Trapez i jego rodzaje

Poznajemy trapez

W tym materiale zawarte są wiadomości dotyczące trapezów i ich rodzajów. Zapoznaj się z poniższą animacją, aby dowiedzieć się jakie figury nazywamy trapezami. Zastanów się, jaką wspólną cechę mają wszystkie narysowane figury.

R1KjlnfYIRDZM1
Animacja przedstawia, jakie figury możemy nazywać trapezami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1KjlnfYIRDZM

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia, jakie figury możemy nazywać trapezami.

1
Ćwiczenie 1

Zapoznaj się z poniższą grafiką, na której zamieszczono różne wielokąty.

R15FfRHcgV6gn1
Rysunek dziewięciu różnych wielokątów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dane są następujące wielokąty: trapez o różnych ramionach, kwadrat, romb, który nie jest kwadratem i równoległobok, który nie jest prostokątem.

R1IRXmeNzWwPH
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Wszystkie figury są czworokątami., 2. Wszystkie figury mają boki równej długości., 3. Wszystkie figury mają dwa boki równej długości., 4. Wszystkie figury mają co najmniej jeden kąt prosty., 5. Wszystkie figury mają równe kąty., 6. Wszystkie figury mają dwie pary boków równoległych., 7. Wszystkie figury mają przynajmniej jedną parę boków równoległych.

  • Wszystkie figury są czworokątami.
  • Wszystkie figury mają boki równej długości.
  • Wszystkie figury mają dwa boki równej długości.
  • Wszystkie figury mają co najmniej jeden kąt prosty.
  • Wszystkie figury mają równe kąty.
  • Wszystkie figury mają dwie pary boków równoległych.
  • Wszystkie figury mają przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Trapez
Definicja: Trapez

Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Rg8WtuGMd6Thv1
Rysunek trapezu A B C D. Zapis: AB równoległe do CD.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Równoległe boki trapezu nazywamy podstawami, pozostałe dwa boki – ramionami trapezu.

RV2rSrCPNiWNk1
Rysunek trapezu. Podpisane boki podstawa górna, ramię, podstawa dolna, ramię.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 1

Na każdym rysunku trzy punkty są wierzchołkami trapezu. Zaznacz czwarty wierzchołek zgodnie z poleceniem zamieszczonym w aplecie.

RSZ1Vb9H1ygkY1
Animacja przedstawia trzy różne trapezy. W pierwszym i drugim trapezie należy tak zmienić położenie jednego z wierzchołków trapezu, aby trapezy miały równe ramiona. W trzecim trapezie należy tak zmienić położenie jednego z wierzchołków trapezu, aby trapez miał podstawę dolną dwa razy dłuższą od podstawy górnej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/P17yWkVje

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uwaga:

Ostatni przykład ma więcej niż jedno prawidłowe rozwiązanie.

ReO50D1sIgcgY
Zaznacz wszystkie figury, które są trapezami Możliwe odpowiedzi: 1. Kwadrat, 2. Romb, 3. Prostokąt, 4. Równoległobok, 5. Czworokąt o każdym boku innej długości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 2

Na każdym rysunku trzy punkty są wierzchołkami trapezu. Zaznacz czwarty wierzchołek tak, aby trapez miał:

  1. ramiona różnej długości

  2. ramiona równej długości

  3. dolną podstawę dwa razy dłuższą od górnej

R1Rpo9LEyOTuD1
Dwa rysunki złożone z trzech punktów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RoBg0HSUclDaD
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RK5dBPJV7SiHW
Ćwiczenie 2
Zaznacz wszystkie własności, które musi spełniać każdy trapez. Możliwe odpowiedzi: 1. Musi posiadać minimum dwie pary boków równoległych., 2. Musi być czworokątem., 3. Musi posiadać minimum jedną parę boków równoległych., 4. Musi mieć podstawy równej długości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 3

Narysuj trapez, w którym podstawa górna ma długość 4 cm, dolna 10 cm, a ramiona mają długość 4 cm.

RZTOpZ5CsNppq
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz jak skonstruować trapez, w którym podstawa górna ma długość 4 cm, dolna 10 cm, a ramiona mają długość 4 cm.

R1Tq0DWozVdSa
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Własności trapezu

Zapoznaj się z poniższym apletem dotyczącym kątów wewnętrznych w trapezie.

Rriop2ZENv72l11
Animacja przedstawia trapez A B C D o różnych miarach kątów wewnętrznych. Zmieniając położenie wierzchołków C i D należy sprawdzać, ile wynosi suma kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu. Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu wynosi 180 stopni. Suma miar wszystkich kątów trapezu wynosi 360 stopni.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/P17yWkVje

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Własności trapezu

  • Co najmniej dwa boki trapezu są równoległe.

  • Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa 180°.

RFlp1iynBvLCR1
Rysunek trapezu. Zaznaczone kąty leżące przy jednym ramieniu alfa i delta oraz kąty leżące przy drugim ramieniu beta i gamma. Zapis: alfa + delta =180 stopni i beta + gamma =180 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 2

W trapezie dane są miary dwóch jego kątów. Oblicz miary pozostałych kątów trapezu.

RyW26h3zX2kGY1
Animacja przedstawia cztery różne trapezy, w których podane są miary dwóch kątów. Należy podać miary pozostałych kątów. W pierwszym trapezie przy jednym ramieniu kąty alfa i 81 stopni oraz kąty leżące przy drugim ramieniu beta i 31 stopni. W drugim trapezie przy jednym ramieniu kąty gamma i 135 stopni oraz kąty leżące przy drugim ramieniu delta i 162 stopnie. W trzecim trapezie przy jednym ramieniu kąty epsilon i 34 stopnie oraz kąty leżące przy drugim ramieniu dżeta i 104 stopnie. W czwartym trapezie przy jednym ramieniu kąty eta i 53 stopnie oraz kąty leżące przy drugim ramieniu theta i 127 stopni.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/P17yWkVje

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R94U8oyJoXs8G
Dany jest trapez, który ma kąty α i β przy jednym ramieniu oraz kąty γ i δ przy drugim ramieniu. W tym trapezie dane są miary dwóch jego kątów. Oblicz miary pozostałych kątów trapezu. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Jeżeli w trapezie miara kąta β wynosi 81°, a miara kąta δ wynosi 31°, to kąt α ma miarę Tu uzupełnij°, a kąt γ ma miarę Tu uzupełnij°. Jeżeli w trapezie miara kąta α wynosi 135°, a miara kąta γ wynosi 162°, to kąt β ma miarę Tu uzupełnij°, a kąt δ ma miarę Tu uzupełnij°. Jeżeli w trapezie miara kąta α wynosi 34°, a miara kąta δ wynosi 104°, to kąt β ma miarę Tu uzupełnij°, a kąt γ ma miarę Tu uzupełnij°. Jeżeli w trapezie miara kąta β wynosi 127°, a miara kąta γ wynosi 53°, to kąt α ma miarę Tu uzupełnij°, a kąt δ ma miarę Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rodzaje trapezów

2
Ćwiczenie 4

Narysuj trapez:

  1. w którym każde ramię ma długość 4 cm,

  2. w którym jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw.

W obu trapezach poprowadź przekątne, porównaj ich długości oraz zmierz wszystkie kąty.

R1496scEz2p84
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dany jest trapez:

  1. w którym każde ramię ma długość 4 cm,

  2. w którym jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw.

W obu trapezach poprowadzono przekątne. Zastanów się jak mają się do siebie ich długości oraz jakie kąty ma ten trapez.

R1LGXFOwmtzWK1
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. W trapezie, którego ramiona są równej długości, kąty leżące przy tej samej podstawie mają 1. równej długości, 2. równe miary, 3. różne miary, 4. różnej długości, 5. ostre, 6. różnej długości, 7. równej długości, 8. rozwarte, 9. proste, a przekątne są 1. równej długości, 2. równe miary, 3. różne miary, 4. różnej długości, 5. ostre, 6. różnej długości, 7. równej długości, 8. rozwarte, 9. proste.W trapezie, którego jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw, dwa kąty są 1. równej długości, 2. równe miary, 3. różne miary, 4. różnej długości, 5. ostre, 6. różnej długości, 7. równej długości, 8. rozwarte, 9. proste, a przekątne 1. równej długości, 2. równe miary, 3. różne miary, 4. różnej długości, 5. ostre, 6. różnej długości, 7. równej długości, 8. rozwarte, 9. proste długości.

Narysuj w zeszycie trapez
a) w którym każde ramię ma długość 4 cm,
b) jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw.
W obu trapezach poprowadź przekątne, porównaj ich długości oraz zmierz wszystkie kąty.

Wybierz.

różnej długości, ostre, równej długości, różne miary, równe miary, równej długości, różnej długości, proste, rozwarte

W trapezie, którego ramiona są równej długości, kąty leżące przy tej samej podstawie mają ......................................, a przekątne są .......................................
W trapezie, którego jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw, dwa kąty są ...................................... , a przekątne ...................................... długości.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Trapez równoramienny
Definicja: Trapez równoramienny

Trapez, którego ramiona są równej długości i niebędący równoległobokiem, nazywamy trapezem równoramiennym.

