Układ współrzędnych

Dwie prostopadłe osie liczbowe, przecinające się w punkcie $O$ tworzą prostokątny układ współrzędnych. Oś poziomą nazywamy osią $X$ , a pionową – osią $Y$ . Punkt przecięcia osi to początek układu współrzędnych.

R19274FsEHTFI1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus trzech do trzech. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

R9jqIVlraPL5t1

Trwa wczytywanie danych...

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poziomo

$2 A$ – $100 cm$ ,

$8 A$ – najmniejsza liczba trzycyfrowa,

$5 B$ – może być liczbowa,

$1 C$ – odcinek łączący sąsiednie wierzchołki wielokąta,

$5 D$ – figura przestrzenna.

Pionowo

$5 A$ – czworokąt o równych bokach,

$9 B$ – $1000 kg$ .

Podczas wpisywania haseł do krzyżówki trzeba wiedzieć, gdzie wpisać pierwszą literę. Jej położenie opisano za pomocą liczby i litery, np. $2 A$ . Taki opis określa dokładnie położenie pola w diagramie.

Każdy punkt na osi liczbowej można opisać za pomocą liczby, czyli jego współrzędnej, np. $A = 6$ , $A$ ma współrzędną $6$ .

RQTDfUmjUxFpq1

Ilustracja przedstawia oś liczbową. Na osi opisano punkty 0, 1 i 6. Punkt A leży na osi w punkcie sześć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podobnie opisujemy położenie punktów na płaszczyźnie, ale punkty zaznaczamy w prostokątnym układzie współrzędnych. W tym celu rysujemy dwie prostopadłe osie liczbowe przecinające się w punkcie, który na obu osiach ma współrzędną $0$ .

Przykład 1

Położenie punktu w układzie współrzędnych określają dwie liczby, które nazywamy współrzędnymi tego punktu. Pierwszą współrzędną odczytujemy na osi poziomej (oś $X$ ), a drugą na osi pionowej (oś $Y$ ).

RtTAcNUs4F5J11

Rysunek układu współrzędnych. Zaznaczony punkt A o współrzędnych (1, 2). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną równą $1$ (współrzędna $x$ ), a drugą równą $2$ (współrzędna $y$ ).

Zapisujemy to w następujący sposób: $A = (1, 2)$ lub $A (1, 2)$ i czytamy: Punkt $A$ ma współrzędne $1$ i $2$ .

Początek układu współrzędnych (punkt $O$ ) ma współrzędne $0$ i $0$ , to znaczy $O = (0, 0)$ .

Ćwiczenie 2

W poniższym układzie współrzędnych zostało zaznaczonych sześć punktów: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ . Wyznacz ich współrzędne.

REqcr4HkqT3WN1

Ilustracja układu współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus trzech do trzech. Punkt A jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o trzy jednostki w prawo i dwie jednostki do góry. Punkt B jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o jedną jednostkę w lewo i trzy jednostki do góry. Punkt C jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o dwie jednostki w lewo i jedną jednostkę w dół. Punkt D jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o dwie jednostki w prawo i trzy jednostki w dół. Punkt E jest przesunięty względem środka układu współrzędnych o pięć jednostek w prawo. Punkt F jest przesunięty względem środka układu współrzędnych jedną jednostkę w dół. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIzHt8JL12Epw

Trwa wczytywanie danych...

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. Każda z nich ma swój numer.

R1JEfOOdyYKaZ1

Rysunek układu współrzędnych. Osie X i Y dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. I ćwiartka – prawa górna płaszczyzna, II ćwiartka – lewa górna płaszczyzna. III ćwiartka – lewa dolna płaszczyzna. IV ćwiartka – prawa dolna płaszczyzna. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRCHVf9eFThS33

Ćwiczenie 3

Określ, w której ćwiartce znajduje się podany punkt. Przeciągnij współrzędną do odpowiedniego okienka.

I

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

(3 \frac{1}{2}, - 1)

, 2.

(- 2, - 1)

, 3.

(1, 1)

, 4.

(- 3, 4)

, 5.

(11, - 2)

, 6.

(- 2 \frac{3}{5}, 6)

, 7.

(- \frac{1}{23}, 7)

, 8.

(100, - 1)

, 9.

(4 \frac{2}{9}, \frac{1}{3})

, 10.

(3, - 4)

, 11.

(- 11, 2)

, 12.

(- 5, - 6)

II

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

(3 \frac{1}{2}, - 1)

, 2.

(- 2, - 1)

, 3.

(1, 1)

, 4.

(- 3, 4)

, 5.

(11, - 2)

, 6.

(- 2 \frac{3}{5}, 6)

, 7.

(- \frac{1}{23}, 7)

, 8.

(100, - 1)

, 9.

(4 \frac{2}{9}, \frac{1}{3})

, 10.

(3, - 4)

, 11.

(- 11, 2)

, 12.

(- 5, - 6)

III

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

(3 \frac{1}{2}, - 1)

, 2.

(- 2, - 1)

, 3.

(1, 1)

, 4.

(- 3, 4)

, 5.

(11, - 2)

, 6.

(- 2 \frac{3}{5}, 6)

, 7.

(- \frac{1}{23}, 7)

, 8.

(100, - 1)

, 9.

(4 \frac{2}{9}, \frac{1}{3})

, 10.

(3, - 4)

, 11.

(- 11, 2)

, 12.

(- 5, - 6)

IV

ćwiartka Możliwe odpowiedzi: 1.

(3 \frac{1}{2}, - 1)

, 2.

(- 2, - 1)

, 3.

(1, 1)

, 4.

(- 3, 4)

, 5.

(11, - 2)

, 6.

(- 2 \frac{3}{5}, 6)

, 7.

(- \frac{1}{23}, 7)

, 8.

(100, - 1)

, 9.

(4 \frac{2}{9}, \frac{1}{3})

, 10.

(3, - 4)

, 11.

(- 11, 2)

, 12.

(- 5, - 6)

Trwa wczytywanie danych...

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Odczytaj współrzędne zaznaczonych punktów.

RHGdh9A4eO8cz1

R1PeqiiFtlHSs

Na podstawie powyższego wykresu, połącz w pary punkt i jego współrzędne.

A

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

B

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

C

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

D

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

E

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

F

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

G

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

H

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, 4)

, 2.

(- 1, 0)

, 3.

(3, 0)

, 4.

(4, - 3)

, 5.

(0, - 1)

, 6.

(- 2, 1)

, 7.

(1, 1)

, 8.

(- 2, - 2)

Trwa wczytywanie danych...

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z określeniem punktu w układzie współrzędnych spotykamy się wybierając miejsce na widowni kinowej czy teatralnej. Wtedy jedna ze współrzędnych zapisywana jest za pomocą cyfr arabskich, druga za pomocą znaków rzymskich.

Jednym z najstarszych układów współrzędnych jest układ współrzędnych geograficznych.

Położenie punktu na mapie określa się za pomocą dwóch liczb zwanych szerokością geograficzną i długością geograficzną.

Układ współrzędnych jest wykorzystywany nie tylko przy sporządzaniu map (współrzędne geograficzne), ale także w urządzeniach do nawigacji, np. GPS. Zwykły samochodowy GPS podaje współrzędne z dużą dokładnością, można więc bardzo dokładnie wyznaczyć trasę przejazdu do określonego celu.