Układ równań z dwiema niewiadomymi – opisywanie związków między wielkościami za pomocą równań

Przykład 1

R1aUrwYBAJcbL1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Równaniem z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie, w którym występują dwie niewiadome.

Na przykład:

5 x + y = x^{2} + 6

z^{2} = 4 x

x^{2} + 5 x + 6 = y

y^{3} = - x

Równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie, w którym obie niewiadome występują w pierwszej potędze.

Na przykład:

- x + y = 9

- 2 x + 4 = - y

7 y - t = 9

- 2 (z - x) = 10

Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.
RujyG0zln932z1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Układem równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy dwa równania pierwszego stopnia z co najwyżej dwiema niewiadomymi, połączone spójnikiem „i”, który symbolizuje klamra.

Na przykład

\{\begin{cases} 2 x = 8 \\ 2 x + y = 6 \end{cases}

\{\begin{cases} 2 a + 5 b = 8 \\ a + 2 b = 3 \end{cases}

\{\begin{cases} 6 x - t = 12 \\ x = 5 t \end{cases}

Układy równań wykorzystujemy do zapisywania i rozwiązywania takich zadań, w których należy zastosować więcej niż jedną niewiadomą.

R1CvKGXqQ2KWU1

Ćwiczenie 1

$"{"\begin{matrix} x + y = 3 \\ x = 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 2 x + 6 y = 10 \\ a - 3 b = 6 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x^{2} = 4 \\ x + y = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} r + 5 t = 0 \\ - 3 r - 10 t = 20 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} a - 6 b = 7 \\ 2 b = - 4 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 13 \\ x + y = 5 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} z - s = 1 \\ z + s = 1 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 3 x + y = 2 \\ x + 3 y = - 2 \end{matrix}""$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem, który przedstawia ceny pewnych owoców.

R1e13qMBsaaXp1

Ilustracja przedstawia rysunki krzewów owocowych. Pod każdym rysunkiem znajduje się cena danego owocu za jego kilogram. Na ilustracji znajdują się: truskawki – cena t zł za kilogram, borówki – cena b zł za kilogram, maliny – cena m zł za kilogram, czereśnie – c zł za kilogram. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FHWCcKgYiRW

Połącz w pary podane zdania z układami równań, które je opisują. Asia, kupując

4 kg

truskawek i

0, 5 kg

malin, zapłaciła

23, 50 zł

, a Maciek, kupując

2 kg

truskawek i

1 kg

malin, zapłacił

23 zł

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 0, 25 b + c = 14 \\ b + 0, 5 c = 24, 50 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} 4 t + 0, 5 m = 23, 5 \\ 2 t + m = 23 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 3 t + b = 32 \\ 5 t + 0, 5 b = 30 \end{cases}

Marysia, kupując

0, 25 kg

borówek i

1 kg

czereśni, zapłaciła

14 zł

, a Jacek, kupując

0, 5 kg

czereśni i

1 kg

borówek, zapłacił

24, 50 zł

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 0, 25 b + c = 14 \\ b + 0, 5 c = 24, 50 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} 4 t + 0, 5 m = 23, 5 \\ 2 t + m = 23 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 3 t + b = 32 \\ 5 t + 0, 5 b = 30 \end{cases}

Ala, kupując

3 kg

truskawek i

1 kg

borówek, zapłaciła

32 zł

, a Krzyś, kupując

5 kg

truskawek i

0, 5

borówek, zapłacił

30 zł

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 0, 25 b + c = 14 \\ b + 0, 5 c = 24, 50 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} 4 t + 0, 5 m = 23, 5 \\ 2 t + m = 23 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 3 t + b = 32 \\ 5 t + 0, 5 b = 30 \end{cases}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Zapisz układy równań, które opisują podane sytuacje.

Beata, kupując $1$ szampon i $3$ kremy do twarzy, zapłaciła $92 zł$ , a Alicja, kupując $1$ krem i $2$ szampony, zapłaciła $54 zł$ . Oznacz
$x$ - cena jednego szamponu do włosów $[zł]$
$y$ - cena jednego kremu do twarzy $[zł]$
RcbZDmr77FJTp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$x$ - masa większego klocka $[kg]$ , $y$ - masa mniejszego klocka $[kg]$
Agnieszka, kupując $3$ opakowania ptasiego mleczka i $4$ mleczne czekolady, zapłaciła $51, 60 zł$ . Natomiast Bartek, kupując $3$ mleczne czekolady i $2$ opakowania ptasiego mleczka, zapłacił $35, 20 zł$ .
$x$ - cena jednego opakowania ptasiego mleczka $[zł]$
$y$ - cena jednej mlecznej czekolady $[zł]$
RrbettfgqZUc91
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$b$ - masa jednej brzoskwini $[kg]$ , $g$ - masa jednej gruszki $[kg]$