RwpbkQcKx02dF1
Rysunek trapezu równoramiennego A B C D, gdzie A D i C B są jego ramionami. Zapis: długość A D = C B.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Własności trapezu równoramiennego

  • Przekątne trapezu równoramiennego są równej długości.

    RJO8KVMPou2Fz1
    Rysunek trapezu równoramiennego A B C D z poprowadzonymi przekątnymi A C i B D. Zapis: długość A C = B D.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Kąty przy tej samej podstawie mają równe miary.

    RVmZedIh3mHBC1
    Rysunek trapezu równoramiennego. Zaznaczone kąty leżące przy jednym ramieniu alfa i beta oraz kąty leżące przy drugim ramieniu alfa i beta.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trapez prostokątny
Definicja: Trapez prostokątny

Trapez, którego przynajmniej jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw, nazywamy trapezem prostokątnym.

RBt9OawBtEMhj1
Rysunek trapezu prostokątnego A B C D, o podstawach A B i C D. Zapis: AD prostopadłe do DC i AD prostopadłe do AB.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R9K5CWps2Gj7C11
Animacja przedstawia różne czworokąty. W każdym należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby powstał trapez równoramienny.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/P17yWkVje

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 5

Narysuj  brakujący wierzchołek czworokąta tak, aby powstał:

  1. trapez prostokątny,

    RZkjGkktYl5ul1
    Dwa rysunki złożone z trzech punktów.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. trapez równoramienny.

    R103sYOMPKhKF1
    Dwa rysunki złożone z trzech punktów.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RVOPzjsJQ8YHz
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RnoQrqmA2lkuN
Ćwiczenie 5
Które własności spełnia każda figura, która jest trapezem równoramiennym? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Figura jest czworokątem., 2. Figura ma przynajmniej jedną parę boków równoległych., 3. Figura ma przekątne równej długości., 4. Figura ma wszystkie boki równej długości., 5. Figura ma przynajmniej jeden kąt prosty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąty w trapezie – zadania

1
Polecenie 3

Oblicz miary pozostałych kątów w trapezie równoramiennym.

Rybqwf8yaVMM71
Aplet Geogebry

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/P17yWkVje

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSwLotJyQbhgN
Dany jest trapez równoramienny, który ma kąty α i β przy jednym ramieniu oraz kąty γ i δ przy drugim ramieniu. W tym trapezie kąty α i γ leżą przy krótszej podstawie, a kąty β i δ leżą przy dłuższej podstawie. Dana jest miara jednego kąta. Oblicz miary pozostałych kątów tego trapezu równoramiennego. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Jeżeli w tym trapezie miara kąta δ wynosi 45°, to miara kąta α wynosi Tu uzupełnij°, miara kąta β wynosi Tu uzupełnij° i miara kąta γ wynosi Tu uzupełnij°. Jeżeli w tym trapezie miara kąta α wynosi 110°, to miara kąta β wynosi Tu uzupełnij°, miara kąta γ wynosi Tu uzupełnij° i miara kąta γ wynosi Tu uzupełnij°. Jeżeli w tym trapezie miara kąta β wynosi 60°, to miara kąta α wynosi Tu uzupełnij°, miara kąta γ wynosi Tu uzupełnij° i miara kąta δ wynosi Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6
R1G0hbV8tTmJf1
Uzupełnij zdania wpisując w pola miary kątów. Kąt ostry trapezu prostokątnego ma miarę 38°. Kąt rozwarty tego trapezu ma miarę Tu uzupełnij°.Kąt ostry trapezu równoramiennego ma miarę 19°. Kąt rozwarty tego trapezu ma miarę Tu uzupełnij°.Kąt rozwarty trapezu równoramiennego ma miarę 123°. Kąt ostry tego trapezu ma miarę Tu uzupełnij°.Jeden z kątów trapezu prostokątnego ma miarę 154°. Kat ostry tego trapezu ma miarę Tu uzupełnij°.

Uzupełnij.

