Ułamki dziesiętne - najważniejsze wiadomości

RlNSk4I5HdIKS1

Ilustracja przedstawia czarno biały portret dostojnego mężczyzny z brodą, siedzącego na krześle.

Szesnastowieczny szkocki arystokrata, matematyk John Napier jako pierwszy zapoczątkował współczesny zapis ułamków dziesiętnych, stosując kropkę do oddzielenia części całkowitej od ułamkowej.

Obecnie kropkę w ułamkach dziesiętnych wykorzystuje się nadal w krajach anglosaskich. W Polsce – stosujemy przecinek dziesiętny (separator dziesiętny).

W tym materiale zawarte są najważniejsze informacje o ułamkach dziesiętnych. Ułamki dziesiętne będziemy zapisywać w postaci dziesiętnej, porównywać, skracać, rozszerzać, przedstawiać na osi liczbowej, a także dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.

1. Interaktywna treść merytoryczna1Interaktywna treść merytoryczna

2. Gra edukacyjna2Gra edukacyjna

3. Zestaw ćwiczeń interaktywnych3Zestaw ćwiczeń interaktywnych

4. Słownik4Słownik

Ułamki zwykłe o mianownikach $10$, $100$, $1000$, $\dots$, $\dots$ nazywamy ułamkami dziesiętnymułamek dziesiętnyułamkami dziesiętnym.

Najczęściej ułamki te zapisujemy w postaci dziesiętnej z zastosowaniem przecinka oddzielającego część całkowitą od części ułamkowej. Kolejne miejsca po przecinku oznaczają części dziesiąte, setne, tysięczne, itd.

W postaci dziesiętnej możemy też zapisać szybko takie ułamki zwykłe, których mianownik jest dzielnikiem co najmniej jednej z liczb $10$, $100$, $1000$, $\dots$

Ułamki dziesiętneułamek dziesiętnyUłamki dziesiętne możemy skracać, „obcinając” końcowe zera w części ułamkowej. Możemy je też rozszerzać, dopisując końcowe zera w części ułamkowej.

Ułamki dziesiętneułamek dziesiętnyUłamki dziesiętne porównujemy podobnie, jak liczby naturalne. Porównujemy kolejno cyfry w poszczególnych rzędach: najpierw części całkowite, następnie części dziesiąte, części setne, itp.

Chcąc na osi liczbowej zaznaczyć punkt, odpowiadający danemu ułamkowi dziesiętnemuułamek dziesiętnyułamkowi dziesiętnemu, należy najpierw podzielić odcinek jednostkowy na odpowiednią liczbę części.

Przykład 4

Zaznaczymy na osi liczbowej ułamki $0,4$ i $1,7$.

W obu ułamkach po przecinku występują tylko części dziesiąte, zatem na osi liczbowej odcinek jednostkowy dzielimy najpierw na dziesięć równych części. Czwartej z tych części (licząc od zera) odpowiada ułamek $0,4$. Natomiast siedemnastej (licząc od zera) ułamek $1,7$.

RJCf0tqpDnvMn

Ilustracja przedstawia oś liczbową od zera do dwóch, na której odcinek jednostkowy podzielony jest na dziesięć równych części. Na osi zaznaczono punkty o współrzędnych cztery dziesiąte, jeden oraz jeden i siedem dziesiątych.

Dodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnychdodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnychDodawanie (odejmowanie) ułamków dziesiętnych możemy wykonać w pamięci. Jeśli jednak do dodania (odejmowania) są duże liczby, działanie wykonujemy pisemnie.
Aby dodać lub odjąć dwa ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, podpisujemy je jeden pod drugim tak, aby przecinek stał pod przecinkiem. Następnie wykonujemy dodawanie lub odejmowanie tak, jak w przypadku liczb naturalnych. W wyniku przecinek wpisujemy pod przecinkami.

Warto przy tym rozszerzyć (jeśli potrzeba) ułamki tak, aby miały tyle samo cyfr po przecinku.

