Temat

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VI. Ciągi. Uczeń:

4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny;

5) stosuje wzór na n‑ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

3. Stosowanie wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Efekty uczenia

Uczeń:

- poznaje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,

- stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Metody kształcenia

1. Stoliki zadaniowe.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w dwóch  grupach, obliczają sumy kolejnych  wyrazów danych ciągów  arytmetycznych.

Stolik 1 - oblicza sumę 10 liczb naturalnych, które w dzieleniu przez 5
dają resztę 1 (przyjmij aIndeks dolny 1₁ = 1).

Odp.: 235.

Stolik 2 - oblicza sumę:  2 + 4 + 6 + … + 50.

Odp.: 650.

Uczniowie przedstawiają wyniki swoich rachunków  i sposób w jaki wykonywali obliczenia.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest  wyznaczenie sposobu obliczania sumy kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Uczniowie samodzielnie analizują Ilustrację interaktywną.

Polecenie 1

Przeanalizuj uważnie materiał zawarty w Ilustracji interaktywnej. Sformułuj odpowiedni wniosek.

[Ilustracja interaktywna]

Wniosek:

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazu pierwszego i ostatniego pomnożonej przez liczbę wyrazów tego ciągu.

Nauczyciel zapisuje sformułowany przez uczniów wniosek w postaci twierdzenia.

Twierdzenie – o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego:

Suma $S_n$ początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego $a_n$ jest równa:

Uczniowie, korzystając z poznanego twierdzenia, rozwiązują zadania.

Polecenie 2

W ciągu arytmetycznym ( aIndeks dolny n_n ): aIndeks dolny 1₁ = 5, r = -2. Oblicz sumę wyrazów tego ciągu  od dziesiątego do dwudziestego (włącznie).

Odp.: -253.

Polecenie 3

Ile liczb trzeba wstawić między liczby 20 i 254, aby otrzymać ciąg arytmetyczny, którego suma wynosi 2055?

Odp.: 13 liczb.

Polecenie dla chętnych

Rozwiąż równanianie 2 + 4 + 6 + ... + 2(x + 1) = 650 dla x > 0, którego lewa strona jest sumą kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Odp.: x = 24.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują wniosek do zapamiętania.

- Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazu pierwszego i ostatniego pomnożonej przez liczbę wyrazów tego ciągu.