Ułamki dziesiętne - najważniejsze wiadomości
![Ilustracja przedstawia czarno biały portret dostojnego mężczyzny z brodą, siedzącego na krześle.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RlNSk4I5HdIKS/1712746402/2DJcwfM7lsuzSGA4KYhSVnCpcfRwT9DG.png)
Szesnastowieczny szkocki arystokrata, matematyk John Napier jako pierwszy zapoczątkował współczesny zapis ułamków dziesiętnych, stosując kropkę do oddzielenia części całkowitej od ułamkowej.
Obecnie kropkę w ułamkach dziesiętnych wykorzystuje się nadal w krajach anglosaskich. W Polsce – stosujemy przecinek dziesiętny (separator dziesiętny).
W tym materiale zawarte są najważniejsze informacje o ułamkach dziesiętnych. Ułamki dziesiętne będziemy zapisywać w postaci dziesiętnej, porównywać, skracać, rozszerzać, przedstawiać na osi liczbowej, a także dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.
Interaktywna treść merytorycznaInteraktywna treść merytoryczna
Gra edukacyjnaGra edukacyjna
Zestaw ćwiczeń interaktywnychZestaw ćwiczeń interaktywnych
SłownikSłownik
Zapiszesz ułamek dziesiętny w postaci dziesiętnej.
Porównasz ułamki dziesiętne.
Skrócisz lub rozszerzysz ułamek dziesiętny.
Przedstawisz ułamek dziesiętny na osi liczbowej.
Wykonasz działania na ułamkach dziesiętnych.
Ułamki zwykłe o mianownikach , , , , nazywamy ułamkami dziesiętnymułamkami dziesiętnym.
Najczęściej ułamki te zapisujemy w postaci dziesiętnej z zastosowaniem przecinka oddzielającego część całkowitą od części ułamkowej. Kolejne miejsca po przecinku oznaczają części dziesiąte, setne, tysięczne, itd.
W postaci dziesiętnej możemy też zapisać szybko takie ułamki zwykłe, których mianownik jest dzielnikiem co najmniej jednej z liczb , , ,
Zapiszemy w postaci dziesiętnej każdy z ułamków: , , , .
Aby zapisać podane ułamki w postaci dziesiętnej, rozszerzymy je najpierw tak, aby w mianowniku otrzymać jedną z liczb , , ,
Ułamki dziesiętneUłamki dziesiętne możemy skracać, „obcinając” końcowe zera w części ułamkowej. Możemy je też rozszerzać, dopisując końcowe zera w części ułamkowej.
Ułamek | Ułamek po skróceniu | Ułamek po rozszerzeniu |
---|---|---|
Ułamki dziesiętneUłamki dziesiętne porównujemy podobnie, jak liczby naturalne. Porównujemy kolejno cyfry w poszczególnych rzędach: najpierw części całkowite, następnie części dziesiąte, części setne, itp.
Porównamy ułamki: i ; i oraz i .
, bo
, bo
, bo i
Chcąc na osi liczbowej zaznaczyć punkt, odpowiadający danemu ułamkowi dziesiętnemuułamkowi dziesiętnemu, należy najpierw podzielić odcinek jednostkowy na odpowiednią liczbę części.
Zaznaczymy na osi liczbowej ułamki i .
W obu ułamkach po przecinku występują tylko części dziesiąte, zatem na osi liczbowej odcinek jednostkowy dzielimy najpierw na dziesięć równych części. Czwartej z tych części (licząc od zera) odpowiada ułamek . Natomiast siedemnastej (licząc od zera) ułamek .
![Ilustracja przedstawia oś liczbową od zera do dwóch, na której odcinek jednostkowy podzielony jest na dziesięć równych części. Na osi zaznaczono punkty o współrzędnych cztery dziesiąte, jeden oraz jeden i siedem dziesiątych.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RJCf0tqpDnvMn/1712746404/NSQMiHznPDV3bga8wiUpE5wMIfJLjjKQ.png)
Dodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnychDodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnych możemy wykonać w pamięci. Jeśli jednak do dodania (odejmowania) są duże liczby, działanie wykonujemy pisemnie.
Aby dodać lub odjąć dwa ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, podpisujemy je jeden pod drugim tak, aby przecinek stał pod przecinkiem. Następnie wykonujemy dodawanie lub odejmowanie tak, jak w przypadku liczb naturalnych. W wyniku przecinek wpisujemy pod przecinkami.
Warto przy tym rozszerzyć (jeśli potrzeba) ułamki tak, aby miały tyle samo cyfr po przecinku.
Działanie | Obliczenia |
---|---|
![]() Źródło: GroMar sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0. | |
![]() Źródło: GroMar sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0. | |
![]() Źródło: GroMar sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0. | |
![]() Źródło: GroMar sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0. |
Aby pomnożyć ułamek dziesiętnypomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, … przesuwamy przecinek w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, … miejsca w prawo.
– przesunęliśmy przecinek o jedno miejsce w prawo,
– przesunęliśmy przecinek o trzy miejsca w prawo (aby to było możliwe, dopisaliśmy jedno zero z prawej strony liczby).