Przykład 5

Działanie	Obliczenia
$3,26+12,08=15,34$	R1AwrCmqKd6as Ilustracja przedstawia zadanie dodawania sposobem pisemnym liczb zapisanych w postaci dziesiętnej. Zapisano liczbę dwanaście i osiem setnych. Niżej zapisano trzy i dwadzieścia sześć setnych, w taki sposób że cyfry części setnych, części dziesiętnych, jedności oraz dziesiątek znajdują się odpowiednio jedna nad drugą. Po lewej stronie umieszczono znak plus i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Kolejno od prawej dodano do siebie liczby znajdujące się w danej kolumnie, zapisując pod kreską wyniki, odpowiednio: cyfrę cztery pod częściami setnymi, cyfrę trzy pod częściami dziesiętnymi, cyfrę pięć pod cyframi jedności oraz cyfrę jeden pod cyframi dziesiątek. Otrzymano końcowy wynik piętnaście i trzydzieści cztery setne.
$0,05+11,289+121,1=132,439$	RBDqqedGCQS3z Ilustracja przedstawia zadanie dodawania sposobem pisemnym liczb zapisanych w postaci dziesiętnej. Zapisano liczbę sto dwadzieścia jeden i sto tysięcznych. Niżej jedenaście i dwieście osiemdziesiąt dziewięć tysięcznych oraz niżej pięćdziesiąt tysięcznych. Cyfry części tysięcznych, części setnych, części dziesiętnych, jedności, dziesiątek oraz setek wszystkich liczb znajdują się odpowiednio jedna nad drugą. Po lewej stronie umieszczono znak plus i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Kolejno od prawej dodano do siebie liczby znajdujące się w danej kolumnie, zapisując pod kreską wyniki, odpowiednio: cyfrę dziewięć pod częściami tysięcznymi, cyfrę trzy pod częściami setnymi, cyfrę cztery pod częściami dziesiętnymi, następnie cyfrę dwa pod cyframi jedności, cyfrę trzy pod cyframi dziesiątek oraz cyfrę jeden pod cyframi setek. Otrzymano końcowy wynik sto trzydzieści dwa i czterysta trzydzieści dziewięć tysięcznych.
$5,57-2,3=3,27$	R12nLIZexfptQ Ilustracja przedstawia zadanie odejmowania sposobem pisemnym liczb zapisanych w postaci dziesiętnej. Zapisano liczbę pięć i pięćdziesiąt siedem setnych. Niżej zapisano dwa i trzydzieści setnych, w taki sposób że cyfry części dziesiętnych, części jedności oraz jedności znajdują się odpowiednio jedna nad drugą. Po lewej stronie umieszczono znak minus i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Kolejno od prawej odjęto od liczby znajdującej się wyżej, liczbę znajdującą się niżej, zapisując pod kreską wyniki, odpowiednio: cyfrę siedem pod częściami setnymi, cyfrę dwa pod częściami dziesiątymi, cyfrę trzy w rzędzie jedności. Otrzymano końcowy wynik trzy i dwadzieścia siedem setnych.
$16,2-9,863=6,337$	RnkHCbr0d5ej6 Ilustracja przedstawia zadanie odejmowania sposobem pisemnym liczb zapisanych w postaci dziesiętnej. Zapisano liczbę szesnaście i dwieście tysięcznych. Niżej zapisano liczbę dziewięć i osiemset sześćdziesiąt trzy tysięczne. Cyfry części tysięcznych, części setnych, części dziesiętnych, jedności oraz dziesiątek wszystkich liczb znajdują się odpowiednio jedna nad drugą. Po lewej stronie umieszczono znak minus i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Kolejno od prawej odjęto w kolumnach od liczby znajdującej się wyżej, liczbę znajdującą się niżej, zapisując pod kreską wyniki, odpowiednio: cyfrę siedem pod częściami tysięcznymi, cyfrę trzy pod częściami setnymi, cyfrę trzy pod częściami dziesiętnymi, następnie cyfrę sześć pod cyframi jedności. Otrzymano końcowy wynik sześć i trzysta trzydzieści siedem tysięcznych.

Aby pomnożyć ułamek dziesiętnymnożenie ułamków dziesiętnych przezpomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, … przesuwamy przecinek w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, … miejsca w prawo.
$0,67·10=6,7$ – przesunęliśmy przecinek o jedno miejsce w prawo,
$1,25·1000=1250$ – przesunęliśmy przecinek o trzy miejsca w prawo (aby to było możliwe, dopisaliśmy jedno zero z prawej strony liczby).

