Ilustracja przedstawiająca dwie postacie, trzymające w dłoniach kalkulatory. W tle widoczne są rozłożone zeszyty oraz pisaki.
RlNSk4I5HdIKS1
Szesnastowieczny szkocki arystokrata, matematyk John Napier jako pierwszy zapoczątkował współczesny zapis ułamków dziesiętnych, stosując kropkę do oddzielenia części całkowitej od ułamkowej.
Obecnie kropkę w ułamkach dziesiętnych wykorzystuje się nadal w krajach anglosaskich. W Polsce – stosujemy przecinek dziesiętny (separator dziesiętny).
W tym materiale zawarte są najważniejsze informacje o ułamkach dziesiętnych. Ułamki dziesiętne będziemy zapisywać w postaci dziesiętnej, porównywać, skracać, rozszerzać, przedstawiać na osi liczbowej, a także dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.
Najczęściej ułamki te zapisujemy w postaci dziesiętnej z zastosowaniem przecinka oddzielającego część całkowitą od części ułamkowej. Kolejne miejsca po przecinku oznaczają części dziesiąte, setne, tysięczne, itd.
RrywF25AQpTdG
Przykład 1
Zapiszemy ułamki dziesiętneułamek dziesiętnyułamki dziesiętne w postaci dziesiętnej.
W postaci dziesiętnej możemy też zapisać szybko takie ułamki zwykłe, których mianownik jest dzielnikiem co najmniej jednej z liczb , , ,
Przykład 2
Zapiszemy w postaci dziesiętnej każdy z ułamków: , , , .
Aby zapisać podane ułamki w postaci dziesiętnej, rozszerzymy je najpierw tak, aby w mianowniku otrzymać jedną z liczb , , ,
Ułamki dziesiętneułamek dziesiętnyUłamki dziesiętne możemy skracać, „obcinając” końcowe zera w części ułamkowej. Możemy je też rozszerzać, dopisując końcowe zera w części ułamkowej.
Ułamek
Ułamek po skróceniu
Ułamek po rozszerzeniu
Ułamki dziesiętneułamek dziesiętnyUłamki dziesiętne porównujemy podobnie, jak liczby naturalne. Porównujemy kolejno cyfry w poszczególnych rzędach: najpierw części całkowite, następnie części dziesiąte, części setne, itp.
Przykład 3
Porównamy ułamki: i ; i oraz i .
, bo , bo , bo i
Chcąc na osi liczbowej zaznaczyć punkt, odpowiadający danemu ułamkowi dziesiętnemuułamek dziesiętnyułamkowi dziesiętnemu, należy najpierw podzielić odcinek jednostkowy na odpowiednią liczbę części.
Przykład 4
Zaznaczymy na osi liczbowej ułamki i .
W obu ułamkach po przecinku występują tylko części dziesiąte, zatem na osi liczbowej odcinek jednostkowy dzielimy najpierw na dziesięć równych części. Czwartej z tych części (licząc od zera) odpowiada ułamek . Natomiast siedemnastej (licząc od zera) ułamek .
RJCf0tqpDnvMn
Dodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnychdodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnychDodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnych możemy wykonać w pamięci. Jeśli jednak do dodania (odejmowania) są duże liczby, działanie wykonujemy pisemnie. Aby dodać lub odjąć dwa ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, podpisujemy je jeden pod drugim tak, aby przecinek stał pod przecinkiem. Następnie wykonujemy dodawanie lub odejmowanie tak, jak w przypadku liczb naturalnych. W wyniku przecinek wpisujemy pod przecinkami.
Warto przy tym rozszerzyć (jeśli potrzeba) ułamki tak, aby miały tyle samo cyfr po przecinku.
Przykład 5
Działanie
Obliczenia
R1AwrCmqKd6as
RBDqqedGCQS3z
R12nLIZexfptQ
RnkHCbr0d5ej6
Aby pomnożyć ułamek dziesiętnymnożenie ułamków dziesiętnych przezpomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, … przesuwamy przecinek w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, … miejsca w prawo. – przesunęliśmy przecinek o jedno miejsce w prawo, – przesunęliśmy przecinek o trzy miejsca w prawo (aby to było możliwe, dopisaliśmy jedno zero z prawej strony liczby).
Aby podzielić ułamek dziesiętnydzielenie ułamków dziesiętnychpodzielić ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, … przesuwamy przecinek w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, … miejsca w lewo. – przesunęliśmy przecinek o jedno miejsce w lewo, – przesunęliśmy przecinek o trzy miejsca w lewo.
Mnożenie ułamków dziesiętnychmnożenie ułamków dziesiętnych przezMnożenie ułamków dziesiętnych wykonujemy również podobnie, jak mnożenie liczb naturalnych, przy czym w iloczynie oddzielamy przecinkiem tyle końcowych cyfr, ile było razem cyfr po przecinku w obu czynnikach.
Przykład 6
Piotrek kupił marchewki i pietruszki. Obliczymy, ile zapłacił.
R15alpxHt1yFB
Za marchewki Piotrek zapłacił , za pietruszki zapłacił .
RN7sxW3Q2FuY1
Odpowiedź: Piotrek zapłacił .
Aby podzielić dwa ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, dzielną i dzielnik mnożymy odpowiednio przez , , , tak, aby wykonać dzielenie ułamka przez liczbę naturalną.