Aby podzielić ułamek dziesiętnypodzielić ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, … przesuwamy przecinek w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, … miejsca w lewo.
– przesunęliśmy przecinek o jedno miejsce w lewo,
– przesunęliśmy przecinek o trzy miejsca w lewo.
Mnożenie ułamków dziesiętnychMnożenie ułamków dziesiętnych wykonujemy również podobnie, jak mnożenie liczb naturalnych, przy czym w iloczynie oddzielamy przecinkiem tyle końcowych cyfr, ile było razem cyfr po przecinku w obu czynnikach.
Piotrek kupił marchewki i pietruszki. Obliczymy, ile zapłacił.
![W lewej części ilustracji znajduje się fotografia świeżych marchwi ułożonych na desce do krojenia. Niżej znajduje się cena wynosząca dwa złote i czterdzieści osiem groszy. Po prawej stronie znajduje się fotografia przedstawiająca pietruszkę w koszyku wiklinowym. Niżej widoczna jest cena wynosząca siedem złotych i dwadzieścia groszy.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R15alpxHt1yFB/1712746438/qn39KXYWlbqJNzcaHazFbt5vw2Dt3opn.png)
Za marchewki Piotrek zapłacił , za pietruszki zapłacił .
![Ilustracja przedstawia dwa zadania mnożenia sposobem pisemnym liczb zapisanych w postaci dziesiętnej. Pierwsze zadanie. Zapisano liczbę dwa i czterdzieści osiem setnych. Niżej zapisano liczbę trzy tak, aby znajdowała się pod cyfrą osiem. Po lewej stronie umieszczono znak mnożenia i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Następnie pomnożono górny czynnik przez cyfrę jedności czynnika drugiego. Pod kreską zapisano wyniki odpowiednio: cyfrę cztery pod częściami setnymi, cyfrę cztery pod częściami dziesiętnymi, cyfrę siedem pod cyframi jedności. Otrzymano końcowy wynik siedem i czterdzieści cztery setne. Zadanie drugie. Zapisano liczbę siedem i dwadzieścia setnych. Niżej zapisano liczbę szesnaście tak, aby cyfra sześć znalazła się pod cyfrą dwa, a cyfra jeden pod cyfrą siedem. Po lewej stronie umieszczono znak mnożenia i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Następnie pomnożono górny czynnik przez cyfrę jedności czynnika drugiego. Otrzymano wyniki, odpowiednio: cyfrę zero pod cyframi części setnych, cyfrę dwa pod cyframi części dziesiątych, cyfrę trzy pod cyframi jedności oraz cyfrę cztery w rzędzie dziesiątek. Następnie pomnożono górny czynnik przez cyfrę dziesiątek drugiego czynnika. Wynik tego działania zapisano cyfra po cyfrze, ale cyfrę zero zapisano pod cyfrą jedności drugiego czynnika. Otrzymano kolejno: cyfrę zero, dwa i siedem. Po lewej stronie dwóch cząstkowych wyników, znajdujących się w dwóch wierszach, zapisano znak dodawania i podkreślono je poziomą kreską. Pod kreską zapisano ostateczny wynik sto piętnaście i dwie dziesiąte.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RN7sxW3Q2FuY1/1712746439/1ddSnB65rjrPrwvaNDLVls0mpz5rRjFu.png)
Odpowiedź:
Piotrek zapłacił .
Aby podzielić dwa ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, dzielną i dzielnik mnożymy odpowiednio przez , , , tak, aby wykonać dzielenie ułamka przez liczbę naturalną.
Pani Ewelina w ciągu godziny przejechała .
Obliczymy, z jaką średnią prędkością się poruszała.
Prędkość obliczymy jako iloraz długości przebytej drogi przez czas jazdy.
.
![Ilustracja przedstawia zadanie dzielenia sposobem pisemnym. Zapisano działanie: dwieście czterdzieści jeden i pięć dziesiątych podzielić przez czternaście. Nad dzielną narysowano poziomą kreskę nad którą kolejno zapisywane zostały wyniki dzielenia pisemnego. W pierwszej kolejności podzielono liczbę dwadzieścia cztery na czternaście i otrzymano jedną całość. Zatem cyfrę jeden zapisano nad kreską, nad cyfrą cztery. Pod dzielną zapisano wynik odejmowania liczby dwadzieścia cztery od wyniku mnożenia cyfry jeden i dzielnika czternaście. Otrzymano liczbę dziesięć i dopisano cyfrę jeden stanowiącą kolejną cyfrę dzielnej. Następnie sto jeden podzielono przez czternaście. Otrzymano wynik siedem, który zapisano nad kreską, nad cyfrą jeden. Od liczby sto jeden odjęto wynik mnożenia cyfry siedem i dzielnika, czyli dziewięćdziesiąt osiem. Otrzymano wynik trzy i dopisano ostatnią liczbę dzielnej czyli pięć. Liczbę trzydzieści pięć podzielono na czternaście, co dało wynik dwa, który zapisano nad kreską, nad cyfrą pięć. Następnie pomnożono cyfrę dwa przez dzielnik, czyli czternaście i otrzymano wynik dwadzieścia osiem, który odjęto od trzydziestu pięciu. Otrzymano wynik siedem, do którego dopisano zero stanowiące domyślną cyfrę po przecinku dzielnej. Liczbę siedemdziesiąt podzielono przez czternaście. Otrzymano wynik pięć, który zapisano nad kreską. Pomnożono pięć przez czternaście i otrzymano wynik siedemdziesiąt. Odejmując siedemdziesiąt od siedemdziesięciu otrzymano wynik zero. Reszta z dzielenia pisemnego wynosi zatem zero, a wynik to siedemnaście i dwadzieścia pięć setnych.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1N340Fz79Siq/1712746440/1lEYs13vbUcgfkt2cuR52dc36XgKSYlC.png)
Odpowiedź:
Pani Ewelina poruszała się ze średnią prędkością .