Aby podzielić ułamek dziesiętnydzielenie ułamków dziesiętnychpodzielić ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, … przesuwamy przecinek w liczbie odpowiednio o jedno, dwa, trzy, … miejsca w lewo.
$7,9:10=0,79$ – przesunęliśmy przecinek o jedno miejsce w lewo,
$6,567:1000=0,006567$ – przesunęliśmy przecinek o trzy miejsca w lewo.

Mnożenie ułamków dziesiętnychmnożenie ułamków dziesiętnych przezMnożenie ułamków dziesiętnych wykonujemy również podobnie, jak mnożenie liczb naturalnych, przy czym w iloczynie oddzielamy przecinkiem tyle końcowych cyfr, ile było razem cyfr po przecinku w obu czynnikach.

Przykład 6

Piotrek kupił $3 \mathrm{kg}$ marchewki i $16 \mathrm{kg}$ pietruszki. Obliczymy, ile zapłacił.

R15alpxHt1yFB

W lewej części ilustracji znajduje się fotografia świeżych marchwi ułożonych na desce do krojenia. Niżej znajduje się cena wynosząca dwa złote i czterdzieści osiem groszy. Po prawej stronie znajduje się fotografia przedstawiająca pietruszkę w koszyku wiklinowym. Niżej widoczna jest cena wynosząca siedem złotych i dwadzieścia groszy.

Za $3 \mathrm{kg}$ marchewki Piotrek zapłacił $3·2,48 \mathrm{zł}$, za $16 \mathrm{kg}$ pietruszki zapłacił $16·7,20 \mathrm{zł}$.

RN7sxW3Q2FuY1

Ilustracja przedstawia dwa zadania mnożenia sposobem pisemnym liczb zapisanych w postaci dziesiętnej. Pierwsze zadanie. Zapisano liczbę dwa i czterdzieści osiem setnych. Niżej zapisano liczbę trzy tak, aby znajdowała się pod cyfrą osiem. Po lewej stronie umieszczono znak mnożenia i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Następnie pomnożono górny czynnik przez cyfrę jedności czynnika drugiego. Pod kreską zapisano wyniki odpowiednio: cyfrę cztery pod częściami setnymi, cyfrę cztery pod częściami dziesiętnymi, cyfrę siedem pod cyframi jedności. Otrzymano końcowy wynik siedem i czterdzieści cztery setne. Zadanie drugie. Zapisano liczbę siedem i dwadzieścia setnych. Niżej zapisano liczbę szesnaście tak, aby cyfra sześć znalazła się pod cyfrą dwa, a cyfra jeden pod cyfrą siedem. Po lewej stronie umieszczono znak mnożenia i całe wyrażenie podkreślono poziomą kreską. Następnie pomnożono górny czynnik przez cyfrę jedności czynnika drugiego. Otrzymano wyniki, odpowiednio: cyfrę zero pod cyframi części setnych, cyfrę dwa pod cyframi części dziesiątych, cyfrę trzy pod cyframi jedności oraz cyfrę cztery w rzędzie dziesiątek. Następnie pomnożono górny czynnik przez cyfrę dziesiątek drugiego czynnika. Wynik tego działania zapisano cyfra po cyfrze, ale cyfrę zero zapisano pod cyfrą jedności drugiego czynnika. Otrzymano kolejno: cyfrę zero, dwa i siedem. Po lewej stronie dwóch cząstkowych wyników, znajdujących się w dwóch wierszach, zapisano znak dodawania i podkreślono je poziomą kreską. Pod kreską zapisano ostateczny wynik sto piętnaście i dwie dziesiąte.

$$3·2,48+16·7,20=7,44+115,20=122,64$$

Odpowiedź:
Piotrek zapłacił $122,64 \mathrm{zł}$.

Aby podzielić dwa ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, dzielną i dzielnik mnożymy odpowiednio przez $10$, $100$, $1000$, $\dots$ tak, aby wykonać dzielenie ułamka przez liczbę naturalną.

Przykład 7

Pani Ewelina w ciągu $1,4$ godziny przejechała $24,15 \mathrm{km}$.

Obliczymy, z jaką średnią prędkością się poruszała.
Prędkość obliczymy jako iloraz długości przebytej drogi przez czas jazdy.
$\frac{24,15}{1,4}=\frac{241,5}{14}=17,25$.