Przykład 7
Pani Ewelina w ciągu godziny przejechała .
Obliczymy, z jaką średnią prędkością się poruszała. Prędkość obliczymy jako iloraz długości przebytej drogi przez czas jazdy. .
R1N340Fz79Siq
Odpowiedź: Pani Ewelina poruszała się ze średnią prędkością .
W codziennych obliczeniach, zwykle wyniki obliczeń na ułamkach dziesiętnych podajemy z określoną dokładnością.
Interpretując wynik uzyskany w przykładzie możemy więc powiedzieć, że pani Ewelina poruszała się z prędkością około . Możemy też stwierdzić, że prędkość ta była równa około .
Przykład 8
Obliczymy pole i obwód prostokąta takiego jak na rysunku. Wyniki podamy z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
RAFg83ODuPUGF
Z rysunku odczytujemy długości boków prostokąta: i . Obliczamy pole prostokąta:
Obliczamy obwód prostokąta:
Odpowiedź: Pole prostokąta jest równe około , a obwód jest równy około .
Notatki
RF303fH0uYonV
2
Gra edukacyjna
Zagraj w poniższą grę, a następnie wykonaj poniższe polecenia.
1
R1ES8I7pkTA4c
Poziom pierwszy:
RqJgemu0rRY0V
Ćwiczenie 1
Poziom drugi:
RmNvOPdN9tIwu
Ćwiczenie 2
Polecenie 1
Zapisz w postaci dziesiętnej:
pięć dziesiątych,
szesnaście setnych,
trzy całe dwie dziesiąte,
dwie tysięczne.
R1VhHxlqtRRsu
,
,
,
.
Polecenie 2
Oblicz wartość wyrażenia .
Rodl8exVzilgZ
Oblicz najpierw wyrażenie w nawiasie.
.
Polecenie 3
Piotrek kupił cukierków czekoladowych w cenie i cukierków malinowych w cenie . Oblicz, ile zapłacił.
RFwn4pK7Hs1Q9
Oblicz najpierw, ile kosztowały cukierki czekoladowe, a następnie malinowe.
– koszt cukierków czekoladowych
– koszt cukierków malinowych
Odpowiedź: Piotrek zapłacił .
3
Zestaw ćwiczeń interaktywnych
Ćwiczenie 1
RUtSan0H5LcMt
Ćwiczenie 2
R4Fnrngkbn2Pl
Ćwiczenie 3
R1ZJ6TcXk0ARc
Ćwiczenie 4
Na osi liczbowej zaznaczono dwa punkty i .
R1J9M48ydHZ09
R15TbRY1ERvQC
Ćwiczenie 5
RMqIqyQ9emOh7
Ćwiczenie 6
R1GNRQheH7Era
Ćwiczenie 7
Skrzynka ze śliwkami waży . Pusta skrzynka jest czterokrotnie lżejsza. Ile ważą śliwki?
RUlJyBTrnYHv5
Oblicz, ile waży pusta skrzynka i od wagi skrzynki ze śliwkami odejmij wagę pustej skrzynki.
Obliczamy wagę pustej skrzynki.
Obliczamy, ile ważą śliwki.
Odpowiedź: Śliwki ważą .
Ćwiczenie 8
Do naczynia wlano soku i wody.
Zapisz w postaci ułamka dziesiętnego jaką część napoju stanowi sok.
Zapisz w postaci ułamka dziesiętnego ile razy więcej wody niż soku wlano do naczynia.
Napój rozlano do dwudziestu jednakowych pojemników, napełniając każdy z nich w całości. Zapisz w postaci ułamka dziesiętnego pojemność jednego pojemnika.
R12NytsXUHUsx
Oblicz najpierw ile litrów napoju uzyskano.
Podziel ilość wody przez ilość soku.
Oblicz najpierw ile litrów napoju uzyskano.
,
,
.
Ćwiczenie 9
Pan Edmund kupił sześć stołków po za sztukę, a sprzedał te stołki po za sztukę. Oblicz, ile zarobił na tej sprzedaży.
R78iH7OpaLmN3
Oblicz najpierw, ile pan Edmund zarobił sprzedając jeden stołek.
Obliczymy najpierw, ile pan Edmund zarobił sprzedając jeden stołek. . Obliczymy, ile pan Edmund zarobił, sprzedając sześć stołków. .
Odpowiedź: Pan Edmund zarobił .
4
Słownik
ułamek dziesiętny
ułamek dziesiętny
ułamek zwykły o mianowniku , , , ,
mnożenie ułamków dziesiętnych przez
mnożenie ułamków dziesiętnych przez
, , , , przesunięcie przecinka w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, , miejsca w prawo.
dzielenie ułamków dziesiętnych
dzielenie ułamków dziesiętnych
przez , , , , przesunięcie przecinka w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, , miejsca w lewo.
dodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnych
dodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnych
podpisanie ułamka jeden pod drugim tak, aby przecinek stał pod przecinkiem. Następnie wykonanie dodawania lub odejmowania tak, jak w przypadku liczb naturalnych. W wyniku przecinek wpisujemy pod przecinkami.
Bibliografia
Serebriakoffa V., (1996), Księga zagadek, Gdańsk: Wydawnictwo Wolny Wybór.