Rlculeq5MBXM1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\{\begin{cases} x + 3 y = 92 \\ 2 x + y = 54 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x + 2 = y + 1 \\ 2 x + 4 = 3 y \end{cases}$
$\{\begin{cases} 3 x + 4 y = 51, 60 \\ 2 x + 3 y = 35, 2 \end{cases}$
$\{\begin{cases} 9 b + 7 g = 3, 9 \\ 10 b + 4 g = 3, 2 \end{cases}$

RfPWMBlI5WNLD2

Ćwiczenie 4

Liczba o $4$ mniejsza od $x$ jest $4$ razy większa od $y$ .
Liczba o $2$ mniejsza od różnicy liczb $x$ i $y$ jest równa średniej arytmetycznej liczby $x$ i dwukrotności liczby $y$ .
Liczba o $4$ mniejsza od $y$ jest $4$ razy większa od $x$ . Liczba o $2$ mniejsza od różnicy liczb $x$ i $y$ jest równa średniej arytmetycznej liczby $x$ i dwukrotności liczby $y$ .
Liczba o $4$ mniejsza od $x$ jest $4$ razy większa od $y$ . Liczba o $2$ większa od różnicy liczb $x$ i $y$ jest równa średniej arytmetycznej liczby $x$ i dwukrotności liczby $y$ .
Liczba o $4$ większa od $x$ jest $4$ razy mniejsza od $y$ . Liczba o $2$ mniejsza od różnicy liczb $x$ i $y$ jest równa średniej arytmetycznej liczby $x$ i dwukrotności liczby $y$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RV07gRYPLj4mT1

Ćwiczenie 5

Zapisz układy równań opisujące sytuację przedstawioną na rysunkach.

R952WoGE3JwDv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1QhqBv3rjjgd1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RaGVk4F0nN1Ly1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDdEXsKKQ9BWb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ - cena tulipana, $y$ - cena róży $\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 15, 50 \\ x + 3 y = 16, 50 \end{cases}$
$x$ - cena jednej piłki, $y$ - cena jednej rakietki $\{\begin{cases} 5 x + 7 y = 262 \\ 7 x + 4 y = 274 \end{cases}$
$x$ - masa jednego pudełka, $y$ - masa jednego słoika $\{\begin{cases} x + y + 0, 2 = 1 \\ 2 y + 0, 1 = 2 x + y \end{cases}$

RND6t6r8Jz4Dq

Ćwiczenie 6

1. Za stół i

4

krzesła zapłacono

5600 zł

. Cena krzesła jest trzykrotnie mniejsza od ceny stołu.

s

- cena stołu (w

zł

)

k

- cena krzesła (w

zł

)

\{\begin{cases} s = \dots \\ s + 4 k = \dots \end{cases}

2. Za zeszyt i

5

ołówków zapłacono

10, 50 zł

. Dwa zeszyty kosztują tyle, co pięć ołówków.

z

- cena jednego zeszytu (w

zł

)

o

- cena jednego ołówka (w

zł

)

\{\begin{cases} 2 z = \dots \\ \dots + \dots = 10, 50 \end{cases}

3. Mama i tata mają razem

75

lat. Tata jest o

5

lat starszy od mamy.

m

- wiek mamy

t

- wiek taty

\{\begin{cases} m + 5 = \dots \\ \dots + \dots = 75 \end{cases}

4. Ania jest o

10

lat młodsza od swojego brata. Za dwa lata będzie od niego

5

razy młodsza.

a

- wiek Ani

b

- wiek brata Ani

\{\begin{cases} a = \dots \\ a + 2 = \dots \end{cases}

5. Zosia i Ala mają razem

13

lat. Za

5

lat będą miały razem

23

lata.

z

- wiek Zosi

a

- wiek Ali

\{\begin{cases} \dots + \dots = 13 \\ \dots + \dots = 23 \end{cases}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhvQxNrUxsArC

Ćwiczenie 7

Uzupełnij wyrażenia, aby otrzymany układ równań opisywał przedstawioną sytuację. Przeciągnij w luki odpowiednie układy równań lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Masa

3

opakowań ciastek i

7

paczek cukierków jest równa

134 dag

. Masa jednego opakowania ciastek jest

20

razy większa niż masa jednej paczki cukierków.

x

- masa jednego opakowania ciastek

(dag)

y

- masa jednego opakowania cukierków

(dag)

\{\begin{cases} x + y = 25 \\ y = x + \frac{1}{2} x \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} x = \frac{1}{3} y \\ \frac{x + y}{2} = 2 x \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 3 x + 7 y = 134 \\ x = 20 y \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 2 x + 5 y = 128 \\ x = y + 6 \end{cases}

Liczba

x

jest

3

razy mniejsza od liczby

y

. Średnia arytmetyczna liczb

x

y

jest dwa razy większa od liczby

x

x

- wartość pierwszej liczby

y

- wartość drugiej liczby
1.