W codziennych obliczeniach, zwykle wyniki obliczeń na ułamkach dziesiętnych podajemy z określoną dokładnością.
Interpretując wynik uzyskany w przykładzie możemy więc powiedzieć, że pani Ewelina poruszała się z prędkością około . Możemy też stwierdzić, że prędkość ta była równa około .
Obliczymy pole i obwód prostokąta takiego jak na rysunku. Wyniki podamy z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
![Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D którego obszar zacieniowano niebieskim kolorem. Długość boku A B wynosi sześć i dwadzieścia trzy setne centymetra. Długość boku B C wynosi cztery i siedem dziesiątych centymetra.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RAFg83ODuPUGF/1712746441/26j7sOqoJrPMVNUzKuGbdv3aDHu90Z4z.png)
Z rysunku odczytujemy długości boków prostokąta: i .
Obliczamy pole prostokąta:
Obliczamy obwód prostokąta:
Odpowiedź:
Pole prostokąta jest równe około , a obwód jest równy około .
Notatki
Gra edukacyjna
Zagraj w poniższą grę, a następnie wykonaj poniższe polecenia.
![](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1ES8I7pkTA4c/1707313843/1MvPmFLhxhxuA4epcfpsPj28xOFOxADy.png)
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PX2T0IfTU
Poziom pierwszy:
Poziom drugi:
Zapisz w postaci dziesiętnej:
pięć dziesiątych,
szesnaście setnych,
trzy całe dwie dziesiąte,
dwie tysięczne.
Oblicz wartość wyrażenia .
Piotrek kupił cukierków czekoladowych w cenie i cukierków malinowych w cenie . Oblicz, ile zapłacił.
Zestaw ćwiczeń interaktywnych
Na osi liczbowej zaznaczono dwa punkty i .
![Ilustracja przedstawia oś liczbową, na której odcinek jednostkowy podzielony jest na sto równych części. Na osi zaznaczono punkty pierwszy o współrzędnych jeden i trzydzieści sześć setnych oraz punkt drugi o współrzędnych jeden i czterdzieści sześć setnych. Zaznaczono punkt P znajdujący się cztery jednostki na prawo od punktu pierwszego oraz punkt R znajdujący sie dwie jednostki na prawo od punktu drugiego.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1J9M48ydHZ09/1712746451/uIzvOwRXu5rp2kCxHXm4W6roZNVrREH8.png)
Na wycieczkę pojechało osób. Kobiety stanowiły tej grupy, mężczyźni , a pozostałe osoby to dzieci. W wycieczce wzięło udział 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. dzieci.
Kobiet było o 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. więcej niż mężczyzn.
Dzieci stanowiły 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. wszystkich osób biorących udział w wyciecze.
Gdyby w wycieczce wzięło udział jeszcze dwóch mężczyzn, to mężczyźni stanowiliby 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. wszystkich osób biorących udział w wycieczce.
Skrzynka ze śliwkami waży . Pusta skrzynka jest czterokrotnie lżejsza. Ile ważą śliwki?
Do naczynia wlano soku i wody.
Zapisz w postaci ułamka dziesiętnego jaką część napoju stanowi sok.
Zapisz w postaci ułamka dziesiętnego ile razy więcej wody niż soku wlano do naczynia.
Napój rozlano do dwudziestu jednakowych pojemników, napełniając każdy z nich w całości. Zapisz w postaci ułamka dziesiętnego pojemność jednego pojemnika.
Pan Edmund kupił sześć stołków po za sztukę, a sprzedał te stołki po za sztukę. Oblicz, ile zarobił na tej sprzedaży.
Słownik
ułamek zwykły o mianowniku , , , ,
, , , , przesunięcie przecinka w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, , miejsca w prawo.
przez , , , , przesunięcie przecinka w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, , miejsca w lewo.
podpisanie ułamka jeden pod drugim tak, aby przecinek stał pod przecinkiem. Następnie wykonanie dodawania lub odejmowania tak, jak w przypadku liczb naturalnych. W wyniku przecinek wpisujemy pod przecinkami.
Bibliografia
Serebriakoffa V., (1996), Księga zagadek, Gdańsk: Wydawnictwo Wolny Wybór.