R1N340Fz79Siq

Ilustracja przedstawia zadanie dzielenia sposobem pisemnym. Zapisano działanie: dwieście czterdzieści jeden i pięć dziesiątych podzielić przez czternaście. Nad dzielną narysowano poziomą kreskę nad którą kolejno zapisywane zostały wyniki dzielenia pisemnego. W pierwszej kolejności podzielono liczbę dwadzieścia cztery na czternaście i otrzymano jedną całość. Zatem cyfrę jeden zapisano nad kreską, nad cyfrą cztery. Pod dzielną zapisano wynik odejmowania liczby dwadzieścia cztery od wyniku mnożenia cyfry jeden i dzielnika czternaście. Otrzymano liczbę dziesięć i dopisano cyfrę jeden stanowiącą kolejną cyfrę dzielnej. Następnie sto jeden podzielono przez czternaście. Otrzymano wynik siedem, który zapisano nad kreską, nad cyfrą jeden. Od liczby sto jeden odjęto wynik mnożenia cyfry siedem i dzielnika, czyli dziewięćdziesiąt osiem. Otrzymano wynik trzy i dopisano ostatnią liczbę dzielnej czyli pięć. Liczbę trzydzieści pięć podzielono na czternaście, co dało wynik dwa, który zapisano nad kreską, nad cyfrą pięć. Następnie pomnożono cyfrę dwa przez dzielnik, czyli czternaście i otrzymano wynik dwadzieścia osiem, który odjęto od trzydziestu pięciu. Otrzymano wynik siedem, do którego dopisano zero stanowiące domyślną cyfrę po przecinku dzielnej. Liczbę siedemdziesiąt podzielono przez czternaście. Otrzymano wynik pięć, który zapisano nad kreską. Pomnożono pięć przez czternaście i otrzymano wynik siedemdziesiąt. Odejmując siedemdziesiąt od siedemdziesięciu otrzymano wynik zero. Reszta z dzielenia pisemnego wynosi zatem zero, a wynik to siedemnaście i dwadzieścia pięć setnych.

Odpowiedź:
Pani Ewelina poruszała się ze średnią prędkością $17,25 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

W codziennych obliczeniach, zwykle wyniki obliczeń na ułamkach dziesiętnych podajemy z określoną dokładnością.

Interpretując wynik uzyskany w  przykładzie $7$ możemy więc powiedzieć, że pani Ewelina poruszała się z prędkością około $17,3 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Możemy też stwierdzić, że prędkość ta była równa około $17 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Przykład 8

Obliczymy pole i obwód prostokąta $ABCD$ takiego jak na rysunku. Wyniki podamy z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

RAFg83ODuPUGF

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D którego obszar zacieniowano niebieskim kolorem. Długość boku A B wynosi sześć i dwadzieścia trzy setne centymetra. Długość boku B C wynosi cztery i siedem dziesiątych centymetra.

Z rysunku odczytujemy długości boków prostokąta: $6,23 \mathrm{cm}$ i $4,7 \mathrm{cm}$.
Obliczamy pole prostokąta:

$$P=6,23·4,7=29,281\approx 29,3$$

Obliczamy obwód prostokąta:

$$L=2·6,23+2·4,7$$

$$L=12,46+9,4=21,86\approx 21,9$$

Odpowiedź:
Pole prostokąta jest równe około $29,3 {\mathrm{cm}}^2$, a obwód jest równy około $21,9 \mathrm{cm}$.

Notatki

Gra edukacyjna

Zagraj w poniższą grę, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 4

Na osi liczbowej zaznaczono dwa punkty $P$ i $R$.

R1J9M48ydHZ09

Ilustracja przedstawia oś liczbową, na której odcinek jednostkowy podzielony jest na sto równych części. Na osi zaznaczono punkty pierwszy o współrzędnych jeden i trzydzieści sześć setnych oraz punkt drugi o współrzędnych jeden i czterdzieści sześć setnych. Zaznaczono punkt P znajdujący się cztery jednostki na prawo od punktu pierwszego oraz punkt R znajdujący sie dwie jednostki na prawo od punktu drugiego.

R15TbRY1ERvQC

Suma współrzędnych punktów $P$ i $R$ jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. $2,88$, 2. $3,22$, 3. $4,96$, 4. $8,82$

Słownik

Bibliografia

Serebriakoffa V., (1996), Księga zagadek, Gdańsk: Wydawnictwo Wolny Wybór.