Trójkąty prostokątne podobne

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego $ABC$ są równe $36$ i $77$.

Przeciwprostokątna w trójkącie $EFG$ jest równa $17$, a jedna z przyprostokątnych $7,2$.

Sprawdź, czy trójkąty te są podobne.

RHO5qIXuoQXBE1

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy z trójkątów prostokątnych A B C posiada kąt prosty pomiędzy bokiem A B oraz bokiem A C. Przeciwprostokątna jest oznaczona literką c. Przyprostokątna A C ma długość 77 oraz przyprostokątna A B ma długość 36. Drugi trójkąt prostokątny D E F ma kąt prosty pomiędzy bokiem D F oraz D E. Przyprostokątna D F jest oznaczona literą d, druga przyprostokątna jest długości 7,2. Przeciwprostokątna ma długość 17.

Obliczymy długość przyprostokątnej $FD$ trójkąta $DEF$, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

bo

Znajdujemy stosunek dłuższych przyprostokątnych trójkątów $ABC$ i  $DEF$, a następnie krótszych.

Znalezione stosunki są równe, zatem trójkąty są podobne. Skala podobieństwa jest równa $5$.

W trójkącie prostokątnym $EWA$ podobnym do trójkąta $BUT$ kąty pozostają w stosunku $1:2:3$.

Przeciwprostokątna trójkąta $BUT$ ma długość $6 \mathrm{cm}$. Oblicz pole trójkąta $BUT$.

Obliczamy miary kątów ostrych trójkąta $EWA$.

gdzie

Kąty ostre trójkąta $EWA$ mają miary $30°$ i $60°$.

Z podobieństwa trójkątów wynika, że miary kątów trójkąta $BUT$ są równe miarom kątów trójkąta $EWA$.

RxtWlvwNZfPHW1

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny B U T  z zaznaczonymi kątami zewnętrznymi. Kąt prosty jest pomiędzy bokami B T oraz B U, kąt miary 60 stopni jest pomiędzy bokami B U oraz U T, a kąt miary 30 stopni znajduję się pomiędzy bokiem T U oraz B T. Przeciwprostokątna ma miarę 6 centymetrów, przyprostokątna B U jest oznaczona literką t oraz przyprostokątna B T jest oznaczona literką u.

Oznaczmy $u$, $t$ – długości przyprostokątnych trójkąta $BUT$. Z własności trójkąta prostokątnego o kątach $30°$ i $60°$ wynika, że $t=3 \mathrm{cm}$, $u=3\sqrt{3}\mathrm{ cm}$.

Możemy więc obliczyć pole trójkąta $BUT$.

Pole trójkąta $BUT$ jest równe $4,5\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2$.

Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku w punkcie $D$. Kąt $ACB$ ma miarę $45°$.

Trójkąt $EFG$ jest podobny do trójkąta $ABD$ w skali $5:1$. Najdłuższy bok trójkąta $EFG$ ma długość $80$. Oblicz długość okręgu o środku w punkcie $D$ i promieniu $DA$.

Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg, zatem punkty $A$, $B$, $C$ leżą na okręgu.

RDQjXxoI4a5fa1

Rysunek przedsatwia trójkąta A B C wpisany w okrąg o środku w punkcie D. Kąt wpisany A C B ma miarę 45 stopni, a kąt środkowy A D B oparty na tym samym łuku ma miarę 90 stopni.

Kąt $ADB$ jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt $ACB$. Ma zatem miarę dwa razy od niego większą.

Kąt $ADB$ jest prosty, więc trójkąt $ADB$ jest prostokątny.

Ponieważ $\left|AD\right|=\left|BD\right|$, zatem trójkąt $ADB$ jest równoramienny.

Trójkąt $EFG$ jest podobny do trójkąta $ADB$, jest więc też trójkątem prostokątnym równoramiennym. Najdłuższy jego bok to przeciwprostokątna. Z podobieństwa trójkątów wynika, że przeciwprostokątna trójkąta $ADB$ jest pięciokrotnie krótsza od przeciwprostokątnej trójkąta $EFG$.

Odcinek $DA$ to przyprostokątna trójkąta $ABD$. Obliczamy długość tego odcinka.

Obliczamy długość okręgu.

Długość okręgu o środku w punkcie $D$ i promieniu $DA$ jest równa $16\pi \sqrt{2}$.

Na placu Świątecznym stoi choinka, która rzuca cień długości $10 \mathrm{m}$. W tym samym czasie stojący pod drzewem Mikołaj o wzroście $180 \mathrm{cm}$ rzuca cień długości $1,2 \mathrm{m}$. Oblicz wysokość choinki.

Oznaczamy przez $x$ wysokość choinki.

Zapisujemy wzrost Mikołaja w metrach.

Zapisujemy odpowiednią proporcję, z której wyznaczamy $x$.

Wysokość choinki jest równa $15 \mathrm{m}$.

Aby określić przybliżoną odległość statku od brzegu, można wykorzystać sposób podany przez Talesa.

