You will develop the following competences: communicating in English, mathematical, IT and basic scientific and technical competence, your learning skills.
You will get to know a method of calculating the value of trigonometric functions for selected acute angles.
You will get to know a method of calculating the lengths of sides and measures of angles in a right triangle.
Learning effect
You will learn to calculate the value of trigonometric functions for selected acute angles.
You will learn to calculate the lengths of sides and measures of angles in a right triangle.
Recollect the definition of trigonometric functionstrigonometric functionstrigonometric functions of acute angles in a right triangle. Solving the following short task will be helpful.
A right triangle with legs 3 cm and 8 cm long is given. Calculate.
a) The value of the sinesinesine function for both acute angles of this triangle.
b) The value of the cosinecosinecosine function for both acute angles of this triangle.
c) The value of the tangenttangenttangent function for both acute angles of this triangle.
The aim of this class is getting to know the value of trigonometric functionstrigonometric functionstrigonometric functions of 30°, 45° and 60° angles.
Think – does a right triangle with one angle measuring 30° or 60° exist? If so, what is the relationship between the lengths of the sides in this triangle? Formulate a conclusion.
Conclusion:
The altitude divides an equilateral triangleequilateral triangleequilateral triangle into two right triangles. The measures of acute angles in each of the triangles equals 30° and 60°.
If the length of a side in an equilateral triangleequilateral triangleequilateral triangle is 1, in the formed right triangle the lengths of the legs are and , the length of the hypotenuse is 1.
Using the conclusion, calculate the value of trigonometric functionstrigonometric functionstrigonometric functions of 30° and 60° angles.
Check the correctness of the table analyzing the material presented in the Interactive illustration.
R1cjmgF9y63B4
Ilustracja interaktywna przedstawia po lewej stronie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości jedna druga i pierwiastek z trzech przez dwa oraz przeciwprostokątnej długości 1. Kąt naprzeciwko boku długości jedna druga wynosi 30 stopni. Kąt naprzeciwko boku długości pierwiastek z trzech przez dwa wynosi 60 stopni. Po prawej stronie ilustracji znajduje się kartka z zapisanymi działaniami oznaczonymi numerami od 1 do 6. Numer 1: równa się ułamek, w liczniku jedna druga, w mianowniku jeden równa się jedna druga. Numer 2: równa się ułamek, w liczniku pierwiastek z trzech przez dwa, w mianowniku jeden równa się pierwiastek z trzech przez dwa. Numer 3: równa się ułamek, w liczniku jedna druga, w mianowniku pierwiastek z trzech przez dwa równa się jedna druga razy dwa przez pierwiastek z trzech równa się jeden przez pierwiastek z trzech równa się pierwiastek z trzech przez trzy. Numer 4: równa się ułamek, w liczniku pierwiastek z trzech przez dwa, w mianowniku jeden równa się pierwiastek z trzech przez dwa. Numer 5: równa się ułamek, w liczniku jedna druga, w mianowniku jeden równa się jedna druga. Numer 6: równa się ułamek, w liczniku pierwiastek z trzech przez dwa, w mianowniku jedna druga równa się pierwiastek z trzech przez dwa razy dwie pierwsze równa się pierwiastek z trzech. Na numerach widoczne są podpisy. 1. sin 30° {audio}, 2. cos 30° {audio}, 3. tg 30° {audio}, 4. sin 60° {audio}, 5. cos 60° {audio}, 6. tg 60° {audio}.
Ilustracja interaktywna przedstawia po lewej stronie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości jedna druga i pierwiastek z trzech przez dwa oraz przeciwprostokątnej długości 1. Kąt naprzeciwko boku długości jedna druga wynosi 30 stopni. Kąt naprzeciwko boku długości pierwiastek z trzech przez dwa wynosi 60 stopni. Po prawej stronie ilustracji znajduje się kartka z zapisanymi działaniami oznaczonymi numerami od 1 do 6. Numer 1: równa się ułamek, w liczniku jedna druga, w mianowniku jeden równa się jedna druga. Numer 2: równa się ułamek, w liczniku pierwiastek z trzech przez dwa, w mianowniku jeden równa się pierwiastek z trzech przez dwa. Numer 3: równa się ułamek, w liczniku jedna druga, w mianowniku pierwiastek z trzech przez dwa równa się jedna druga razy dwa przez pierwiastek z trzech równa się jeden przez pierwiastek z trzech równa się pierwiastek z trzech przez trzy. Numer 4: równa się ułamek, w liczniku pierwiastek z trzech przez dwa, w mianowniku jeden równa się pierwiastek z trzech przez dwa. Numer 5: równa się ułamek, w liczniku jedna druga, w mianowniku jeden równa się jedna druga. Numer 6: równa się ułamek, w liczniku pierwiastek z trzech przez dwa, w mianowniku jedna druga równa się pierwiastek z trzech przez dwa razy dwie pierwsze równa się pierwiastek z trzech. Na numerach widoczne są podpisy. 1. sin 30° {audio}, 2. cos 30° {audio}, 3. tg 30° {audio}, 4. sin 60° {audio}, 5. cos 60° {audio}, 6. tg 60° {audio}.