\{\begin{cases} x + y = 25 \\ y = x + \frac{1}{2} x \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} x = \frac{1}{3} y \\ \frac{x + y}{2} = 2 x \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 3 x + 7 y = 134 \\ x = 20 y \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 2 x + 5 y = 128 \\ x = y + 6 \end{cases}

Na wycieczkę pojechało

x

dziewcząt i

y

chłopców, razem

25

osób. Liczba chłopców jest o połowę większa od liczby dziewcząt.

x

- liczba dziewcząt

y

- liczba chłopców
1.

\{\begin{cases} x + y = 25 \\ y = x + \frac{1}{2} x \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} x = \frac{1}{3} y \\ \frac{x + y}{2} = 2 x \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 3 x + 7 y = 134 \\ x = 20 y \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 2 x + 5 y = 128 \\ x = y + 6 \end{cases}

W skarbonce jest

x

monet dwuzłotowych i

y

monet pięciozłotowych, razem

128 zł

. Liczba monet pięciozłotowych jest o

6

mniejsza od liczby monet dwuzłotowych.

x

- liczba monet dwuzłotowych

y

- liczba monet pięciozłotowych
1.

\{\begin{cases} x + y = 25 \\ y = x + \frac{1}{2} x \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} x = \frac{1}{3} y \\ \frac{x + y}{2} = 2 x \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 3 x + 7 y = 134 \\ x = 20 y \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 2 x + 5 y = 128 \\ x = y + 6 \end{cases}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RbqdivUsVbHc32

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rzy18FBK4NCvQ2

Ćwiczenie 9

$"{"\begin{matrix} x = y + 2 \\ 2 x + 5 y = 70 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x = 3 y + 2 \\ 2 x + 5 y = 70 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x = 3 y - 2 \\ 2 x + 5 y = 70 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = 3 x + 2 \\ 2 x + 5 y = 70 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x = 3 y - 2 \\ 2 y + 5 x = 70 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x = y - 2 \\ 2 x + 5 y = 70 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x = 3 y + 2 \\ 2 y + 5 x = 70 \end{matrix}""$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1AMm8hV87DGK2

Ćwiczenie 10

$"{"\begin{matrix} 10 % x + 20 % y = 19 \\ 30 % (x + y) = 36,6 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 10 % x + 20 % y = 19 \\ 30 % x + y = 36,6 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 10 % x + 20 % y = 19 \\ x + 30 % y = 36,6 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 10 (x + 20 y) = 19 \\ 30 (x + y) = 36,6 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 10 x + 20 y = 19 \\ 30 (x + y) = 36,6 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 0,1 x + 0,2 y = 19 \\ 30 (x + y) = 36,6 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 10 % (x + 20 % y) = 19 \\ 30 % x + y = 36,6 \end{matrix}""$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1UX9ESN5FJXW2

Ćwiczenie 11

$"{"\begin{matrix} 0,2 x + 0,05 y + 6 = 11,4 \\ \frac{x + y + 3}{3} = 14 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 0,05 x + 0,2 y + 6 = 11,4 \\ \frac{x + y + 3}{3} = 14 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 0,2 x + 0,5 y + 6 = 11,4 \\ \frac{x + y + 3}{3} = 14 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 0,2 x + 0,05 y + 2 = 11,4 \\ \frac{x + y + 3}{3} = 14 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 0,2 y + 0,05 x + 2 = 11,4 \\ \frac{x + y + 3}{3} = 14 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 0,2 x + 0,05 y + 6 = 11,4 \\ x + y + 3 = 14 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x + y + 6 = 11,4 \\ \frac{0,2 x + 0,05 y + 6}{3} = 14 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} 0,2 x + 0,05 y + 6 = 11,4 \\ \frac{x + y}{2} = 14 \end{matrix}""$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxyOfyHcR5ds22