Kąt ostry trapezu prostokątnego ma miarę 38°. Kąt rozwarty ma miarę ............ &deg.
Kąt ostry trapezu równoramiennego ma miarę 19°. Kąt rozwarty ma miarę ............ &deg.
Kąt rozwarty trapezu równoramiennego ma miarę 123°. Kąt ostry ma miarę ............ &deg.
Jeden z kątów trapezu prostokątnego ma miarę 154°. Kat ostry w tym trapezie ma miarę ............ &deg.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RjNdRPil0iF8S21
Ćwiczenie 7
Jakie to trapezy? Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Trapez o kątach 35°, 35° i 145° jest trapezem 1. prostokątnym, 2. prostokątnym, 3. prostokątnym, 4. różnoramiennym, 5. różnoramiennym, 6. równoramiennym, 7. równoramiennym, 8. różnoramiennym, 9. równoramiennym, 10. prostokątnym.Trapez o kątach 125°, 55° i 125° jest trapezem 1. prostokątnym, 2. prostokątnym, 3. prostokątnym, 4. różnoramiennym, 5. różnoramiennym, 6. równoramiennym, 7. równoramiennym, 8. różnoramiennym, 9. równoramiennym, 10. prostokątnym.Trapez o kątach 45°, 75° i 135° jest trapezem 1. prostokątnym, 2. prostokątnym, 3. prostokątnym, 4. różnoramiennym, 5. różnoramiennym, 6. równoramiennym, 7. równoramiennym, 8. różnoramiennym, 9. równoramiennym, 10. prostokątnym.Trapez o kątach 30°, 90° i 150° jest trapezem 1. prostokątnym, 2. prostokątnym, 3. prostokątnym, 4. różnoramiennym, 5. różnoramiennym, 6. równoramiennym, 7. równoramiennym, 8. różnoramiennym, 9. równoramiennym, 10. prostokątnym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obwód trapezu

2
Ćwiczenie 8

Zapoznaj się z trapezami przedstawionymi na poniższym rysunku.

R1dgldpoCUNwx1
Rysunek trzech trapezów. Trapez A o podstawach długości 12 cm i 36 cm oraz ramionach 25 cm i 30 cm. Trapez B o podstawach długości 3 m i 8 m oraz ramionach 6 m i 4 m. Trapez C o podstawach długości 2 dm i 9 dm oraz ramionach 5 dm i 11 dm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RDrEsSmSEEIiS
Jakie obwody mają te trapezy? Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Obwód trapezu a wynosi Tu uzupełnij cm.Obwód trapezu b wynosi Tu uzupełnij m.Obwód trapezu c wynosi Tu uzupełnij dm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 9
RF3WPxN0KqnMt1
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Obwód trapezu, którego podstawa dolna ma 6 cm, podstawa górna jest dwa razy dłuższa, a ramiona mają długości 5 cm i 7 cm wynosi Tu uzupełnij cm. Obwód trapezu równoramiennego o ramieniu długości 8 cm, podstawie dolnej równej 2 cm i górnej 10 cm wynosi Tu uzupełnij cm. Obwód trapezu równoramiennego wynosi 39 cm, a podstawy mają długości 9 cm i 6 cm. Długość ramienia tego trapezu wynosi Tu uzupełnij cm. Obwód trapezu równoramiennego wynosi 58 cm. Suma długości podstaw jest równa 40 cm. Długość ramienia trapezu wynosi Tu uzupełnij cm.

Uzupełnij.

a) Obwód trapezu, którego podstawa dolna ma 6 cm, podstawa górna jest dwa razy dłuższa, a ramiona mają długości 5 cm i 7 cm wynosi ............ cm.
b) Obwód trapezu równoramiennego o ramieniu długości 8 cm, podstawie dolnej równej 2 cm i górnej 10 cm wynosi ............ cm.
c) Obwód trapezu równoramiennego wynosi 39 cm, a podstawy mają długości 9 cm i 6 cm. Długość ramienia tego trapezu wynosi ............ cm.
d) Obwód trapezu równoramiennego wynosi 58 cm. Suma długości podstaw jest równa 40 cm. Długość ramienia trapezu wynosi ............ cm.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1erxH2pORXtR31
Ćwiczenie 10
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Każdy prostokąt jest trapezem., 2. Każdy kwadrat jest trapezem prostokątnym., 3. Każdy romb jest trapezem., 4. Każdy trapez prostokątny jest prostokątem., 5. W trapezie równoramiennym przekątne są różnej długości., 6. W trapezie suma miar kątów przy tej samej podstawie wynosi 180°.

  • Każdy prostokąt jest trapezem.
  • Każdy kwadrat jest trapezem prostokątnym.
  • Każdy romb jest trapezem.
  • Każdy trapez prostokątny jest prostokątem.
  • W trapezie równoramiennym przekątne są różnej długości.
  • W trapezie suma kątów przy tej samej podstawie wynosi 180o.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 11
R1Et9gdbMchzh1
Uzupełnij poniższe odpowiedzi, wpisując w luki odpowiednie liczby. Trapez zbudowany jest z trzech trójkątów równobocznych o boku długości 6 cm. Odpowiedź: Obwód tego trapezu wynosi Tu uzupełnij cm. Trapez zbudowany jest z kwadratu o boku 6 cm i trójkąta prostokątnego, którego dwa boki mają długości 10 cm i 8 cm. Odpowiedź: Obwód tego trapezu wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.