Temat

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VII. Trygonometria. Uczeń:

1) wykorzystuje definicje funkcji sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych.

3. Obliczanie długości boków i miar kątów w trójkącie prostokątnym.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych,

- oblicza długości boków i miary kątów w trójkącie prostokątnym.

Metody kształcenia

1. Konkurs zadaniowy.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie biorą udział w krótkim konkursie zadaniowym. Celem konkursu jest przypomnienie definicji funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie prostokątnym.

Polecenie konkursowe
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 cm i 8 cm. Oblicz.

a) Wartości funkcji sinus obu kątów ostrych tego trójkąta.

b)  Wartości funkcji cosinus obu kątów ostrych tego trójkąta.

c)  Wartości funkcji tangens obu kątów ostrych tego trójkąta.

Po rozwiązaniu zadań, nauczyciel ocenia prace uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Uczniowie, którzy najszybciej rozwiązali zadania, otrzymują „plusy”.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, 45° i 60°.

Dyskusja – czy istnieje trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów ma miarę 30° lub 60° ? Jeśli tak, to jaka jest zależność między długościami boków tego trójkąta? Uczniowie stawiają hipotezy, formułują wniosek.

Wniosek, jaki mogą sformułować uczniowie:

- Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa trójkąty prostokątne. Miary kątów ostrych w każdym  z takich trójkątów są równe 30° i 60°.

- Jeżeli długość boku trójkąta równobocznego jest równa 1, to w otrzymanym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $\frac{1}{2}$ i  $\frac{\sqrt{3}}{2}$, przeciwprostokątna ma długość 1.

Korzystając z wniosku, uczniowie obliczają wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30° i 60°.

Polecenie
Sporządzają tabelkę, zawierającą uzyskane wyniki.

[Tabela 1]

Polecenie
Sprawdzają poprawność zapisów w tabelce, analizując materiał przedstawiony na Ilustracji interaktywnej.

[Ilustracja interaktywna 1]

Dyskusja – czy istnieje trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów ma miarę 45°? Jeśli tak, to jaka jest zależność między długościami boków tego trójkąta? Uczniowie stawiają hipotezy, formułują wniosek.

Wniosek, jaki mogą sformułować uczniowie:

- Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Miary kątów ostrych w każdym z tych trójkątów są równe 45°.

- Jeżeli długość boku kwadratu jest równa 1, to przyprostokątne też mają długość 1, a przeciwprostokątna $\sqrt{2}$.

Korzystając z wniosku, uczniowie obliczają wartości funkcji trygonometrycznych kąta 45°.

Polecenie
Sporządzają tabelkę, zawierającą uzyskane wyniki.

[Tabela 2]

Polecenie
Sprawdzają poprawność zapisów w tabelce, analizując materiał przedstawiony na Ilustracji interaktywnej.

[Ilustracja interaktywna 2]

Korzystając z poznanych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie
Oblicz.

a) 5 ∙ cos60° ∙ sin30° - cos30° ∙ sin60°

b) (sin45° + tg45°) ∙ (3∙sin60° – tg60°)

c) (cos45° – cos30°) ∙ (cos45° + cos30°)

d) (sin60° + cos30°)Indeks górny 2² – (sin30° + cos60°)Indeks górny 2²

Polecenie
W trójkącie równoramiennym ramię ma długość 30 cm, a kąt przy podstawie ma miarę 30°. Oblicz długości wszystkich wysokości tego trójkąta.

Polecenie
Przekątna prostokąta ma długość 10 cm, a jeden z kątów między przekątnymi ma miarę 60°. Oblicz długości boków prostokąta.

Polecenie
Drabina długości 8 m opiera się o ścianę domu pod kątem o mierze 30°. Czy drabina sięga do okna umieszczonego na wysokości 6 m?

Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Nauczyciel ocenia ich pracę i wyjaśnia wszystkie wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $6\sqrt{2}$, a pole jego podstawy wynosi 36. Oblicz miarę kąta, pod jakim przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do podstawy.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują wniosek do zapamiętania.

Tabelka wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, 45°, 60°.

[Tabela 3]