Ćwiczenie 12

$"{"\begin{matrix} x - 4 = 3 (y - 4) \\ x + 4 = 2 (y + 4) \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x - 4 = 3 y - 4 \\ x + 4 = 2 y + 4 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x - 4 = 2 (y - 4) \\ x + 4 = 3 (y + 4) \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} x - 4 = y - 4 + 3 \\ x + 4 = y + 4 + 2 \end{matrix}""$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

R1J8f2EvSfmCi

Połącz w pary podane zdania z układami równań, które je opisują. Różnica dwóch liczb wynosi

20

. Znajdź te liczby, wiedząc, że jeżeli większą z nich zwiększymy o

10

, a mniejszą zwiększymy trzykrotnie, to otrzymamy liczby równe Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} \frac{x}{4} = 8 % y \\ 150 % x = 50 % y - 10 \end{cases}

, 2.

x

- wartości większej liczby,

y

- wartość mniejszej liczby

\{\begin{cases} x - y = 20 \\ x + 10 = 3 y \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} x = y - 4 \\ \frac{1}{2} (x + y) = x + 1 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 130 % x = y + 20 \\ 80 % y = x \end{cases}

Liczba

x

jest o

4

mniejsza od liczby

y

. Połowa sumy liczb

x

y

jest o

1

większa od liczby

x

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} \frac{x}{4} = 8 % y \\ 150 % x = 50 % y - 10 \end{cases}

, 2.

x

- wartości większej liczby,

y

- wartość mniejszej liczby

\{\begin{cases} x - y = 20 \\ x + 10 = 3 y \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} x = y - 4 \\ \frac{1}{2} (x + y) = x + 1 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 130 % x = y + 20 \\ 80 % y = x \end{cases}

Liczba o

30 %

większa od liczby

x

jest o

20

większa od liczby

y

. Liczba o

20 %

mniejsza od liczby

y

jest równa liczbie

x

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} \frac{x}{4} = 8 % y \\ 150 % x = 50 % y - 10 \end{cases}

, 2.

x

- wartości większej liczby,

y

- wartość mniejszej liczby

\{\begin{cases} x - y = 20 \\ x + 10 = 3 y \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} x = y - 4 \\ \frac{1}{2} (x + y) = x + 1 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 130 % x = y + 20 \\ 80 % y = x \end{cases}

Czwarta część liczby

x

stanowi

8 %

liczby

y

. Liczba o

50 %

większa od liczby

x

jest o

10

mniejsza od

50 %

liczby

y

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} \frac{x}{4} = 8 % y \\ 150 % x = 50 % y - 10 \end{cases}

, 2.

x

- wartości większej liczby,

y

- wartość mniejszej liczby

\{\begin{cases} x - y = 20 \\ x + 10 = 3 y \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} x = y - 4 \\ \frac{1}{2} (x + y) = x + 1 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 130 % x = y + 20 \\ 80 % y = x \end{cases}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Ustal niewiadome i zapisz układ równań, który opisuje następującą sytuację.

Marysia, kupując w księgarni ołówek i długopis, zapłaciła $5, 2 zł$ . Justyna, kupując $4$ takie same ołówki i taki sam długopis, zapłaciła $8, 8 zł$ .
W nadmorskim pensjonacie znajdują się pokoje czteroosobowe i trzyosobowe oraz $44$ pokoi dwuosobowych, razem $90$ pokoi. Pensjonat może przyjąć $236$ wczasowiczów.
Marek i Ala dostają co miesiąc kieszonkowe od swoich rodziców. W ciągu roku rodzeństwo otrzymało $660$ złotych. Miesięczne kieszonkowe Marka jest o $15 zł$ niższe od kieszonkowego Ali.
W pewnym gospodarstwie hodowano gęsi, których pilnowały mniejsze psy. Zwierzęta miały razem $300$ nóg i $135$ głów.
Skrzynia z narzędziami waży $24 kg$ . Masa narzędzi jest siedmiokrotnie większa niż masa pustej skrzyni.

R1aPQW4CxD4rc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x$ - cena jednego ołówka, $y$ - cena jednego długopisu $\{\begin{cases} x + y = 5, 2 \\ 4 x + y = 8, 8 \end{cases}$
$x$ - liczba pokoi $3$ -osobowych, $y$ - liczba pokoi $4$ -osobowych $\{\begin{cases} 44 + x + y = 90 \\ 44 \cdot 2 + 3 x + 4 y = 236 \end{cases}$
$x$ - kwota kieszonkowego Marka, $y$ - kwota kieszonkowego Ali $\{\begin{cases} x = y - 15 \\ 12 (x + y) = 660 \end{cases}$
$x$ - liczba gęsi, $y$ - liczba psów $\{\begin{cases} x + y = 135 \\ 2 x + 4 y = 300 \end{cases}$
$x$ - masa pustej skrzyni, $y$ - masa narzędzi $\{\begin{cases} x + y = 24 \\ y = 7 x \end{cases}$

Ćwiczenie 15

Zastanów się jakie układy równań opisują sytuację przedstawioną na rysunku.