Na brzegu należy wbić cztery patyki. Pierwszy w punkcie $A$ – leżącym najbliżej statku. Drugi w punkcie $B$, znajdującym się w określonej odległości od punktu $A$ (np. w odległości $60$ kroków). Trzeci w punkcie $C$, znajdującym się w określonej odległości od $B$ (np. $30$ kroków) i leżącym na prostej $AB$. Teraz należy znaleźć taki punkt $D$, leżący na prostej prostopadłej do prostej $AC$, że patyki wbite w punkcie $B$ oraz $D$ i statek $S$ znajdują się na jednej linii.

Załóżmy, że odległość z punktu $C$ do punktu $D$ wynosi $90$ kroków. Trójkąty $ASB$ i $BCD$ są trójkątami prostokątnymi podobnymi – miary ich kątów są równe.

Zapisujemy wynikającą stąd proporcję i wyznaczamy długość odcinka $AS$, czyli odległość statku od brzegu.

Przyjmując, że długość kroku człowieka wynosi około $0,7 \mathrm{m}$, stwierdzamy, że odległość statku od brzegu wynosi około $0,7 \mathrm{m}\cdot 180\approx 126 \mathrm{m}$.

RWTl67GOf07uD1

Animacja pokazuje w jaki sposób możemy wyznaczyć odległość statku od brzegu.

Animacja pokazuje w jaki sposób możemy wyznaczyć odległość statku od brzegu.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RWTl67GOf07uD

Animacja pokazuje w jaki sposób możemy wyznaczyć odległość statku od brzegu.

W trapezie prostokątnym $ABCD$, w którym kąt $ADC$ jest prosty, przedłużono ramiona do przecięcia w punkcie $E$. Podstawy trapezu $ABCD$ mają długości $4$ i $6$. Wysokość trapezu jest równa $10$. Oblicz długość odcinka $BE$.

REPEU7QCDVPDc1

Rysunek przedstawia trapez prostokątny A B C D. Długość odcinka A D jest równa 10, dłuższa podstawa trapezu A B jest długości 6 oraz krótsza podstawa trapezu D C ma długość 4. Ramiona trapezu zostają przedłużone przerywaną linią do punktu ich przecięcia E. Powstały w ten sposób trójkąt prostokątny D C E ma przyprostokątną D C równą 4 oraz drugą przyprostokątną D E równą x.

Trójkąt $CDE$ otrzymany po przedłużeniu ramion $AD$ i $BC$ trapezu, jest trójkątem prostokątnym. Odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe, zatem kąty trójkąta $CDE$ są równe kątom trójkąta prostokątnego $AEB$. Trójkąty te są podobne, zatem stosunki ich odpowiednich boków są równe.

Korzystając z tego, obliczymy długość $x$ boku $ED$ trójkąta $CDE$.

Trójkąt $AEB$ jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości $x+10$ i $6$, czyli $30$ i $6$.

Odcinek $BE$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Jego długość obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Długość odcinka $BE$ jest równa $6\sqrt{26}$.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ poprowadzono wysokość $CD$ z wierzchołka kąta prostego. Punkt $D$ podzielił przeciwprostokątną $AB$ na odcinki $\left|AD\right|=x$ i $\left|DB\right|=y$. Wykaż, że ${\left|CD\right|}^2=xy$.

Oznaczmy: $\alpha$, $\beta$ - miary kątów ostrych w trójkącie $ABC$.

R1b29iE8UwU5y1

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny A B C podzielony wysokością CD na dwa trójkąty prostokątne A D C i C D B . W trójkącie prostokątnym A D C  zaznaczone są kąty wewnętrzne. Kąt alfa znajduję się pomiędzy bokami A C oraz A D oraz kąt 90 stopni minus alfa znajduje się pomiędzy bokami A C oraz C D. W trójkącie prostokątnym C D B  również zaznaczone są kąty wewnętrzne, gdzie kąt beta jest pomiędzy przyprostokątną D B a przeciwprostokątną B C oraz kąt 90 stopni minus beta znajduje się pomiędzy bokiem B C oraz C D. Długość odcinka A B oznaczona została jako x natomiast odcinek D B jest oznaczony jako y.

Odcinek $CD$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty prostokątne $ADC$ i $CDB$.

Kąty ostre w trójkącie $ADC$ mają miary $\alpha$ i $90°-\alpha$. Kąty ostre w trójkącie $CDB$ mają miary $\beta$ i $90°-\beta$.

Ponieważ $\alpha +\beta =90°$, więc $\beta =90°-\alpha$ i $\alpha =90°-\beta$. Zatem trójkąty $ADC$ i $CDB$ mają równe kąty, są więc podobne.

RSh8IvksYpFFP1

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny A B C podzielony wysokością CD na dwa trójkąty prostokątne A D C i C D B . W trójkącie prostokątnym A D C  zaznaczone są kąty wewnętrzne. Kąt alfa znajduję się pomiędzy bokami A C oraz A D, a kąt beta znajduje się pomiędzy bokami A C oraz C D. W trójkącie prostokątnym C D B również zaznaczone są kąty wewnętrzne, gdzie kąt beta jest pomiędzy przyprostokątną D B a przeciwprostokątną B C oraz kąt alfa znajduje się pomiędzy bokiem B C oraz C D. Długość odcinka A B oznaczona została jako x natomiast odcinek D B jest oznaczony jako y.

Zapisujemy wynikającą stąd proporcję i wyznaczamy ${\left|CD\right|}^2$.