Calculating the value of trigonometric functions of 30° and 60° angles
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Think – does a right triangle with one angle measuring 45° exist? If so, what is the relationship between the lengths of the sides in this triangle? Formulate your conclusion.
Check the correctness of the table analyzing the material presented in the Interactive diagram.
RY9j9X9KHg3Vi
Ilustracja interaktywna przedstawia po lewej stronie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości jeden oraz kątach 45 stopni, 45 stopni i 90 stopni. Po prawej stronie ilustracji znajduje się kartka z zapisanymi działaniami oznaczonymi numerami od 1 do 3. Numer 1: równa się jeden przez pierwiastek z dwóch równa się pierwiastek z dwóch przez dwa. Numer 2: równa się jeden przez pierwiastek z dwóch równa się pierwiastek z dwóch przez dwa. Numer 3: równa się jeden przez jeden równa jeden. Na numerach widoczne są podpisy. 1. sin 45° {audio}, 2. cos 45° {audio}, 3. tg 45° {audio}.
Ilustracja interaktywna przedstawia po lewej stronie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości jeden oraz kątach 45 stopni, 45 stopni i 90 stopni. Po prawej stronie ilustracji znajduje się kartka z zapisanymi działaniami oznaczonymi numerami od 1 do 3. Numer 1: równa się jeden przez pierwiastek z dwóch równa się pierwiastek z dwóch przez dwa. Numer 2: równa się jeden przez pierwiastek z dwóch równa się pierwiastek z dwóch przez dwa. Numer 3: równa się jeden przez jeden równa jeden. Na numerach widoczne są podpisy. 1. sin 45° {audio}, 2. cos 45° {audio}, 3. tg 45° {audio}.
Calculating the value of trigonometric functions of 45° angle
In an equilateral triangleequilateral triangleequilateral triangle a leg has the length of 30 cm, and the base angle measures 30°. Calculate the lengths of all the altitudes of this triangle.
The diagonal of a rectangle measures 10 cm and one of the angles between the diagonals measures 60°. Calculate the lengths of the sides of the rectangle.
A ladder whose length is 8 m leans against the wall of a house at the angle measuring 30°. Does the ladder reach a window situated 6 m above the ground?
The altitude of a quadrangular right regular prism equals , and the area of its base is 36. Calculate the measure of the angle between the diagonal of the prism and its base.
Having finished all the tasks, do the consolidation tasks. Formulate the conclusions to memorize.
The table of the values of trigonometric functionstrigonometric functionstrigonometric functions of 30°, 45°, 60° angles.
α
30°
45°
60°
sin α
cos α
tg α
1
Exercises
R1cv84u9mFzQj
Exercise 1
Wersja alternatywna ćwiczenia: The cosine of acute angle α equals . So, the measure of angle α equals Możliwe odpowiedzi: 1. 30°, 2. 45°, 3. 60°, 4. 75°
Wersja alternatywna ćwiczenia: The cosine of acute angle α equals . So, the measure of angle α equals Możliwe odpowiedzi: 1. 30°, 2. 45°, 3. 60°, 4. 75°
The cosine of acute angle α equals . So, the measure of angle α equals
30°
45°
60°
75°
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 2
In a right trapezoid ABCD acute angle C measures 60°. The shorter diagonal has the length of 12 cm and forms an angle measuring 30° with base DC. Calculate the area and perimeter of the trapezoid.
,
.
Exercise 3
The hypotensue in a right triangle is 10 cm long and the shorter leg is 5 cm.
Describe in English how to find the value of trigonometric functions of the acute angles in this triangle.
RekYdhzvFAkMl
Exercise 4
Wersja alternatywna ćwiczenia: Match Polish terms with their English equivalents. sinus Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions trójkąt równoboczny Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions funkcje trygonometryczne Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions tangens Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions cosinus Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions kwadrat Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions
Wersja alternatywna ćwiczenia: Match Polish terms with their English equivalents. sinus Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions trójkąt równoboczny Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions funkcje trygonometryczne Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions tangens Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions cosinus Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions kwadrat Możliwe odpowiedzi: 1. tangent, 2. equilateral triangle, 3. square, 4. sine, 5. cosine, 6. trigonometric functions
Match Polish terms with their English equivalents.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
trigonometric functions
equilateral triangle
funkcje trygonometryczne
trójkąt równoboczny
sinus
tangens
cosine
sine
cosinus
tangent
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.