R8tTPaAcILsnH1

Rysunek sześciu wielokątów: Wielokąt A o bokach długości x, 4, x, x, 2, x, y oraz 1,5y. Czworokąt B o kątach wewnętrznych alfa plus beta, beta i 5 beta. Trapez C o kątach przy górnej podstawie 3 alfa +4 beta, 3 alfa +4 beta oraz kątach przy dolnej podstawie alfa plus beta i 42 stopnie. Wielokąt D o bokach długości 2a, 4, 5b, 10, 5b, 4, 2a, 18. Pole tego wielokąta jest równe 222, obwód 74. Wielokąt E o bokach długości 3, a, 4, b, 7, a +b. Pole tego wielokąta jest równe 31, obwód 24. Trójkąt F o ramionach długości 4y i 2x, podstawie równej x +y oraz dwóch kątach przy podstawie równych alfa. Obwód trójkąta równy 22. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZsHBIbRVvBYb

Połącz w pary litery odpowiadające figurom z układami równań, które je opisują. a) Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 2 x = 4 y \\ 3 x + 5 y = 22 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} α + β = 42 ° \\ α + β + 3 α + 4 β = 180 ° \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 1, 5 y = 4 + 2 x \\ y = 2 + 2 x \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 3 a + 7 b = 31 \\ 14 + 2 a + 2 b = 24 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} 36 a + 50 b = 222 \\ 36 + 4 a + 10 b = 74 \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} α + α + β = 180 ° \\ α + β = 5 β \end{cases}

b) Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 2 x = 4 y \\ 3 x + 5 y = 22 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} α + β = 42 ° \\ α + β + 3 α + 4 β = 180 ° \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 1, 5 y = 4 + 2 x \\ y = 2 + 2 x \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 3 a + 7 b = 31 \\ 14 + 2 a + 2 b = 24 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} 36 a + 50 b = 222 \\ 36 + 4 a + 10 b = 74 \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} α + α + β = 180 ° \\ α + β = 5 β \end{cases}

c) Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 2 x = 4 y \\ 3 x + 5 y = 22 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} α + β = 42 ° \\ α + β + 3 α + 4 β = 180 ° \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 1, 5 y = 4 + 2 x \\ y = 2 + 2 x \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 3 a + 7 b = 31 \\ 14 + 2 a + 2 b = 24 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} 36 a + 50 b = 222 \\ 36 + 4 a + 10 b = 74 \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} α + α + β = 180 ° \\ α + β = 5 β \end{cases}

d) Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 2 x = 4 y \\ 3 x + 5 y = 22 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} α + β = 42 ° \\ α + β + 3 α + 4 β = 180 ° \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 1, 5 y = 4 + 2 x \\ y = 2 + 2 x \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 3 a + 7 b = 31 \\ 14 + 2 a + 2 b = 24 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} 36 a + 50 b = 222 \\ 36 + 4 a + 10 b = 74 \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} α + α + β = 180 ° \\ α + β = 5 β \end{cases}

e) Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 2 x = 4 y \\ 3 x + 5 y = 22 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} α + β = 42 ° \\ α + β + 3 α + 4 β = 180 ° \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 1, 5 y = 4 + 2 x \\ y = 2 + 2 x \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 3 a + 7 b = 31 \\ 14 + 2 a + 2 b = 24 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} 36 a + 50 b = 222 \\ 36 + 4 a + 10 b = 74 \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} α + α + β = 180 ° \\ α + β = 5 β \end{cases}

f) Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 2 x = 4 y \\ 3 x + 5 y = 22 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} α + β = 42 ° \\ α + β + 3 α + 4 β = 180 ° \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 1, 5 y = 4 + 2 x \\ y = 2 + 2 x \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 3 a + 7 b = 31 \\ 14 + 2 a + 2 b = 24 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} 36 a + 50 b = 222 \\ 36 + 4 a + 10 b = 74 \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} α + α + β = 180 ° \\ α + β = 5 β \end{cases}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAa0BInnlgLJK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ALQiMS6Sg0F

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RjCtuqWAchvs4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.