numerem 3, n oznaczone numerem 4. Poniżej napis: After taking into account the dependence on the nth term of the arithmetic sequence. Niżej wzór: a z indeksem dolnym n, koniec indeksu dolnego, równa się a z indeksem dolnym jeden, koniec indeksu dolnego, dodać w nawiasie n odjąć jeden, zamknąć nawias pomnożone przez r. Poniżej napis: We get. Niżej wzór: S z indeksem dolnym n, koniec indeksu dolnego, równa się ułamek, w liczniku dwa razy a z indeksem dolnym jeden, koniec indeksu dolnego, dodać w nawiasie n odjąć jeden, zamknąć nawias pomnożone przez r, w mianowniku dwa, cały ułamek pomnożony przez n. Obok S z indeksem dolnym n, koniec indeksu dolnego, oznaczone numerem 5, a z indeksem dolnym jeden, koniec indeksu dolnego, oznaczone numerem 6, r oznaczone numerem 7, n oznaczone przyciskiem 8. Na ilustracji widoczne są numery, a na nich podpisy. 1. sum of n initial terms of the arithmetic sequence {audio}, 2. the first term of the arithmetic sequence {audio}, 3. the nth term of the arithmetic sequence {audio}, 4. number of terms of the arithmetic sequence {audio}, 5. sum of n initial terms of the arithmetic sequence {audio}, 6. the first term of the arithmetic sequence {audio}, 7. difference of the arithmetic sequence {audio}, 8. number of terms of the arithmetic sequence {audio}
The sum of n initial terms of the arithmetic sequencesequencesequence is equal to the arithmetic mean of the first and last terms multiplied by the number of terms of the sequenceterms of the sequenceterms of the sequence.
Find the content of the theorem on the sum of terms of the arithmetic sequencearithmetic sequencearithmetic sequence in available sources.
the sum of the terms of the arithmetical sequence
Theorem: the sum of the terms of the arithmetical sequence
The sum of of the initial n terms of the arithmetic sequence is equal:
Using the theorem learnt solve the tasks provided.
How many numbers do you have to insert between 20 and 254 to get an arithmetic sequence, whose sum is 2055?
13 numbers
Task 5
An extra task:
Solve the equation 2 + 4 + 6 +... + 2(x + 1) = 650 for x > 0, whose left side is the sum of consecutive terms of the arithmetic sequencearithmetic sequencearithmetic sequence.
x = 24
After solving all the tasks, do the revision exercises.
The sum of n initial terms of the arithmetic sequence is equal to the arithmetic mean of the first and last terms multiplied by the number of terms of the sequenceterms of the sequenceterms of the sequence.
Exercises
Exercise 1
RJyML4O242kEn
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The sum of a certain arithmetic sequence can be described with a formula . The third term of this sequence is equal to 12., 2. In the arithmetic sequence and . Then ., 3. The sum of all three-digit natural numbers equals ., 4. If the arithmetic sequence is described by the general formula , then the sum of .
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The sum of a certain arithmetic sequence can be described with a formula . The third term of this sequence is equal to 12., 2. In the arithmetic sequence and . Then ., 3. The sum of all three-digit natural numbers equals ., 4. If the arithmetic sequence is described by the general formula , then the sum of .
Determine which sentences are true.
The sum of a certain arithmetic sequence can be described with a formula . The third term of this sequence is equal to 12.
In the arithmetic sequence and . Then .
The sum of all three-digit natural numbers equals .
If the arithmetic sequence is described by the general formula , then the sum of .
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 2
The circumference of a right triangle is equal to 300. Determine the length of the sides of the triangle, knowing that the lengths of these sides form an arithmetic sequence.
75, 100, 125
Exercise 3
Describe the way of calculating the sum of n initial terms of the arithmetic sequence in English.
Exercise 4
Rz1CLzo4Lnopq
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. ciąg - sequence, 2. ciąg arytmetyczny - arithmetic sequence, 3. wyrazy ciągu - terms of the sequence, 4. suma ciągu arytmetycznego - sum of arithmetic sequence, 5. początkowe wyrazy ciągu - difference of arithmetic sequence, 6. różnica ciągu arytmetycznego - initial terms of the sequence
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. ciąg - sequence, 2. ciąg arytmetyczny - arithmetic sequence, 3. wyrazy ciągu - terms of the sequence, 4. suma ciągu arytmetycznego - sum of arithmetic sequence, 5. początkowe wyrazy ciągu - difference of arithmetic sequence, 6. różnica ciągu arytmetycznego - initial terms of the sequence
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
ciąg - sequence
ciąg arytmetyczny - arithmetic sequence
wyrazy ciągu - terms of the sequence
suma ciągu arytmetycznego - sum of arithmetic sequence
początkowe wyrazy ciągu - difference of arithmetic sequence
różnica ciągu arytmetycznego - initial terms of the sequence
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RzaF1vxkHXfp61
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
Initial terms of the sequence
ciąg
suma ciągu arytmetycznego
ciąg arytmetyczny
początkowe wyrazy ciągu
terms of the sequence
arithmetic sequence
sum of arithmetic sequence
wyrazy ciągu
sequence
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.